紅蓮與白藕，原來是一家
———對源于教材的兩道高考題的研究與思考

紅蓮與白藕，原來是一家
———對源于教材的兩道高考題的研究與思考

☉河北省昌黎第一中學 田衛東

眾所周知，數學教材是數學學科的核心教學材料，它是幾代數學工作者智慧的結晶，不僅具備完整的知識體系，更有強大的權威性，同時也是教師實施教學和學生學習的主要材料.命題者在命制試題時，都會對教材予以高度關注，高考的部分試題便是從教材中選取優秀例題或習題進行加工、改造而成.筆者經歷了2013和2016兩年的高三復習與高考，巧合的是在這兩年的全國新課標卷Ⅰ的數學試題中，出現了兩道非常相似的題目，更重要的是，它們均來自于人教社的新課標實驗教材.現將這兩道題以及對它們進行的簡單變化呈獻給讀者，以引起廣大教師和學生的注意，在平時的教學和高三的復習過程中，一定要重視教材，尤其要重視對教材中經典題目的深入研究，避免陷入“題海”中而不能自拔.

一、兩道試題與教材習題的比較

（1）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.（2013年全國新課標卷Ⅰ第20題）

（2）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E，證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程.（2016年全國新課標卷Ⅰ第20題）

解答過程如下：

解：（1）如圖1，設圓P的半徑為R，圓M與圓N的半徑分別為r1，r2，因為圓P與圓M外切且與圓N內切，所以|PM|+|PN|=（r1+R）+（r2-R）=r1+r2=4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓（左頂點除外），其方程為+=1（x≠-2）.

圖1

圖2

（2）如圖2，因為AD=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.因為圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，所以|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4.

由題意知，A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，根據橢圓定義可得點E的軌跡方程為+=1（y≠0）.

再給出普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1中第50頁B組題的第2題及第49頁A組題的第7題：

（3）一個動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+ y2-6x-91=0內切，求動圓的圓心軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線（.答案為+=1，它是以（-3，0）和（3，0）為焦點的橢圓）

（4）如圖3，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

圖3

簡解（4）：因為l是線段AP的垂直平分線，所以PQ= AQ，所以QO+QA=QO+QP=OP=r.根據橢圓的定義可知，點Q的軌跡是以O、A為焦點，長軸長為r的橢圓.

不言而喻，其中的關系已經非常明顯，第（1）題是在第（3）題的基礎上，將兩個定圓內含改為了內切，同時改變了另外的一些數據，但題目的本質并沒有發生任何變化；第（2）題則是在第（4）題的基礎上編制而來的.

二、兩道試題原是“一家人”

我們看第（3）題，如圖4，其解答過程與第（1）題相同.若將題中條件適當改變，則可以得到：

變化1將圓M改為點M，則問題變成圓P經過定點M，且與圓N相內切，求圓心P的軌跡.

圖4

圖5

簡解：如圖5，|PM|+|PN|=r=10，則點P的軌跡是以M、 N為焦點的橢圓，其方程為

變化2在變化1中，延長至切點Q，連接MQ，則點P在線段MQ的垂直平分線上，如圖6.改變一下敘述方式，即圓N的半徑為r，M是圓N內不同于N的一個定點，點Q是圓N上的任意一點，線段MQ的垂直平分線l和半徑NQ相交于點P，求點P的軌跡.此題即成為了第（4）題.

簡解：因為直線l是線段MQ的垂直平分線，所以| PM|=|PQ|，所以|PM|+|PN|=|PQ|+|PN|=r=10，所以點P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其方程為

圖6

變化3在變化2中，如圖7，將QM延長交圓N于點E，連接EN，過M作EN的平行線交NQ于點P，求點P的軌跡.這就是2016年全國新課標Ⅰ卷第20題的第（1）問.

簡解：因為|NE|=|NQ|，EN//MP，所以∠QEN=∠EQN=∠QMP，所以|PM|=|PQ|，所以|PM|+|PN|=|PQ|+|PN|=r=10，所以點P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓（去掉長軸端點）.

事實上，無論哪種變化，其本質都是考查對平面內動點與兩個定點距離之和為常數的深刻理解，只不過都是以圓為載體，借助圓心為定點和半徑為定值這兩個條件，通過平面幾何的有關定理及推論，而達到利用橢圓的定義探究動點軌跡的目的.從這個角度來說，它們的確是“一家人”.稍作改動，還可以得到以下題目：

變式已知圓O的方程為x2+y2=4，點A（，0），以線段AB為直徑的圓內切于圓O，求動點B的軌跡方程.

三、它們還有“兄弟姊妹”

接下來，我們再看這樣一道題：

（5）如圖8，與兩圓x2+ y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在（）.

A.一個橢圓上

B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上

D.一個圓上

圖8

這是普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1第80頁的復習參考題A組第3題的第（2）題.

該題目的解法如下：圓x2+y2=1的圓心為F1（0，0），圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F2（4，0），動圓的圓心為M，半徑為r，則|MF1|=r+1，|MF2|=r+2，故|MF2|-|MF1|=1，結合雙曲線的定義可知，所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支，故正確答案為B.

將此題的條件稍作改變，即可得到：

變化1將題中的與兩圓都外切改為都內切，即圓M與圓F1和圓F2都內切，試確定圓心M的軌跡.

簡解：設動圓的圓心為M，半徑為r，則|MF1|=r-1，|MF2|=r-2，則|MF1|-|MF2|=1.由雙曲線的定義可知，所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的右支.

由此可見，將第（5）題中的動圓與兩定圓都外切改為動圓與兩定圓都相切，則動圓圓心的軌跡即為完整的雙曲線.

變化2將圓F1改為點F1，則問題變為圓M經過定點F1，且與圓F2相外切，試確定圓心M的軌跡.

簡解：設動圓的圓心為M，半徑為r，則|MF2|-|MF1|=r+2-r=2.由雙曲線的定義可知，所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支.

說明：若將此題中的外切改為內切，即可得到該雙曲線的右支.

變化3在變化2中將圓M與圓F2的切點記為P，題目可敘述為：P是圓F2上的任意一點，F1是圓外的一個定點，線段PF1的垂直平分線l和直線PF2相交于點M，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡.此問題即為《數學》選修2-1第62頁的A組第5題.

簡解：如圖9，因為直線l是線段PF1的垂直平分線，所以|MF1|=|MP|，所以|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MP|=2，所以點M的軌跡是雙曲線的左支.

說明：①當線段PF1與圓相切時，則有l∥PF2，所以點M不存在；②設直線PF1與圓相切時的切點分別為P1、P2，當點P在P1、P2之間的優弧上運動時，點M的軌跡是雙曲線的右支.

變化4在變化3的基礎上，我們還可以這樣改動：P是圓F2上的任意一點，F1是圓外的一個定點，直線PF1與圓F2交于點E，連結EF2，過點F1作F1M//F2E與直線MF2交于點M，試確定M的軌跡.

圖9

圖10

簡解：如圖10，因為|PF2|=|EF2|且F1M//F2E，所以∠F2EP=∠EPF2=∠MPF1=∠MF1P，所以|MF1|=|MP|，所以|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MP|=|PF2|=2，所以點M的軌跡是雙曲線的左支（去掉頂點）.

說明：①當線段PF1與圓相切時，點M不存在；②設線段PF1與圓相切時的切點分別為P1，P2，當點P在P1，P2之間的優弧上運動時，點M的軌跡是雙曲線的右支（去掉頂點）.

變化5將圓F1改為點F1，將圓F2視為一條與x軸垂直的直線，于是可以得到以下問題：已知F1是直線l外的一個定點，圓M經過點F1且與直線l相切，試確定圓心M的軌跡.

簡解：設圓M與直線l的切點為N，則|MF1|=|MN|，所以點M的軌跡是以M為焦點，l為準線的拋物線.

如此看來，通過圓與圓的位置關系，以及對它們進行的各種變化，不僅可以得到動點的軌跡是橢圓，也可以是雙曲線、拋物線，三種曲線通過這種方式又聚到了一起，可謂“不是一家人，不進一家門”.

變式已知圓O的方程為x2+y2=1，點A（，0），以線段AB為直徑的圓C與圓O相切，求動點B的軌跡方程.

四、一點啟示與思考

對于第（1）題本文并未展開深入的討論，如果將所給的兩個定圓按照相離、外切、相交、內切、內含這五種位置關系，利用動圓與定圓的內切或外切，我們可以得到各種有關橢圓與雙曲線的軌跡，在此不再贅述，有興趣的讀者可以自行研討.本文的主要目的在于呼吁和提醒努力拼搏在高三前線的的廣大師生，教材是我們的學習之本，其中有非常多的經典好題，我們在復習過程中應該重視對它們的整理和研究，結合歷屆高考試題，也許我們可以找到一些高考命題的規律或思路，同時也可以對教材中的重點知識有更深刻的理解和感悟.本文中的各種變化充分地反映了對橢圓、雙曲線、拋物線定義的深入理解，這些問題的解決也相當于完成了這三種圓錐曲線定義的復習，這樣的學習或者復習方式會使得我們對這幾種圓錐曲線的辯證統一有更加深入的認識，同時也培養了學生的發散思維和思考探究、解決問題的能力，可謂一舉數得.作為一名數學教師，應帶領學生走出題海，認真鉆研教材，改變目前在教學中普遍存在的重資料、輕教材，重過程、輕結果，重數量、輕質量的學習弊端，正如課標中所要求：“要全面提高學生的數學素養，培養學生勤于思考的習慣，堅忍不拔的意志和勇于創新的精神.”