解析幾何教學中的幾個誤區

解析幾何教學中的幾個誤區

☉江蘇省海安縣曲塘中學 饒娜

解析幾何內容在高中數學中銜接幾何與代數，充分體現了數形結合，重點研究如何用代數方法解決幾何問題.雖然解析法可以少想多算，甚至以算代想，但是如果教學中脫離幾何關系，常使解題陷入困境.

一、脫離定義

定義反映的是事物最本質的特征，我們認識一個事物都是從定義開始的，數學知識的學習也不例外.比如橢圓的定義：平面內到兩個定點的距離之和為定值（大于兩個定點間的距離）的點的軌跡.很多與橢圓性質有關的問題都可以借助定義輕松求解.

例如橢圓的通徑，即過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦.很多教師（包括教學之初的筆者）在教授此內容時，都是告訴學生將焦點的橫坐標x=±c代入橢圓方程，求出y（取正）再乘2.這種做法不僅脫離了定義，而且禁錮了學生的思維.其實利用橢圓定義可以輕松解決此問題.

由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|= 2a，如圖1所示，則|AF1|=2a-|AF2|.

在Rt△AF1F2，由勾股定理即可求得通徑的長.

圖1

（1）求橢圓方程；

（2）略.

此解法過程雖然清晰明了，但解方程的過程較為煩瑣，高考的時間是有限的，顯然這種方法并不可取.

二、過度將解題思維程序化

解析幾何問題的核心思想是利用代數方法處理幾何問題，具體體現在坐標法、代入消元法、判別式法、根與系數的關系的應用.圓錐曲線的綜合問題常以直線與橢圓的位置關系為背景，因此教學中經常強調：直線與橢圓綜合問題，首先要設出直線斜率（考慮直線斜率存在），引入直線方程；將直線方程與橢圓方程聯立，代入消元后得含x或y的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個交點，故此方程有兩個實根，利用判別式及韋達定理得出兩根之關系……

這種方法對于初學者來說，確實有一定可取性，通過思維的程序化，解題中可迅速找到問題的切入點.

但通過對近幾年的高考試題或模擬試題進行分析，筆者發現某些命題并不需要借助根與系數的關系，而是直接利用平面圖形的幾何性質找到解題思路.因長期受到固定的程序化解題思路的影響，考生在處理此類問題時不知如何入手.

例2如圖2，橢圓C：x2+=1（0＜m＜1）的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關于點M對稱.

圖2

（2）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍.

解析：本題第（2）問求解中根據點關于點的對稱性，將未知點的坐標用已知點表示，結合兩直線垂直斜率之積為-1或向量的數量積為零，將幾何問題代數化；再利用點M在橢圓上，則M的坐標滿足橢圓方程，進行消元；通過分離參數m后，將所求問題轉化為函數最值問題，利用均值不等式求解.例3設F，F分別為橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、12右焦點，點A為橢圓E的左頂點，點B為橢圓E的上頂點，且|AB|=2.

（2）設P為橢圓E上一點，且在第一象限內，直線F2P與y軸相交于點Q，若以PQ為直徑的圓經過點F1，證明：|OP|＞.

解析：本題第（2）問求解中設出點P的坐標，表示出直線PQ的斜率，求出直線PQ的方程，令x=0得出直線PQ與y軸的交點Q的坐標.因為點F1在圓上，由直徑所對的圓周角為直角，則兩直線垂直，斜率之積為-1，進而建立關系.利用點P在橢圓上，則點P的坐標滿足橢圓方程，進行消元.結合條件點P在第一象限，得出其坐標滿足的范圍，進而將所求問題轉化為區間內函數的最值問題進行處理.

由例2、例3的解析過程可以發現，問題的求解中并沒有利用代入消元、判別式、根與系數關系等，而是直接利用已知條件，結合平面幾何特征，尋找問題的突破口.因此在平常的教學中不可固化學生的解題思維，要從問題的根源入手，探尋問題的求解方法.

三、重思維，輕計算

處理解析幾何問題的核心方法是“解析法”，利用解析法結合平面圖形的幾何特征，將幾何問題代數化處理.因此在問題分析過程中要準確識別平面幾何的性質.

例如題目條件中涉及等腰或等邊三角形，我們可從等腰或等邊三角形的性質入手，即“三線合一”；如遇到菱形有關的問題，要準確把握菱形對角線互相垂直、平分的性質；涉及兩線夾角有關的問題，可將其轉化為兩向量的夾角來處理……

有些教師在解題教學中注重對學生解題思維的引導，這種做法毋庸置疑.教學中筆者發現，在分析一道問題時，學生能將解題思路說得頭頭是道，但讓學生自行解題，完全正確者寥寥無幾，會而不對、對而不全現象較為普遍.究其原因是計算能力不強、對計算過程中的細節把握不準所致.因此教學中在強調解題思路尋找的同時，應加強學生計算能力的培養.

（2）斜率為k的直線l過點F，且與橢圓交于A，B兩點，P為直線x=3上的一點，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程.

解析：在第（2）問的求解中，部分同學的解題思路如下：如圖3，若△ABP為等邊三角形，則滿足等邊三角形的性質，設AB中點為M，則PM垂直平分AB，且|AB|＝|PA|.

設直線l的方程為y=k（x-2）.

圖3

（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0，易知判別式恒大于0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），故x1+x2=

設AB的中點為M（x0，y0），則x0=

設點P（3，yP），利用等邊三角形的性質：|MP|=|AB|，利用點到直線的距離公式求|PM|，即|PM|＝此解題思路中斷.

究其原因是對弦長公式理解存在誤區，平常我們認為的弦長都是直線與曲線相交所得的線段的長度，此時常想到利用弦長公式來求解.但探究弦長公式的本質，是由兩點間距離推導而得，那么只要是求兩點間的距離，我們都可以利用這個公式.

另外，如果問題中涉及多個直線時，要注意尋找直線間斜率的關系：兩直線平行時斜率相等，垂直時斜率互為負倒數，關于x=a或y=b對稱時斜率互為相反數.例如直線l1，l2互相垂直，在求得l1與曲線相交所得的弦長關系式后，根據問題的需要求l2與曲線相交所得弦長時，可直接將其中的斜率k換成-即可.

總之，解析幾何問題在高考中常以壓軸或把關題的形式出現，對考生分析問題、解決問題、計算等能力均有較高的要求，因此在教學中既要注重學生解題思維的培養，又要注意計算方法、技巧的訓練.