小學數學數形結合思想方法的教學研究文獻綜述

田丹妹++戴瑩

數形結合思想是學習數學最為廣泛和常用的一種數學思想方法，它能夠將抽象問題直觀化，利于教師的教和學生的學。在當今生活化教育的背景下，運用數形結合思想方法顯得更為重要，因此有必要對數形結合思想進行研究，以下是從國外和國內兩方面搜集到的有關數形結合思想的研究資料，整理如下：

一、國外有關數形結合思想方法的研究

早在畢達哥拉斯時代，數形結合思想就萌芽了。此后便以跳躍式步伐快速向前發展。恩格斯認為：“‘數與‘形是數學的基本研究對象，他們之間存在著對立統一的辯證關系。”他的這一觀點指出了“數”和“形”這一矛盾雙方是相互依存，相輔相成的。“數”與“形”的配合運用為解決數學問題提供了方向，有利于將抽象的數學符號同直觀形象的圖形結合起來，實現由抽象到具體的轉化。美國數學家斯蒂恩也指出了“數”和“形”之間相互配合發展的重要性，他談道：“若一個特定問題，可以被轉為一個圖形，則思想就整體地把握了問題，而且是創造性地思索了問題的解法。”足見“數”與“形”結合的重要性。拉格朗日也認為：代數和幾何的發展是相互依存不可分離的，拋棄或忽視任何一方，它們的發展就會變得緩慢，應用范圍就會縮小，“但是如果這兩門科學結為伴侶，那么它們就能互相吸取新鮮活力，從此便以快速的步伐走向完善。”這就為數形結合思想的發展提供了有力的證詞。進入17世紀上半葉，法國數學家笛卡爾通過直角坐標系建立了“數”與“形”之間的聯系，數軸的建立使人們對“數”與“形”的統一有了新的認識，“把實數集與數軸上的點集一一對應起來，數可以視為點，點也可以視為數，點在直線上的位置可以數量化，而數的運算也可以幾何化。”從而真正實現了“數形結合”。當今，有關國外數形結合思想研究還在不斷發展，楊彥在他的《英國初中代數課程“數形結合”思想研究》中提到：“在英國初中的代數課程中要求對某些特定內容（如：函數、不等式解集等）了解它的幾何形式。”其次，“英國的數學教育重視實用性，‘用數學的意識和能力的培養貫穿課程始終”。教材的設計上也很用心，大量選取了來自現實生活和跨學科的內容，將數形結合思想貫穿于解決復雜問題的始終。潛移默化地影響學生的數學學習。羅壽蘭對日本高中數學教材研究后指出“日本的很多數學問題與生活實際聯系緊密，書本圖文并茂。形象直觀，便于學生理解，有些內容學生可以通過自學獲取知識。”從這一點上來看，對我國數學教育具有很大的借鑒價值。但從梳理的國外文獻來看，其研究主要是從“數”和“形”的關系進行的，很少從中小學數學教學的角度進行闡釋，而且研究多以初高中為主，小學的研究甚少。

二、 國內有關數形結合思想方法研究

數形結合思想在我國的研究比國外起步晚。“數形結合”一詞正式出現是在華羅庚撰寫的《談談與蜂房結構有關數學問題》中提到“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。” “數形結合”一詞推出后不久，立即獲得了教育界的廣泛認可，此后研究“數形結合”的學者越來越多。通過對搜集到的文獻分析，發現國內對數形結合思想的研究主要是從“以形助數”、“以數解形”、“數形互助”三個方面著手的，以下是從三方面分別梳理的文獻：

1.有關“以形助數”的研究

數學是研究數量關系和空間形式的科學，毋庸置疑，“數”和“形”是數學研究的對象。但有的數量關系抽象，學生在把握上有一定難度，而“形”具有形象直觀的優點，恰恰在幫助學生理解上起到了很好的促進作用，即“以形助數”，也就是借助圖形的直觀幫助學生理解抽象的數和數量關系。由于小學階段的數學知識大部分來自實際生活，再從實際生活中抽象出數學知識，小學生由于受思維發展不成熟等因素的限制，這些概念會阻礙學生的理解，使學生難以接受和掌握。基于這一點，有些學者認為“教師借助以形助數的思想與方法呈現相關概念，會使這些概念以清晰明了的方式呈現在學生面前，因而易于被小學生所理解、接受和掌握。”通過“以形助數”在教學中的運用，能夠幫助學生將抽象問題變具體，復雜問題變簡單，為學生更好地學習數學知識提供了便利。“要讓學生掌握抽象的數學知識，就必須具有豐富的感性材料作支撐。”正如宋英海在他的論文《數形結合思想在初中數學解題中的應用》中提到；“‘形能映射更多的具體思維，在解決問題時起關鍵的定性作用。”只有在學生面前呈現大量的感性材料，讓學生自己去觀察、發現和探索，學生才能夠從中提煉出相關的數學知識，其思維的發展才不會受限制。張興廣也在他的論文《以形思數，使數學問題具體化》中指出：如果學生在做題過程中能夠結合直觀的圖形，分析出問題所給的數量關系，將數量關系和圖形結合起來，發現其中隱含的規律和運算法則等，總結出做題的方法，使抽象復雜的問題變得簡單易解，從而激發學生學習的興趣，提高學生分析問題和解決問題的能力。可見，“以形助數”的運用能夠幫助學生將圖形的性質和圖形直觀的優點結合起來研究數學問題，將抽象化為直觀，為更好地學習數學知識打基礎。就梳理的文獻來看，他們的研究有一個共同之處，即都是通過借助圖形形象、直觀的特點解決代數問題，幫助學生獲得理解知識的方法和途徑，調動學生學習的興趣。但遺憾的是有關“以形助數”的研究在函數方面研究得較多，且以初中和高中的研究為主，在其他方面的研究少之又少。

2.有關“以數解形”的研究

有關“以數解形”這一表現形式說法不一，主要有“以數解形”、“以數助形”、“以數想形”。但無論其如何表述，始終是為了彌補“以形助數”的不足，借助代數知識解決較為抽象復雜的幾何問題。“以形助數”雖然能根據給出的“數”的結構特點構造出與之相應的幾何圖形，用幾何方法解決代數問題，使抽象的概念變得直觀、具體，利于學生理解，但“以形助數”在解決數學問題中不具有普遍性，因此，能不能通過數的運算把幾何圖形的問題轉化為代數方法解決？即“以數解形”。楊鋒潑在他的論文《初中學生數形結合思想培養的探究》中指出：“以數助形”能夠彌補“以形助數”的不足之處，是解決數學問題的有效手段。 “恰當地利用‘以數助形能夠使問題直觀顯現，省去大量的理論分析過程。”借助代數演算的方法解決數學問題，將復雜問題簡單化，達到輕松學習。藺月薇在她的《淺析數形結合思想在小學數學課堂中的應用》也談道：“‘形具有直觀形象的優勢，但也有其粗略和不便于表達的劣勢。”“‘以數解形能夠借助數的精確性和嚴密規范性來闡明形的某些屬性，將形向數的層面上進行轉化和溝通。”因此，在教學過程中，要結合數學學習的特點，以簡潔準確的數學描述加上題目中適用和隱含的公式、定理或運算法則等全面理解“形”的特點，才能更好地襯托出數學抽象性與嚴密性的特征，使學生理解更為準確和全面。專家指出：在學習中，合理的運用數與形相結合的觀點，將幾何問題轉化為代數方法解決，“通過數的運算和變式求出相應的結果，則解題方法容易尋找。”宋英海在他的《數形結合思想在初中數學解題中的應用》中也談道：初中數學中，“形”具有直觀、形象的優點不可否認，但看待任何事物都要采用一分為二的眼光，“‘形的缺點就是它不很精確。”有些圖形的表示雖然簡單，但它其中蘊含的規律抑或是答案卻未必能一眼看出來，在這種情況下就需要借助代數方法來分析和計算，以確保問題研究的縝密性和精確性。曾鵬在他的《“數與形”教學實踐與反思》中指出：當學生面對復雜圖形時，要發現其中“形”的規律顯得困難，因此“教師要引導學生從‘數的角度揭示‘形的規律，幫助學生辯證地思考‘數與形的問題，體會以數解形的好處。”在數學中，有關代數三角問題，在研究的過程中可以借助圖形看出它的對稱軸、對稱中心、周期等基本性質，而對于較復雜的幾何圖形需要通過計算和對題目中條件的挖掘和分析，才能準確判斷圖形的變化和性質，最終獲得解決問題的思路和方法。足以見得“以數解形”在數學運用中的重要性。

3.有關“數形互助”的研究

在數學中，有些問題可以通過“以形助數”的方式解決，有些用“以數解形”獲得答案，還有的需要兩者互相配合運用。即“數形互助”。“數形互助”指在解決數學問題時同時利用“以形助數”和“以數解形”，達到“數形互譯”，將問題中的數量關系以圖形表現出來，再利用圖形將抽象的數量關系變得具體，接著對圖形進行觀察、分析和聯想，再慢慢將圖形譯成算式，從而解決問題。 “數”和“形”是緊密聯系的，在研究“數”的時候，往往會借助于“形”的直觀，在探索“形”的特征時，往往又會聯系“數”的簡潔。有學者指出：在數學問題中需要“數”和“形”的互相變換，看問題時要想到用“形”的直觀變為“數”的準確，還要由“數”的精確聯系到“形”的直觀。他認為解決這些問題的關鍵就在于需要從已知和結論同時出發，認真分析找出內在的“形”“數”互變。蘇文旭在他的論文《數形互助相約函數淺識》中指出：依形判數，以數助形，直觀形象。因此，在教育教學中，要善于運用“數形結合”的方法思考問題，注重觀察和挖掘圖形蘊涵的數量關系，正確繪制圖形反映數量關系，切實把握“數與形”的對應關系等能力。只有在運用“數形結合”過程中找準“數與形”之間的聯系，才能在最大限度上發揮數形結合思想的好處。于靈在她的《運用“數形結合思想”指導初中函數教學研究及課例分析》中也提到了：“數形轉換”則是根據數形對立統一的特性，由圖形分析數與式的結構，展開豐富聯想，將其進行適當的相互轉換，化抽象為具體，找到內在聯系。他的這一觀點對解決函數問題提供了思路。在解決有關函數問題時，我們不可能只關注題目中給出的數量關系，還需要結合函數圖像的性質和特征分析隱含在題目中的條件，將圖形和數量關系建立聯系，將數量關系和圖像配合研究，從而整理出一套邏輯清晰且合理的解決方案。這一方法對解決解析幾何問題同樣適用，胡繼松在他的論文《數形結合思想及其應用》中談到了：解幾何圖形背景題的關鍵是運用數形結合思想，理清圖形中的數量關系，尋找數據之間的聯系。他的觀點為學生解決有關解析幾何的問題指明了方向，能夠幫助學生在以后解決有關解析幾何問題時找準有關圖形中蘊含的數量關系，分析出數據之間的聯系，從而獲得解決問題的最佳辦法。將“數”與“形”結合起來看問題，能夠使問題更加清晰和易于理解，也有利于學生對知識的掌握，拓寬學生的解題思路，還能為學生今后更為系統地學習更高層次的數學知識奠定良好的基礎。

三、綜上所述，這些研究，對本文的借鑒價值與啟發意義主要有：

一是總體上概括了數形結合思想方法在國內外目前的研究概況，從而為我們的研究提供了依據。二是揭示了數形結合思想中包含的基本內容和情形，從而使我們的研究更具有針對性。但在梳理文獻中不難發現：

1.研究數形結合思想三種情形的文獻較多，但其研究多以個例呈現，其研究粗淺。“數形結合”是數學發展的需要，是學習數學常用的數學思想方法，是解決數學問題不可或缺的工具。因此，數形結合思想方法的運用需要引起廣大教育工作者的重視，并努力將數形結合思想貫穿于自身教學的始終。然而，在研讀了大量的有關數形結合思想的資料分析得出：有關數形結合思想在“以形助數”、“以數解形”、“數形互助”方面的研究較多，但其研究只是針對個別的知識點以例題的方式呈現，提出了自己的教學方法和建議，沒有從教材本身出發，全面分析教材內容中包含的數學思想，從而導致提出的教學建議在一定程度上具有特殊性，不具備普遍性。

（1）研究初高中關于數形結合思想在教學中應用的文獻多，而研究小學的較少。數形結合思想是一種重要的普遍的學習數學的思想方法，無論是在小學抑或是初高中，都是學生在學習和解題過程中所要用到的，是值得學生掌握的一種思想方法。但就閱讀的文獻來看，大部分以研究初高中為多，只有極少篇目的論文是研究小學數學中有關數形結合思想的應用，雖然在查看文獻的過程中發現期刊類研究小學方面的較多，但都是籠統的，寬泛之談。

在小學數學教學中，合理運用數形結合思想方法，既符合小學生學習認知規律，也是對新課程教學理念的落實與實施。因此，對數形結合思想進行研究有利于教師更好地開展教學活動，提高學生的數學思維能力。

【作者單位： 渤海大學教育與體育學院 遼寧】