例談高中數學中的最值問題

例談高中數學中的最值問題

☉江蘇省高淳高級中學 顧忠華

最值問題是高考數學中常見的題型，也是重要的考點之一，這類題往往和導數、二次函數等相聯系，其題型也是新穎多變.下面筆者結合平時的教學實踐談談高中數學中的最值問題.

一、含絕對值的二次函數的最值問題

最值問題常常與二次函數聯系在一起，純粹的二次函數似乎難度又有欠缺，因此含有絕對值的二次函數成了函數題的熱點.對此，我們有必要去探索含有絕對值二次函數的解題策略，提高函數復習的實效性.

例1已知函數f（x）=x|2x-a|，x∈［0，2］，求f（x）的最大值.

（2）當a=0時，f（x）在R上遞增，f（x）max=f（2）=8.

綜上所述，f（x）max=

方法2：（1）當a≤0時，當x∈［0，2］時，（fx）=2x2-ax，對稱軸為x=≤0，所以函數（fx）在［0，2］上單調遞增，所以（fx）max=（f2）=8-2a.

（2）當a≥4時，當x∈［0，2］時，（fx）=-2x2+ax，對稱軸為x=＞1，所以，①當1＜＜2，即4＜a＜8時，f（x）在在（0，）單調遞增，（，2）單調遞減，所以（fx）=f（）max=；

所以f（x）max=max8-2a.令f（）≥（f2），

綜上所述，f（x）max=

點評：數形結合、分類討論是數學中的基本思想，然而上述兩種解題思路側重點卻有所不同.方法1所側重的是由形到數，整個解題思路是先作圖（或描述單調性），再討論區間；但作為含有絕對值的二次函數如何討論作圖是該方法的關鍵.事實上該方法在研究圖像時，就討論了a＞0，a＜0與a=0，其臨界值0無非是通過對稱軸x=與去絕對值的關鍵值x=比較大小而得到的，而a與0的比較也貫穿于整道題的始末，是關鍵的討論值.我們也不難發現，含有絕對值的二次函數本身就是由二次函數演變而來，我們在研究其圖像時，討論的關鍵點就是對稱軸在不在研究區間里面，與本題的思路也是吻合的，而一旦單調性問題解決，整道題也就迎刃而解了.方法2所側重的是由數到形，整個解題思路是先去絕對值（x=與區間的端點值比較），整道題的關鍵討論點是先去絕對值，再研究單調性，把含有絕對值的二次函數變成二次函數在閉區間上的最值問題.相比較而言，方法1比較簡潔，更側重圖形，而方法2比較容易掌握，但在解決具體問題時，需要具體情況具體分析，畢竟與含有絕對值二次函數相關題目很多，種類也多，比如最值問題、恒成立問題、方程有解問題等等，希望大家做到靈活應用，需要做到具體情況具體分析，總之兩種方法各有優劣，關鍵是要正真領會其中要義.

二、含參函數的最值問題

縱觀近幾年全國各省市的高考數學試題，一些含參數的最值問題正悄然興起.由于這類函數題有參數在內“搗亂”，主要考查數形結合、分類討論的數學思想，因此極具綜合性和挑戰性，學生常常感到迷霧重重，找不到突破口，以致于考試時往往棄而不答.筆者借助導數公式（|x|）′=（x≠0），談談此類函數最值問題的一般策略.

例2設a為實數，函數（fx）=2x2+（x-a）|x-a|，求（fx）的最小值.

點評：由于極值可疑點的大小關系未定，因此需要分類討論.從例2可以看出，用導數法討論函數的單調性，步驟比較機械化.

例3已知函數f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值記為g（a）.求g（a）.

（1）當0＜a＜1時，若-1＜x＜a，則f′（x）=3（x2-1）＜0.若a＜x＜1，則f′（x）=3（x2+1）＞0，所以f（x）在［-1，a］上為減函數，在［a，1］上為增函數，故g（a）=f（a）=a3.

（2）當a≥1時，f（x）在（-1，1）內無極值可疑點，因此g（a）=min｛f（-1），f（1）｝=3a-2.

點評：與例2不同的是，例3函數的定義域不再是實數集，由于還得考慮區間的端點與極值可疑點的大小關系，因此往往還需要確定二次討論的分界點，最后得出函數在各個子區間上的單調性，從而得出函數的最值.

三、“多元變量”最值問題的求解策略

“多元變量”的最值問題頻頻在高考中出現，這類問題因綜合性強、形式靈活多變、思維嚴密而具有挑戰性，成為最值求解中的“難點”和命題的“熱點”.下面結合例題將這些策略和方法加以總結，供大家參考.

例4對于c＞0，當非零實數a，b滿足：4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時，的最小值為_______.

解法1：因為c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=最大時，取等號的條件為“2a= 3b”.將“2a=3b”代入4a2-2ab+4b2-c=0，此時c=10b2，所以的最小值為-2.

從本題解法可以看出，轉化條件，抓住目標，巧妙使用基本不等式，建立并找到|2a+b|達到最大時所滿足的條件，解法精妙但仍然屬于通法，只是對不等式的應用提出了更高的要求.

解法2：令t=2a+b，則2a=t-b，代入原方程可得6b2-3tb+t2-c=0，由方程是關于b的一元二次方程且有實數根可知，Δ≥0?t2≤c，從而|2a+b|的最大值為，此時，當且僅當t=2時，等號成立，此時有最小值為-2.

本題的關鍵是如何把握眾多未知參數的關系，考慮已知題設方程的二次型結構，利用判別式法較好的生成了a與b的關系均用t去表現，以t為主元，利用函數的思想方法，為后續問題的研究打開了局面.

解法3：由4a2-2ab+4b2=c，可變形為（k∈Z），即，可得2a=3b.

從關于a，b的二次式容易聯想到圓x2+y2=r2的參數方程但難點是先要視“c”為常數，將a，b分別用參數θ去代換，從而實現多元向一元轉換，最終利用三角函數的有界性解決問題.這種解法接地氣，常規思路，學生最容易接受.

四、直線與圓中的最值問題

直線與圓相關的最值問題在高考中是屢屢受到命題者的關注，也是教學中的重點、難點，在解決這類問題時，根據學過的幾何知識、代數方法，通過數形結合分析，突破難點轉化，尋求最值的求解方法，從而解決問題.下面就以近幾年高考試卷中出現的題目為例，歸納總結出解決此類問題的方法.

例5（1）圓的方程x2+y2-6x-8y=0，設該圓過點M（3，5）的最長弦，最短的弦分別為AC、BD，求四邊形ABCD的面積.

（2）M是圓x2+y2=1上動點，則點M到l：3x-4y-10=0的距離的最大值_________，最小值_________.

解：（1）由圓的方程得（x-3）2+（y-4）2=25，圓心N（3，4），半徑r=5，點M（3，5），在圓內最長弦AC=2r=10，易知最短的弦BD過M且與AC垂直，|BD|=

讓定直線動起來，例5（1）中直線繞M轉動，能發現何時弦長最長，何時弦長最短.（2）中平行移動，很直觀看出兩個相切時，兩線間距離為最值，利用切點與圓心連線垂直，轉化出需要的結論，能用運動變化的觀點分析思考問題，為以后學橢圓與直線關系打下基礎.