變“瑕不掩瑜”為“金鑲玉”

江蘇省江陰市華士高級中學(xué) (214421) 費振東

變“瑕不掩瑜”為“金鑲玉”

江蘇省江陰市華士高級中學(xué) (214421) 費振東

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，時常會涌現(xiàn)出一些預(yù)設(shè)之外的錯誤，有的錯誤會被我們一帶而過，有的錯誤則反復(fù)在學(xué)生的作業(yè)或考試中“借題發(fā)揮”，成為“玉上的瑕疵”. 對那些一而再的錯誤，我們通常會指責(zé)學(xué)生“榆木”腦袋，很少向內(nèi)歸因：是否我們的教學(xué)設(shè)計或教學(xué)組織出了問題？能否把以前學(xué)生出現(xiàn)過的錯誤和現(xiàn)在學(xué)生在探究過程中出現(xiàn)的錯誤作為課程資源，加以開發(fā)利用呢？讓“錯誤的瑕疵”成為整體教學(xué)上的點綴，變“瑕不掩瑜”為“金鑲玉” ，變“錯誤”為“悟錯”，科學(xué)而藝術(shù)的變?nèi)睘楹茫瑢崿F(xiàn)教學(xué)中的民主互動，促進高中生的深度學(xué)習(xí).為此，我用了近三年的時間，對這一課題進行教學(xué)試驗，取得了很好的教學(xué)效果，現(xiàn)總結(jié)如下，以期拋磚引玉.

一、利用錯誤，激發(fā)探討興趣

在每節(jié)新課開始，我都會設(shè)置一個典型的案例，這個案例可能是前面作業(yè)中的典型錯誤，也可能是引入新課題時的材料分析中故意設(shè)計的錯誤，利用學(xué)生天性中的糾錯因子，激發(fā)學(xué)生探究的興趣.這些材料來自于學(xué)生，貼近學(xué)生，通過辨析，既強化了已學(xué)概念和規(guī)律的理解，又為學(xué)習(xí)新知識做好了必要的鋪墊.

教學(xué)案例一 過點(0,1)且與拋物線y2=2x僅有一個交點的直線方程是 .

錯因分析：此處解法易犯三處錯誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況.原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透.

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即k≠0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密.

正確答案：①當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點(0,1)，所以x=0,即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切.

②當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y= 1平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個交點.

分析與反思：每一個錯誤的背后，都應(yīng)隱藏著思維的缺陷：有的是基礎(chǔ)知識理解不清，感知粗略，不精細；有的是思維定勢，不發(fā)散；有的是注意失調(diào)，不集中；有的是記憶還原，不深刻.如何開發(fā)和利用好學(xué)生自身的錯誤資源，用錯誤來取得突破，是復(fù)習(xí)鞏固的最好策略.

二、利用錯誤，激活創(chuàng)新思維

在新課學(xué)習(xí)時，學(xué)生頭腦中的前科學(xué)概念中有很多錯誤的觀點或認識，如果不讓這些觀點或認識得到糾正和完善，肯定會影響重要知識點的學(xué)習(xí)質(zhì)量，這時就需要老師通過“設(shè)疑自探——解疑合探——質(zhì)疑再探”，使學(xué)習(xí)過程中認識上的錯誤得以充分暴露，適時、適度地給予點撥和鼓勵，能幫助學(xué)生突破眼前的思維障礙，進入創(chuàng)新求異的新境界，讓學(xué)生體驗到思維的價值，享受到思維的快樂.

教學(xué)案例二 設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn=n2+2n+4，求這個數(shù)列的通項公式．

錯因分析：易缺失n=1的情況，以偏概全，誤認為任何情況下都有an=Sn-Sn-1．

分析與反思：學(xué)生犯錯誤的過程，其實正是不斷改正錯誤，完善方法的過程.對學(xué)生學(xué)習(xí)來說，所有的錯誤都可以轉(zhuǎn)化為嘗試后找到新的出發(fā)點，他們需要從錯誤中產(chǎn)生動力的能力，并且能從中找到一些有價值的東西.

三、利用錯誤，調(diào)整教學(xué)方案

在對難點學(xué)習(xí)的組織中，課堂教學(xué)充滿著許多變數(shù)，也會出現(xiàn)諸多錯誤.有的錯誤具有比較高的生成價值，有效利用，將錯就錯，及時調(diào)整教學(xué)設(shè)計，就可以創(chuàng)造教學(xué)精彩.

分析與反思：在這道題目上我放手讓學(xué)生去做，讓他們從錯中反思，錯的明白.有效教學(xué)的鼓錘敲在學(xué)生發(fā)展的需要和愿望的鼓點上，才能奏響動聽的旋律，這時候需要切記：該出手時才出手！出手的“手段”要緩一些，不牽著學(xué)生思維走，多用眼神期待學(xué)生；出手的“手法”要放一些，不直接給出他們急于想得到的答案，多用話語激勵；出手的“手氣”要柔一些，不碰傷學(xué)生的心靈，尊重學(xué)生.尤其是那些學(xué)困生，需要花更長的時間去苦苦思索，記住給他們時間，不要急于把那些本來可以自行調(diào)整的事情看作問題.

四、利用錯誤，提高反思能力.

在作業(yè)設(shè)計中，根據(jù)以前學(xué)生暴露的錯誤，適當(dāng)?shù)夭贾靡恍跋葳濉鳖}，進一步促進學(xué)生充分認識錯誤、認識自己，達到“吃一塹長一智”的目的.

教學(xué)案例四 已知數(shù)列{an}中，an=n2-kn(n∈N*)，且{an}單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________．正確答案：(-∞,3).

在渡槽通水運行不卸荷加固條件下，渡槽碳纖維貼片加固后槽身裂縫得到抑制，且具有投資少，效果好，有效解決了實際工程問題，值得借鑒。

正確解析：由于an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k，且{an}單調(diào)遞增,故有an+1-an>0，即2n+1-k>0恒成立，分離變量得k<2n+1，所以k<3．

分析與反思：基礎(chǔ)好的學(xué)生在解答時很容易用二次函數(shù)的性質(zhì)解題，忽略其定義域為正整數(shù)集從而出現(xiàn)錯誤.這個階段的錯誤往往只是因為他們掉進了自己設(shè)置的思維陷阱里，我們要做的是通過交流，引起學(xué)生重新思考，讓他們通過自己的努力從思維陷阱里走出來，從而在他們的方法論體系中種下發(fā)展的種子，明白“欲速則不達”的道理，注意區(qū)別形似質(zhì)異題.

五、利用錯誤，培養(yǎng)質(zhì)疑意識

在習(xí)題分析或試題講評的教學(xué)設(shè)計中，故意設(shè)置一些以前學(xué)生出現(xiàn)的“錯誤”，讓學(xué)生順著錯誤的思維，最終得出錯誤的結(jié)論或矛盾的結(jié)果，再反過來讓學(xué)生反思錯誤所在，既培養(yǎng)學(xué)生不迷信老師的質(zhì)疑精神，又讓學(xué)生有自我展示的成就感.

教學(xué)案例五 設(shè)f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍.

錯因分析：此題極易由已知二不等式求出a、b的范圍，然后再求4a-2b即f(-2)的范圍，這種解法錯在已知二不等式中的等號成立的條件不一定相同，它們表示的區(qū)域也不一定相同，用待定系數(shù)法則容易避免上述錯誤.

∴f(-2)=3f(-1)+f(1)，∵1≤f(-1)<2，2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10，即5≤f(-2)≤10.

分析與反思：IBM創(chuàng)始人華特說過一句或許有點極端的話：“成功的法則就是把犯錯的速度提高一倍.”在教學(xué)中，巧妙地人為制造“錯誤”，以“錯”引知，以“錯”強知，能起到比常規(guī)教學(xué)更好的教學(xué)效果.

回顧課堂教學(xué)，以前總是好心地為學(xué)生斬斷了無數(shù)荊棘，給學(xué)生架設(shè)平坦的學(xué)習(xí)空間，本身便是一種“低級錯誤”， 教學(xué)設(shè)計的這種思維慣性，不僅使老師自身產(chǎn)生了“路徑依賴”，而且使學(xué)生的問題解決也產(chǎn)生了“路徑依賴”，依賴的結(jié)果，是老師的外部強化和學(xué)生的自發(fā)探索的“臨界點”無法被有效突破.學(xué)生的每一次學(xué)習(xí)，都是“摸著石頭過河，錯誤不可避免，至多只是證明某種想法或做法的可行性和不可行性.錯誤之后的喜悅才稱得上驚喜，痛苦思索后的快樂才是痛快.

課程資源開發(fā)不僅僅是一種技巧，更應(yīng)是師生心靈間自發(fā)的合作與交流.教學(xué)過程中出現(xiàn)的很多錯誤不僅給學(xué)生留下很好的思考標本，值得認真探究；更使老師能從學(xué)生的視角重新審視自己的教學(xué)設(shè)計：原先“你們怎么會這樣想？”的驚訝和不可思議，便逐漸變成“哦，原來你是這樣看”的理解和發(fā)現(xiàn)，變成“當(dāng)初我在這個學(xué)習(xí)階段也會犯這樣錯誤”的同感和了然.

“相聚在錯誤樹下”讓學(xué)生習(xí)慣了在改正錯誤中前行；“相約錯誤”使學(xué)生思維的靈動得以展示；“相伴磨題”習(xí)得學(xué)習(xí)真功夫.他們的知識不再是只泅渡題海經(jīng)驗的結(jié)果，更多的是反思與提煉的結(jié)晶，在解題時也不會瞻前顧后，而是放手去做，提升自己的信心和實力.學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)也不再是被動的淺層學(xué)習(xí)，而是真正的深度學(xué)習(xí)，成為學(xué)習(xí)的主人.我也更好的駕馭課堂，在新課改下提高了課堂教學(xué)效率，整體教學(xué)上變“瑕不掩瑜”為“金鑲玉”，在教學(xué)管理上自己也由之前“拉牛上樹”的纖夫變成了組織他們學(xué)習(xí)生活的領(lǐng)頭羊，收獲了更深層次的職業(yè)幸福.