強化數學建模教學 提高學生應用知識能力

廣東省云浮市新興縣惠能中學(527400) 張鳳平

強化數學建模教學 提高學生應用知識能力

廣東省云浮市新興縣惠能中學(527400) 張鳳平

一、問題的提出

隨著素質教育的不斷深入和新課程改革的全面實施,高考越來越重視考核學生應用所學知識解決實際問題的能力.事實上,近幾年的高考數學試題明顯加強對密切聯系生產和生活實際的應用性問題的考查力度.例如,2011年全國理科卷2的車險問題,2011全國理科新課標卷的質量指標值衡量問題;2012年全國理科、文科卷2的乒乓球比賽問題,2012年全國理科、文科新課標卷的花的購買與銷售問題;2013年全國理科、文科卷2的羽毛球比賽問題,2013年全國理科新課標1卷的產品檢驗問題,文科新課標1卷的比較兩種治療失眠癥的藥(分別成為A藥,B藥)的療效問題;2014年全國理科、文科新課標1卷的測量產品質量指標值問題;2015年全國理科新課標1卷的產品的宣傳、銷售、利潤問題.然而,從近幾年的高考年報所反映的數據來看,因為應用性問題的得分率是每一年高考所有題中最低的,從另一個側面說明學生應用所學知識解決實際問題的能力卻是最薄弱的.因此,在課堂教學中開展數學建模活動,提高學生運用所學的知識解決實際問題的能力,是適應當前教育改革和開展素質教育、實施新課標的迫切需要.

二、數學建模的基本理論:

(一)基本概念

1.數學模型: 簡單地說,數學模型就是用數學語言來模擬空間形式和數量關系的模型.確切地說,數學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標,根據特有的內在規律,做出一些必要的簡化假設,運用適當的數學工具,得到的一個數學結構.一切數學概念、公式、理論體系、算法系統、表格、圖示等都可稱為數學模型.

2.數學建模: 把現實世界中的實際問題加以提煉,抽象為數學模型,求出模型的解,驗證模型的合理性,并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題的應用過程.

3.數學建模的一般流程圖.數學建模是一種數學的思想方法,是運用數學的語言和方法,遵循數學規律,通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段.主要程序如下所示:

圖1

(二)建立數學模型的方法和步驟:

1.模型準備: 了解問題的實際背景,明確其實際意義、建模目的,搜集掌握對象的各種信息.弄清對象的特征,用數學語言來描述問題及其本質.

2.模型假設: 根據實際對象的特征和建模的目的,對問題進行必要的、合理的簡化,并用精確的語言提出一些恰當的假設.

3.模型建立: 在假設的基礎上,利用對象的內在規律和適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系,建立相應的數學結構.

4.模型求解: 利用獲取的數據資料,采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法,特別是計算機技術,對模型的所有參數做出計算(估計).

5.模型分析: 對模型解答所得結果進行數學上的誤差判定,數據穩定性等分析.

6.模型檢驗: 將模型分析結果與實際情形進行比較,以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性.如果模型與實際較吻合,則要對計算結果給出其實際含義,并進行解釋.如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設,再次重復整個建模過程.

7.模型應用: 應用方式因問題的性質和建模的目的而異.

三、對高中數學建模教學的一些設想

1.培養數學建模的意識

(1)數學教師在實踐中樹立自己的建模意識.教師是學生健康成長的指導者和引路人,教師的行為直接影響著學生.為了培養學生的建模意識,教師首先要有數學建模的意識.因此,我們不僅要在教學內容和要求上有新的變化,而且要及時更新教育思想和教學理念.教師除了要不斷提高自身素質、扎實數學專業知識和了解數學的發展情況外,還要不斷地學習一些新的數學建模理論,而更重要的是教師本身要養成運用所掌握的數學知識去解決實際問題的良好習慣,不斷強化學數學、做數學和用數學的意識.

(2)培養學生的建模意識.一個人意識的形成不是一朝一夕的,需要經過長時間的培養和強化.培養學生的建模意識也一樣,需要教師在平時的課堂教學中不斷地向學生傳授和灌輸,并進行適當的強化訓練.在教學中,教師可利用現行的數學教材,有針對性地研究在各個教學章節中可引入哪些數學基本模型問題,讓學生在學習中培養建模意識.如在學習了函數一章知識后,可通過這樣的應用題讓學生懂得如何應用數學建模的方法來解決實際問題.例: 以下是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值表: (身高單位: cm;體重單位: kg)

身高60 70 80 90 100 110體重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120 130 140 150 160 170體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05

1)根據表中提供的數據,能否從我們已學過的函數y=ax,y=alnx+b,y=abx中選擇一種函數,使它比較近似地反映該地區未成年男性體重y關于身高x的函數關系式?試求出這個函數解析式.

2)若體重超過相同身高平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么該地區某中學一男生身高為175cm,體重為78kg,他的體重是否正常?(本例子是高一數學課本中的例題)

這是一個典型的利用數學建模解決實際問題的例子.第一個問題是建立數學模型.首先,要根據表中給出的數據在直角坐標系中描出散點圖(兩圖略,詳見人教版2003年6月第一版高中《數學》第一冊(上)第87頁例3和圖2-17(1)和(2)),再根據所得的散點圖的形狀判斷應選擇的函數關系式,然后求出所選函數關系式的待定系數,確定具體的函數解析式,即建立數學模型——指數函數關系式y=2×1.02x;第二個問題,是利用確定的函數關系式來回答某男生體重是否正常,就是用所建立的數學模型來解決實際問題.

可見,教師通過這些簡單的應用問題,帶領學生一起來完成數學化的過程,給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗,讓學生感受和體驗數學知識產生、發展和應用,獲得生活經驗,體會成功的喜悅,更好地熟悉和了解數學建模的基本方法,逐步培養學生數學建模的意識.這樣的數學建模訓練使學生鞏固了知識,提高了能力,開闊了視野,從而使學生思維的創造性和靈活性得到有效的訓練.

2.介紹數學建模類型,提高學生選擇建模的能力

在教學中,教師要盡可能系統地介紹和總結中學階段常見的數學建模類型,使學生掌握相關類型的建模方法,為他們今后能主動使用數學的意識、方法、手段處理問題提供知識儲備,增加數學建模的經驗.中學中常見的數學建模類型大致有以下幾種:

(1)函數模型.在生產、生活中普遍存在的成本最低、利潤最高、產出最大、效益最好、用料最省等應用問題,常常可以歸結為函數的最值問題,通過建立相應的目標函數,確定變量的限制條件,運用數學的方法進行求解.

(2)方程或不等式模型.以不等式為模型的應用題是最常見的題型之一,有關統籌安排、最佳決策、最優化問題以及最值等問題常常建立不等式模型求解.

(3)數列模型.在生活和生產活動中諸如國民生產的增長率、污染指數降低率、經濟活動中的存款利息、分期付款、期貨貿易、人口增長率等與月份、年份有關的實際問題常常可歸納為與數列有關的問題,可通過建立數學模型來解決.

(4)幾何模型.在現實生活中諸如測量、設計、航行、天體運行、材料加工等涉及到幾何圖形的應用題,常常需要利用圖形的幾何性質,建立相應的幾何模型,再與方程、不等式、三角函數等知識和方法相結合進行求解.

(5)排列組合模型.現實生活中廣泛存在著諸如運動比賽賽程安排、汽車牌照發放、課程編排等都可經歸結為排列組合應用問題.我們分析和解決問題時,要把握好所給的條件,合理分類,分清是排列還是組合,再建立合理的排列組合模型,并正確使用兩個基本原理解決這類應用題.

3.強化數學建模意識,提高學生數學建模能力

教師要轉變教育教學觀念,樹立以人為本的學生觀,充分發揮學生的主動能動作用,為學生提供一個學數學、做數學、用數學的教學和學習環境,使學生在學習中嘗試和運用數學建模的方法去解決一些實際問題,提高數學建模能力.教師盡可能充分利用教材和課外的現實生活例子,創設一些合理、新穎、有趣的問題情境來激發學生的好奇心和求知欲,使學生積極加入數學建模的實踐活動中.如在講完了“解斜三角形”這節課后,老師可安排這樣的實習作業: 測量位于河兩岸的兩座鐵鐵塔的距離.在這個實驗活動中,學生通過準備工具、設計測量方案、收集和處理測量數據、運用所學知識求出兩鐵塔的距離等系列步驟,使自己更貼近生活實際,積累生活經驗,提高分析和解決問題的能力.同時,他們在實踐中也得到鍛煉,獲得情感體驗、構建知識體系、掌握解決問題的方法.通過開展這樣的實踐活動,從中培養學生的應用意識和數學建模應用能力.

另外,教學中要調動學生參與建模活動的積極性,對建模過程中的數據加工、方法和模型的選擇、方案的解決等要給予指導和幫助,與學生一起評價各個模型是否切實可行,有利于完善數學建模的過程,使學生在數學建模活動中更加規范,減少失誤,少走彎路,提高建模的準確率,增強解決實際問題的信心和積極性,從而提高學生數學建模的興趣與能力.

4.注意與相關學科的聯系,拓寬數學建模的途徑

數學是一門最基礎的學科,它是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具,與其它學科的聯系是相當密切的.因此,我們在教學中應注意與物理、化學、生物、美術等學科的聯系,選取與之相適應的跨學科問題,或與日常生活聯系比較密切的如建筑設計中的對稱問題、銀行儲蓄利率等問題都可作為數學建模的對象,通過運用所學的知識解決這些問題,不但可使學生加深對數學知識的鞏固,而且可幫助他們加深對其它學科的理解,這也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑.例如學習了正弦函數后,可引導學生用模型函數y=Asin(ωx+φ)寫出物理中振動圖象或交流電圖象的數學表達式,進一步加深對物理概念如振幅、周期、相位和初相等的理解.又如當學生在化學中學習了金剛石等物理性質時,可用立幾模型來驗證它們鍵角為a

運用數學建模解決實際問題是一個綜合知識應用的過程,必須有良好的知識基礎和基本能力作支撐.因此,在平時的教學中,要重視強化知識訓練,夯實基礎,培養學生多種能力如閱讀和語言轉化能力、抽象概括能力、讀圖用圖能力、數學檢索能力等.只要我們平時多宣傳、多灌輸、多訓練和多實踐,數學建模教學一定會取得好的效果.