帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資決策

許啟發(fā)，周瑩瑩，蔣翠俠

(1. 合肥工業(yè)大學管理學院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資決策

許啟發(fā)1,2，周瑩瑩1，蔣翠俠1

(1. 合肥工業(yè)大學管理學院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

為解決傳統(tǒng)組合投資決策中極端組合投資頭寸帶來金融資產池管理上的困難，在標準的CVaR組合投資模型中增加范數(shù)約束條件，建立了帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資決策方法。該方法由三部分組成：通過理論證明將CVaR組合投資模型求解過程轉化為一個分位數(shù)回歸問題；使用LASSO分位數(shù)回歸給出帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型求解算法；通過數(shù)值模擬比較了最優(yōu)金融資產數(shù)目優(yōu)選準則。最后，使用滬深300指數(shù)進行了實證研究，發(fā)現(xiàn)帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資決策方法，能夠解決高維組合投資決策問題，挑選出較少數(shù)量金融資產進行組合投資，就能夠很好地分散尾部風險。

組合投資決策；CVaR高維組合投資；范數(shù)約束；LASSO分位數(shù)回歸

1 引言

風險測度是組合投資決策、金融資產定價、金融風險管理等領域的核心工作。自Markowitz[1]提出用方差作為風險測度以來，各種風險測度方法層出不窮，大致可以分為兩類：第一類為矩風險測度，以隨機變量的矩作為風險測度基礎，主要有：方差、標準差、半方差、下偏矩、高階矩等；第二類為分位數(shù)風險測度，以隨機變量的分位數(shù)作為風險測度的基礎，主要有：VaR、CVaR等。隨著理論深入與實踐發(fā)展，第二類風險測度方法逐成為金融風險管理的主流工具。

就分位數(shù)風險測度方法而言，VaR風險測度早已成為Basel協(xié)議主推工具，是商業(yè)銀行計提資本準備金的基礎，國內外對此開展了大量的理論與應用研究工作。VaR風險測度的主要缺陷在于：(1)不滿足次可加性，即組合投資的風險應該不高于單個資產風險之和，這是Artzner等[2]提出的一致性風險測度的必備條件；(2)不滿足凸性，即基于VaR風險測度的組合投資決策有時只能得到局部最優(yōu)解，無法得到全局最優(yōu)解；(3)無法回答損失超過VaR值的潛在大小。而CVaR風險測度則能夠克服VaR風險測度的上述缺點，越來越受到學界和業(yè)界的重視。因此，基于CVaR風險測度的組合投資決策問題被提上議事日程。杜紅軍等[3]給出了市場風險VaR和CVaR度量的AL參數(shù)法和AL-MC法，并證明了基于AL分布的風險度量模型具有其合理性和適用性，能很好地度量市場風險。Rockafellar等[4-5]、Quaranta等[6]建立了以CVaR作為目標函數(shù)、以給定的期望收益作為約束條件的組合投資決策模型，并且通過引入一個輔助函數(shù)，將其轉化為線性規(guī)劃問題來求解，簡化了計算的復雜程度。不過該方法涉及一個多維數(shù)學期望問題，往往存在維數(shù)災難，另外該方法雖然能夠處理任意分布情形下組合投資決策，但不夠精確。Giorgi[7]在正態(tài)分布假定下，對CVaR組合投資模型的邊界、有效前沿、最小CVaR風險組合投資權重、兩基金分離等一系列問題進行了討論，該方法較為精確，但只能適應正態(tài)分布情形。無疑，對于分位數(shù)風險測度，分位數(shù)回歸是一個有效的工具。許啟發(fā)等[8]基于神經網絡分位數(shù)回歸與支持向量分位數(shù)回歸模型，研究了VaR及其影響因素之間的線性及非線性依賴關系，提出了多期VaR風險測度方法，并將其與傳統(tǒng)VaR風險測度方法進行了比較。在Koenker等[9]提出分位數(shù)回歸方法的基礎上，Bassett等[10]提出基于分位數(shù)回歸的CVaR組合投資決策分析方法，通過使用悲觀效應函數(shù)構建投資組合。Laurini等[11]在此基礎上進行了實證研究，并同Markowitz的方差風險組合投資模型比較，證明了CVaR組合投資模型能夠較好地分散尾部風險。陳守東等[12]通過極端分位數(shù)回歸技術估計我國33家上市金融機構對金融系統(tǒng)整體的風險貢獻，并識別出我國系統(tǒng)重要性金融機構。

實踐中，監(jiān)測和管理大規(guī)模組合投資不僅浪費時間，而且要花費很大代價，見陳藝萍等[13]。因此，有必要建立包含較少數(shù)量金融資產的穩(wěn)健型組合投資，以減少交易、監(jiān)測和研究的成本。同時，努力控制組合投資中各資產的投資比例，以避免極端的多頭和空頭頭寸。已有文獻對帶有約束條件的組合投資進行了相關的研究，代表性的有：Yen等[14]提出協(xié)調智能下降算法求解帶有范數(shù)約束的投資組合問題。Fan Jianqing等[15]通過對權重向量施加總體風險暴露約束，得到帶有懲罰約束的組合投資決策模型。Brodie等[16]通過對投資組合權重施加約束，建立帶有約束條件的方差風險投資組合模型，達到建立稀疏的組合投資以減少交易成本的目的。Fastrich等[17]通過建立帶有不同形式約束的組合投資模型，證明其樣本外效果較好，并且在高維組合投資時效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的L1-范數(shù)約束的組合投資。Zheng Qi等[18]與Belloni等[19]通過對高維組合投資模型施加適應L1-范數(shù)約束，實現(xiàn)對金融資產的選擇從而建立稀疏的投資組合。張茂軍等[20]通過構造輔助函數(shù)，將以條件風險價值為約束的委托投資組合問題轉化為約束含有隨機凸函數(shù)的隨機優(yōu)化問題進行求解。蘇治等[21]使用圖結構來描述高維資產之間關聯(lián)，建立了基于圖結構約束的最小方差組合投資模型。

綜上所述，已有文獻建立了CVaR組合投資模型，但并沒有對模型施加約束條件，難以實現(xiàn)高維組合投資決策。也有文獻建立了帶有約束條件的投資組合決策模型，但并沒有使用CVaR風險測度。為此，本文將這兩個方向結合起來，在標準的CVaR組合投資模型基礎上，增加了范數(shù)約束條件，建立了帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資決策方法。本文在以下三個方面開展了創(chuàng)新性研究。第一，對標準的CVaR組合投資模型，將其求解轉化為一個分位數(shù)回歸問題，有利于CVaR組合投資模型的推廣與應用。第二，建立了帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型，使用LASSO分位數(shù)回歸，給出其求解算法。第三，通過Monte Carlo數(shù)值模擬，分兩種情形：大n小p、小n大p，比較了最優(yōu)金融資產數(shù)目優(yōu)選準則。最后，將本文給出的方法應用于滬深300指數(shù)，對其中的成分股進行組合投資決策，評價其組合投資選擇效果。

2 組合投資決策模型的建立

2.1 CVaR風險測度

對于單個資產或資產組合收益隨機變量X，其分布函數(shù)為F，CVaR是指損失超過某一閾值(VaR)的平均損失，概率水平τ%(τ<1)下的CVaR可以表示為:

CVaRτ=E[-X|-X≥VaRτ]

(1)

式中，E[·|-X≥VaRτ]為條件-X≥VaRτ下的條件期望，閾值VaR滿足:

Pr[-X≥VaRτ]=τ或者VaRτ=-F-1(τ)

(2)

進一步，CVaR可以表示為:

CVaRτ=-E[X|X≤-VaRτ]=

(3)

可以看出，CVaR是由低于閾值VaRτ的一組VaR進行加權平均所得，具有分位點τ依賴性。

2.2 標準的CVaR組合投資模型

考慮由p個金融資產X=(X1,X2,…,Xp)′，經過組合投資方案β=(β1,β2,…,βp)′，得到一個投資組合Y=X′β。一個理想的組合投資，就是通過對金融資產進行合理配置，得到最優(yōu)組合投資權重β(由于CVaR的分位點依賴性，這里的組合投資權重β也具有分位點依賴性。為簡便起見，本文省略了其下標τ)，使得組合投資風險CVaR最小化。可以得到CVaR組合投資模型：

s.t. 1′β=1

(4)

式中，1為由1組成的列向量，1=(1,1,…,1)′p；約束條件1′β=1，表明組合投資權重之和為1。

標準的CVaR組合投資模型可以通過拉格朗日方法，將有條件極值問題轉化為無條件極值問題，進而使用標準的二次規(guī)劃方法進行求解，在理論上和實踐上都具有很強的指導意義，詳見ChenYan等[22]、邱若臻等[23]、黃金波等[24]。然而，在標準的CVaR組合投資模型中，沒有對組合投資權重施加非負約束等，容易產生一些極端權重結果，使財富分配與資產管理極為困難。

2.3 帶有范數(shù)約束的CVaR組合投資模型

在標準的CVaR組合投資模型基礎上，對組合投資權重向量的長度實施約束：‖β‖1≤s，得到帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型

s.t. 1′β=1

‖β‖1≤s

(5)

這里，約束條件：‖β‖1≤s主要是為了防止極端組合投資權重的出現(xiàn)。通過設定不同的約束參數(shù)s值，可以對組合投資權重進行不同程度的約束，將其進行“壓縮”(將一些貢獻不顯著或者取值不大的權重“壓縮”到0)，實現(xiàn)金融資產選擇過程，能夠解決高維組合投資決策問題。

3 組合投資決策模型求解

3.1 標準的CVaR組合投資模型求解

這里，將CVaR組合投資模型求解過程轉化為一個分位數(shù)回歸問題，不僅簡化了模型求解過程，而且便于進一步推廣。通過定理1，給出組合投資CVaR的估計。

定理1：對于組合投資收益隨機變量Y，具有有限數(shù)學期望EY=μ，則有:

(6)

式中，ρτ(u)=u(τ-I(u<0))為檢驗函數(shù)。

證明：

(7)

因此，有:

(8)

移項后，可得式(6)。

(9)

(10)

將X1視為響應變量，(X1-X2,…,X1-Xp)′視為解釋變量，這就是一個典型的分位數(shù)回歸問題。

3.2 帶有范數(shù)約束的CVaR組合投資模型求解

3.2.1 模型參數(shù)估計

由式(10)可以看出，標準的CVaR組合投資模型與分位數(shù)回歸之間存在一定聯(lián)系。可以進一步給出帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型求解算法。對式(10)這個總體模型，考慮其樣本對應，可以將帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型求解過程轉化為一個分位數(shù)回歸問題:

s.t. ||β||1≤s

(11)

可以看出，式(11)是一個帶有約束的分位數(shù)回歸問題，它等價于:

(12)

至此，已經給出了帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型的LASSO分位數(shù)回歸求解算法。本文的算法，不僅能夠處理正常樣本(大n小p)下的組合投資決策問題，而且能夠解決非正常樣本(小n大p)下的高維組合投資決策問題，從眾多的金融資產中篩選出較少的金融資產進行組合投資，極大地降低了組合投資管理難度和管理成本。

3.2.2 約束參數(shù)選擇

在帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型求解過程中，約束參數(shù)s的選擇至關重要。一般地，s越大，傾向于選擇越多的金融資產；反之，則傾向選擇越少的金融資產。

在分位數(shù)回歸中，常用SIC準則(Koenker等[28])，定義如下：

(13)

另外一個標準：黃金準則GS，定義如下：

(14)

4 數(shù)值模擬

為檢驗上述兩種約束參數(shù)選擇準則的實際表現(xiàn)，本節(jié)使用MonteCalo方法進行數(shù)值模擬。實際中，對金融資產數(shù)目p和樣本量n，通常有兩種情況：第一，大n小p，即n>p；第二，小n大p，即n

4.1 n>p的情況

4.1.1 數(shù)據(jù)生成

考慮模型：

Z=X*′β+σε

(15)

對回歸系數(shù)β，可以設置稠密型、稀疏型和非常稀疏三種類型，考察模型的變量選擇功能。對每一類型，都計算其信噪比：S/N=var(X*′β)/var(σε)，可以通過調整參數(shù)σ的取值，獲得相同的信噪比。系數(shù)類型、β取值、σ取值與信噪比之間的對照關系詳見表1。

表1 數(shù)據(jù)生成機制與參數(shù)對照

設置訓練集樣本量為100、驗證集樣本量為10000(主要用于GS準則的檢驗)，進行數(shù)值模擬：第一步，生成數(shù)據(jù)，獲得(X*,Z)；第二步，在τ=0.1處(與CVaR0.1相對應。其他分位點處約束參數(shù)選取準則的性能，結果與此完全一致，這里省略了其他分位點處的數(shù)值模擬結果)，估計模型參數(shù)β；第三步，計算約束參數(shù)選擇準則：SIC和GS；第四步，使用SIC和GS進行資產選擇，比較實際選中的資產與真實資產之間的偏差；第五步，重復上述過程100次。

4.1.2 模擬研究

由表1可知，對于不同的系數(shù)類型、解釋變量相關程度、誤差分布特征，一共進行了：3×2×3=18種情況的數(shù)值模擬。限于篇幅，這里報告了其中三種代表性情況(包含了三種系數(shù)類型、兩種解釋變量相關程度、三種誤差分布特征)的數(shù)值模擬結果。

(1)稠密型：令ρ=0，ε～N，進行組合投資決策，具體結果見圖1。圖中既給出了組合投資系數(shù)β的路徑，又給出了SIC準則和GS準則的最優(yōu)組合投資選擇結果。右側縱軸表示所對應的每一個資產，實線表示SIC準則選擇最優(yōu)的組合投資的結果，虛線表示GS準則選擇最優(yōu)的組合投資的結果。從圖中可以看出，隨著約束參數(shù)s的逐漸增大，對組合投資決策模型所施加的約束越來越小，所選擇的資產數(shù)目逐漸增多，并最終選中了所有的資產。當s分別為6.464、6.245時，SIC、GS值達到最小，此時兩個準則都選擇了8個資產。

圖1 組合投資權重(回歸系數(shù))路徑及資產選擇(稠密型)

(2)稀疏型：令ρ=0.5，ε～DE，進行組合投資決策，具體結果見圖2。由圖2可知，s從0逐漸增大的過程中，第1、第2和第5個資產優(yōu)先被選中。當s約等于6.114時SIC和GS值均達到最小，此時二者都選擇了3個資產，分別是第1、2、5個資產。

圖2 組合投資權重(回歸系數(shù))路徑及資產選擇(稀疏型)

(3)非常稀疏：令ρ=0.5，ε～Chi，進行組合投資決策，具體結果見圖3。從圖3可以看出，s為4.854、4.718時，SIC準則和GS準則選擇了最優(yōu)的組合投資結果。此時二者都選擇了一個資產，即第1個資產。

圖3 組合投資權重(回歸系數(shù))路徑及資產選擇(非常稀疏)

綜合以上三種情況可以看出，當n>p時，第一，對CVaR組合投資模型增加范數(shù)約束，能夠使貢獻不顯著或貢獻度不大的金融資產的權重趨于0，僅選擇相對重要的資產，使組合投資的管理更加方便，節(jié)約成本；第二，對于不同的系數(shù)類型、解釋變量相關程度、誤差分布特征，用SIC準則和GS準則選擇最優(yōu)的組合投資決策結果時，都能夠準確地選擇相應金融資產，說明它們都能夠適應金融資產組合投資決策的要求。

表2 模擬100次試驗中各金融資產選擇的次數(shù)

4.2 n

4.2.1 數(shù)據(jù)生成

仍然使用式(15)生成數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)生成過程與n>p情況類似。不同之處，這里取p=100，回歸系數(shù)仍然考慮稠密、稀疏、非常稀疏三種情形：

(1)稠密型：100個系數(shù)從標準正態(tài)分布中隨機給出。

(2)稀疏型：100個系數(shù)中前15個系數(shù)非0，從標準正態(tài)分布中隨機給出，其余全為0。

(3)非常稀疏：100個系數(shù)中前3個系數(shù)非0，從標準正態(tài)分布中隨機給出，其余全為0。

設置訓練集樣本量為80、驗證集樣本量為10000(主要用于GS準則的檢驗)，進行數(shù)值模擬(仍然采取上述五個步驟)。

4.2.2 模擬研究

對于np的情況一樣，這里報告了其中三種代表性情況，計算出σ值分別為0.961、0.242、0.021。數(shù)值模擬結果(限于篇幅，這里沒有展示)表明，GS準則依然能夠準確選中相應的金融資產，而SIC準則失效。

5 實證研究

5.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取滬深300指數(shù)作為研究對象，對其中的300支成份股進行組合投資決策分析，成份股的收益按照對數(shù)收益進行計算，即：rt=100×(lnpt-lnpt-1)，其中pt為收盤價。這里的組合投資決策過程，無需使用滬深300指數(shù)信息，而是直接由其成份股進行組合投資選擇。樣本區(qū)間為2011年4月11日到2013年11月11日，共626個樣本量。將樣本區(qū)間分為三部分：訓練集、驗證集和測試集。對于n>p的情況，選取訓練集樣本區(qū)間為2011年4月11日到2013年7月2日，共539個樣本量；對于n

5.2 組合投資分析

5.2.1n>p的情況

由于此時SIC準則與GS準則所得結果較為一致，這里只報告基于SIC準則所得組合投資權重(回歸系數(shù))選擇結果，見圖4。圖4中既給出了組合投資權重選擇的路徑，又給出了SIC準則選擇最優(yōu)金融資產的結果。可以看出，隨著約束參數(shù)s逐漸增加，所選中的金融資產數(shù)目也逐漸增多。當s大約為1.953時，SIC值最小，得到最優(yōu)組合投資結果。此時，共選中了62個資產，其權重大小如圖5所示。由圖5可知，這62個資產構成的投資組合權重有正有負，最大權重為0.261，最小為-0.083，不存在極端權重。這些結果表明，本文所建立的模型能夠有效避免極端權重的產生，具有較好的實際應用價值。

圖4 組合投資權重(回歸系數(shù))路徑及SIC準則資產選擇

圖5 最優(yōu)組合資產權重

為比較，本文也使用FanJianqiang等[15]帶有范數(shù)約束的方差風險組合投資方法(簡記為：L1-方差)，進行了組合投資決策分析。表3列出了分別使用“L1方差”方法與本文給出的帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資方法(簡記為：L1-CVaR)所得組合投資效果比較，其中CVaR是基于90%的置信度(與τ=0.1對應)計算的。由表3的“L1方差”方法與“L1-CVaR”方法的結果可知，第一，在樣本內，“L1-方差”方法所得組合投資的標準差較小，而“L1-CVaR”方法的相對較大，主要原因在于前者優(yōu)化的目標就是標準差(或方差)。但“L1-CVaR”方法所得組合投資的VaR與CVaR值較小，其中CVaR值幾乎比“L1-方差”方法降低了23%，即“L1-CVaR”方法能夠獲得較小的尾部風險；第二，在樣本外，“L1-CVaR”方法計算的標準差、VaR與CVaR值都較小，說明本文所建立的模型樣本外表現(xiàn)全面優(yōu)于“L1-方差”方法。此外，將“L1-CVaR”方法的樣本內與樣本外效果進行對比，發(fā)現(xiàn)：樣本外的標準差、VaR和CVaR均大于樣本內的結果，說明其樣本內效果優(yōu)于樣本外表現(xiàn)。為此，建議在條件允許的時候，最好實施滾動窗組合投資決策分析，即每天都使用歷史信息對未來一天組合投資權重進行調整。不過，這種方案未必有效，因為涉及到頭寸調整會帶來交易費用。

表3 組合投資效果比較(n>p)

5.2.2n

由于此時SIC準則失效，GS準則較為準確，故這里只報告了基于GS準則所得組合投資權重(回歸系數(shù))選擇結果，見圖7。由圖7可知，當s大約為3.144時，GS準則選出了最優(yōu)的組合投資結果。此時，共選中了90個資產，這90個資產構成的投資組合權重在-0.121至0.370范圍之間，不存在極端權重。這一結果說明本文所建立的模型能夠進行金融資產的選擇，并有效地避免了極端權重的產生。

表4列出了用“L1-方差”與“L1-CVaR”兩種方法的樣本內與樣本外表現(xiàn)，所得結論同表3類似。因此，對于n

5.2.3 兩種情況比較

綜合表3和表4的信息，可見無論是n>p還是np時，其標準差、VaR和CVaR都較小，均值和Sharpe比率較大，組合投資效果較好，表明當歷史信息越充分(訓練集樣本量較多)時，“L1-CVaR”方法越容易取得好的效果。這意味著，盡管本文的帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資方法，能夠有效地解決小n大p的高維組合投資決策問題，但要想獲得更好的組合投資效果，應盡量使用更多歷史信息。

圖6 組合投資權重(回歸系數(shù))路徑及GS準則選擇

圖7 最優(yōu)組合資產權重

表4 組合投資效果比較(n

6 結語

在標準的CVaR組合投資模型基礎上，通過施加范數(shù)約束，得到了帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資模型，給出其求解算法。本文的組合投資決策方法，不僅能夠處理正常樣本(大n小p)下的組合投資決策問題，而且能夠解決非正常樣本(小n大p)下的高維組合投資決策問題。

在帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資決策分析中，約束參數(shù)s的取值，直接影響到最優(yōu)資產數(shù)目的多少和組合投資決策的效果。本文建立了SIC準則與GS準則，并通過MonteCarlo數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：當n>p時，SIC準則和GS準則均能準確的選擇相應的資產；當n

最后，選取滬深300指數(shù)作為研究對象，使用本文給出的帶有范數(shù)約束的CVaR高維組合投資方法對其中的成分股進行組合投資決策，取得了較好的實證效果。第一，本文的方法能夠很好地分散尾部風險，組合投資決策效果優(yōu)于帶有范數(shù)約束的方差風險組合投資模型。第二，能夠從眾多的金融資產中篩選出較少的金融資產進行組合投資，極大地降低了組合投資管理難度。第三，能夠有效地避免極端權重的產生，降低了由于頭寸調整而帶來的交易成本。

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CVaRBasedHighDimensionalPortfolioSelectionunderNormConstraints

XU Qi-fa1,2, ZHOU Ying-ying1, JIANG Cui-xia1

(1.School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei 230009, China)

In practice, monitoring and managing a portfolio with many assets is not only time consuming but also expensive. It is therefore ideal to pick a reasonable number of stocks to address these two issues. However, this has not been considered in traditional portfolio methods. In addition, the traditional portfolio methods often cause too extreme long and short positions, which implies a high trading cost. To this end, a new method of portfolio selection through adding norm constraints is proposed to the standard CVaR portfolio investment selection model. The basic idea of our method comes from variable selection procedure like LASSO in statistics and contains three important aspects. First, it is illustrated that the process of solving the CVaR portfolio selection model is equivalent to a classical quantile regression problem. As we all know, quantile regression approach is efficient to describe the behavior of a financial asset across quantiles, which is corresponding to a CVaR value. Second, the CVaR portfolio selection model with norm constraints is solved through LASSO quantile regression approach. Third, selection criterions for optimal number of financial assets are compared through Monte Carlo numerical simulations considering two cases: n>p and np and n

p case. For illustration, we also do empirical analysis on Shanghai and Shenzhen 300 (HS300) index. The sample period spans from Apr 11, 2011 to Nov 11, 2013. Note that the 300 constituent stocks in HS300 are always changing in the sample period since the sample is adjusted every half year. Those stocks are intersected and ultimately 230 constituent stocks are kept for a portfolio candidate. It shows that with norm constraints, our method avoids two extreme positions effectively. Moreover, our method is efficient for solving high dimension portfolio selection and outperforms some popular method like L1-Variance model in dispersing tail risk of portfolio only using a small amount of financial assets. For example, our method reduces the VaR by 30.28% in sample and 0.69% out of sample, while reduces the CVaR by 44.92% in sample and 10.42% out of sample. To sum up, our new method is a general one that includes the standard CVaR-based portfolio selection model as a special case. It is certainly that our method can be improved by utilizing some alternative constraints like SCAD (Softly Clipped Absolute Deviation) penalty. This penalty will bring an unbiased results, which does not have in our current method. This is left for future research.

portfolio selection; CVaR based high dimensional portfolio selection; norm constraints; LASSO quantile regression

1003-207(2017)02-0040-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.02.005

2015-02-03；

2016-06-12

國家社會科學基金資助項目(15BJY008)；國家自然科學基金資助項目(71671056，71490725，71071087)；教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目(14YJA790015)

蔣翠俠(1973-)，女(漢族)，安徽省碭山縣人，合肥工業(yè)大學管理學院，副教授，博士，碩士生導師，研究方向：金融計量、時間序列分析，E-mail：jiangcx1973@163.com.

F224.0

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