不等式易錯題型分類透析

不等式易錯題型分類透析

☉河北省石家莊二中南校區 龍洋

作為高中數學學習的重要內容，不等式方面的知識點比較多，題型靈活多變，學生在解題時常常會出現誤解或者無法求出的現象，影響了解題準確性.為了幫助高中生攻克不等式問題求解難關，有必要對其常見易錯題型和解題技巧進行深入探討，從而不斷提升學生的不等式求解能力.

一、與線性規劃相關的易錯題型及解題技巧

在不等式學習的過程中，常見的一類問題就是不等式和線性規劃部分知識相結合，主要是為了求解出可以滿足最終求解目標的最小值或者最大值.但是該種不等式類型題涉及面積求解和定義域等方面的數學知識，所以為了避免我們在解題過程中出現差誤，必須要充分了解不等式性質和線性規劃二者之間的聯系性，然后在此基礎上來正確解決有關的數學題目.

例1已知a＞0，參數x，y滿足如下條件：①x+y≤3；②x≥1；③y≥a（x-3），如果z=2x+y的最小值為1，試求a的值.

分析：該道例題是一道典型的不等式和線性規劃題目相結合的例題，且該道題目區別于一般線性規劃問題求解，而是先給出了最值，反推其中某條直線的參數，這就要求學生在解題的時候要注意轉變傳統的求解思路，采用逆向思維來進行求解.而為了解題方便，在實際的求解過程中可以先繪制出如圖1所示的三條直線在坐標軸上的區域示意圖.

圖1

解：如果目標函數經過區域A點時的最小值為1，那么可知A點此時的坐標值為（1，-2a），將其代入目標函數可得1=2-2a，求得a=.

小結：實際上，針對該種類型數學題目的求解，需要著重關注如下幾個方面：（1）要對函數最值問題進行密切關注，明確其中的不等關系，并繪制出相應的可行域范圍.在本道例題中就給出了參數a的取值范圍a＞0的條件，可知直線y=a（x-3）必過第一象限和第三象限，這就可以將基本上確定了三角形可行域，避免我們在選擇可行域時候弄錯方向.（2）該類型題目中常常為目標參數設定未知參數來增加題目的動態性與開放性，區別于一般最值求解問題，需要從結論入手來動態地分析圖形，并要注意在變化過程中找尋解題關鍵點，加之目標函數在可行域中的實際變化情況來明確問題求解方向，從而可以逐步達到解決問題的目的.

二、與參數問題相關的易錯題型及解題技巧

在不等式諸多類型題目中，涉及參數的不等式類型題的求解難度相對較大.考慮到不等式題目中包含有未知參數，需要在實際的求解過程中要求我們認真進行思考和分析，必要的時候需要進行分類討論方可確保題目求解過程中出現遺漏或者計算重復的問題.縱觀高考數學卷中的內容，涉及參數的不等式問題是學生出現解題錯誤的常見類型題.雖然學生可以明確該類型不等式題目的求解思路，但是在實際的求解過程中卻會存在計算錯誤或者疏漏等問題，此時需要進行一些針對性解題技巧訓練方可使學生熟練地掌握解決該類型數學題目的方法和技巧.

例2求不等式（x-1）（x-a）＜0的解.

分析：該道例是一道包含未知參數的不等式方程題型，考查的知識點是對未知參數a的分類討論，確保解題的全面性，否則很容易使我們出現漏解或者誤解的問題.

解：根據二次函數求解的相關性質，可知該道不等式方程問題的求解主要可以劃分成三個層次來進行求解，具體主要包括如下幾點：①當a＞1時，解為1＜x＜a；②當a=1時，不等式無解；③當a＜1時，解為a＜x＜1.

例3解不等式ax2-2x+1＞0（a為參數，a∈R）.

該題同例題2相同，其也需要對參數a進行分類討論方可確保解題的全面性和準確性，具體主要劃分成a=0、a＜0和a＞0三種情況，且需要在a＞0的情況下對“Δ”值進行區分來進行分別求解.

小結：針對含有參數不等式類型題目的求解關鍵在于要對未知參數進行分類討論，確保解題的全面性，避免出現漏解問題，從而可以使我們快速解決有關的數學問題.

三、與高次問題相關的易錯題型及解題技巧

高次不等式相關問題也是高中數學中重要的考查內容，解題的易錯點主要在于我們容易搞混區域，且無法準確地判斷出某些特殊點或者特殊區域，以致于學生在遇到高次不等式問題的時候，常常會心生畏懼，不自然地覺得這些問題非常難以解決，尤其是針對那些我們接觸過的高次不等式表達形式會使我們感到非常困惑.而如果我們可以借助因式分解等方法來簡化高次不等式問題，那么就可以大大簡化有關的數學問題，確保問題的清晰性，同時我們需要掌握高次不等式的一些求解技巧，以便可以使我們可以快速找到解題的突破口，迅速解決問題.

例4求不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0的解.

分析：該道不等式方程是三次，比常見的二次高，也是我們學生不常見的求解問題，此時如果采用傳統的公式求解方法，勢必無法達到求解的目的.而如果可以借助“穿根法”，通過在數軸上繪制方程的大致圖像即可達到求解的目的，方便、準確又快捷，是一種高效解題法.

解：先根據方程的根在數軸上繪制出方程的大致圖像（如圖2），具體主要包括如下幾個步驟：①在數軸上標出3個零點，1、2和3，其將數軸劃分成了4個區間；②最右邊第一區間為正，以后正負相間，在區間標明正負號；③其中“+”區域表示不等式大于0，“-”區域表示不等式小于0，這樣可直觀地使學生看出不等式大于0的區域為：1＜x＜2或x＞3，這實際上就是本道例題的求解答案.

圖2

小結：“穿根法”求解技巧主要在于繪制出不等式在數軸上的大致情況，按照畫數軸→標根→穿線的順序，且其中穿線順序為自右向左，這樣即可直觀判斷不等式的大小情況.

四、與絕對值問題相關易錯題型及解題技巧

解絕對值不等式類型題目的關鍵在于采取合理的方法來去掉絕對值，將其轉化成我們常見的一元一次或者一元二次不等式來進行求解.而針對那些包含有多個絕對值的復合不等式題目求解，主要采用零點分段法來進行求解，但是如果結合實數絕對值的幾何意義來達到快速求解問題的目的.另外，針對某些最值問題，也可以借助絕對值三角不等式來進行求解，但是無論哪種方式，絕對值不等式求解的關鍵在于“想方設法”將其轉化為不含絕對值的式子來進行求解.而具體的轉化方法主要包括：絕對值定義法、平方法和零點區域法等.歸納起來，常見的含有絕對值的不等式問題求解主要包括如下四類：（1）形如不等式：|x|＜a（a＞0）的解集為-a＜x＜a；（2）形如不等式：|x|≥a（a＞0）的解集為x≤-a或x≥a；（3）形如不等式：|ax+b|＜c（c＞0）的解法為：先將其轉化為不等式組：-c＜ax+b＜c后，按照不等式性質來進行求解；（4）形如不等式：|ax+b|＞c（c＞0）的解法為：先將其轉化為不等式組：ax+b＞c或ax+b＜-c，再借助不等式形式求解有關的問題.

例5解不等式|3x-5|≥1.

分析：該道包含絕對值的不等式求解符合第四種類型的方程求解，只需要借助絕對值定義可得3x-5≥1或 3x-5≤-1，解得x≥2或x≤

例6解不等式|x+1|＞|2x-1|.

解析：該道例題不等號左右均涉及絕對值符號，此時可以通過兩邊同時取平方的方法來達到簡化不等式的目的，可得（x+1）2＞（2x-1）2，由此可得0＜x＜2.

五、與恒成立問題相關易錯題型及解題技巧

恒成立是高中數學教學中常見的一類問題，其與其他數學知識之間具有很強的聯系性，不等式也不例外.實際上，通過對高考試卷中有關不等式恒成立問題進行歸納和分析，可知不等式恒成立問題主要結合抽象函數和數列等方面數學知識來聯合出題.該種類型的數學問題是不等式相關類型題中一類比較難的數學題目，具有很強的抽象性，我們高中生在求解的過程中很容易出錯.為了可以快速解決該種類型的數學問題，需要充分結合函數、導數、不等式以及單調性等相關性質來進行求解，以便達到快速求解相關數學問題的目的.

例7假設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數.

（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n為正整數，求gn（x）的表達式；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求參數a的取值范圍；

（3）假設n為正整數，試比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

分析：該道題目是一道典型的復合型數學題，主要結合函數、導數和不等式來求解閉區間上函數的最值，求解函數單調性情況，具有很強的綜合性.解決該道類型題的關鍵在于進行適當變形或者采用分離變量方法、構造函數、變換主元等方式，借助基本不等式或者函數單調性等性質來達到求解的目的.而其中的最值問題主要是將其轉化成基本不等式形式后進行求解；在轉化不等式的過程中，要注意合理確定不等號的方向，避免因不等號方向不正確而引發解題錯誤的出現，具體可以記憶為“一正，二定，三相等”，這樣可以幫助我們更好地記憶相關的解題要點，有助于提高我們的解題效能.

除了上述幾種易錯題型的解題技巧之外，不等式的常見解題技巧主要包括換元法、反證法、性質法和數形結合法.其中的換元法主要是指用某個變量替換有關數學問題中的某個式子整體，以借此來達到簡化有關數學問題的目的；反證法則是在無法正推的情況下，借助反推原理來達到解決有關數學問題的目的，其不僅適用于幾何問題，也廣泛應用于不等式問題的求解中來；性質法則主要是運用不等式的基本性質來達到求解有關不等式數學問題的目的，尤其是其中的特殊值法非常適用于某些不等式類型題的求解中來；數形結合法則主要是將有關的不等式信息以坐標圖形的形式展示出來，具有很強的直觀性，可以便捷地了解必要的不等式信息，有助于我們更好地求解不等式方面的類型題.但是在選用具體的不等式解題方法的過程中，必須要結合題干信息和具體情況來合理選擇，確保所選解題技巧可以滿足實際的解題需求，從而幫助我們更好地解決有關的數學問題，避免在求解過程中出錯.

總之，不等式是高中數學學習的重要內容，也是高考的熱點內容.為了使我們可以有效地解決此類試題，我們需要豐富相關類型題的解題技巧，明確解題中的易錯點，然后需要采取針對性解題方法來解決有關數學問題，最后還需要在平時解題過程中注意總結經驗，從而為提升我們的解題能力奠定扎實基礎.