課堂教學要充分關注學生的認知水平
——對公開課《橢圓的標準方程》的思考

☉浙江省溫嶺市第二中學 王海燕

課堂教學要充分關注學生的認知水平
——對公開課《橢圓的標準方程》的思考

☉浙江省溫嶺市第二中學 王海燕

近年以來，以公開課為載體的教研活動異常繁榮，業已成為一線教師投身教研的良好平臺.近日，筆者在一次市級教學展示活動中，聽了一節《橢圓的標準方程》的公開課，任課老師引導學生經歷了橢圓方程的推導過程，掌握了橢圓方程的基本形式，體會了數形結合的數學思想，領略了橢圓方程顯現出的對稱美，使筆者深受啟發，同時也促使筆者對本節課進行了更加深入的反思.本文結合筆者的思考，以課堂教學中學生的認知水平發展為切入點，對《橢圓的標準方程》的教學提出幾點看法.

一、對課例中學生認知水平的分析

重知識、輕能力曾經是教育最為深刻的危機之一，在此背景下，廣大數學教育研究者提出了“數學為什么而教？”的追問，并達成了“為思維而教”的共識，數學課堂教學過程中學生思維活動的水平、思維能力的發展成為教學設計的焦點問題，通過對課例的學習和思考，筆者認為，就學生的認知水平而言，課例還存在著改進的空間.

（一）認知水平的分類

根據美國學者莫里斯.L.比格等人的觀點以及對數學教學現狀的考察，顧泠沅等學者認為，從教學結果角度可以對課堂教學做出兩種標記，即記憶型和理解型，不過記憶和理解僅僅是教學認知水平標尺上的兩個點，實際的課堂教學要復雜很多，從記憶到理解的發展過程中，對學生的思考力水平要求越來越高，學生參與課堂的深度也逐步增加，學生活動由被動轉向主動的探索.具體而言，我們可以將課堂教學的認知水平分為記憶水平、解釋性理解水平和探究性理解水平，其中記憶水平的課只是要求學生記住一些事實材料，而解釋性理解水平是指由教師變換各種角度進行講授、解釋、說明，設計各種例題和變式，使學生領會知識的本質，或者在理解的基礎上對數學解題方法歸類.探究性理解水平的課是指教師促使學生積極卷入學習過程，師生共同活動，在新的情境中探索新知識、學習新方法.

（二）課例中學生認知水平的分析

就課例《橢圓的標準方程》來看，應當說任課教師充分關注了學生的思維過程和認知水平，比如在推導橢圓方程的教學環節，教師首先引導學生建立恰當的坐標系，提出問題：“你認為如何建立平面直角坐標系比較合理呢？”就是一個很好的設問，具有一定的探究價值，如果此處能夠給予學生更多的探究時間和更深入的引導，這將是一個具有較高認知水平的教學片斷.但是就整體而言，課例存在學生認知水平下降的問題.

1.關于橢圓標準方程推導方法的選擇

教學片段：

師：通過上一節課的學習，同學們是否知道如何求曲線方程呢？

生：按照建系、設點、限制條件、代入坐標、化簡、驗證的步驟！

師：很好，我把它概括為“建、設、現（限）、代、化”！是不是更好記了呢？

生：（異常興奮地）好記！

師：好，下面我們按照這個步驟來求橢圓的方程……

毫無疑問，這句精彩的概括令學生記憶深刻，接下來的推導過程就按部就班地以“建、設、現、代、化”的步驟展開，學生對橢圓方程的推導方法缺乏必要的思考，幾乎是不假思索地選擇了老師告知的方法，雖然隨后的推導過程中某些步驟有解釋和探究的成分，但就整體認知水平而言，有明顯的記憶性水平的特點.

授課老師上述的引導過程局限了學生的思考，筆者以為，如果能夠讓設問更具開放性，那么學生的思維就有可能更為開闊.例如，可以將設問改進為：

問題：假設P（x，y）為橢圓上任意一點，如何根據橢圓的定義得到x與y的關系？

那么學生的思維就會更開闊一些，除了課例中提供的方法之外，還可能發現其他的更簡潔的方法，例如：

推導方法1：設|PF2|=r，則|PF1|=2a-r，

由余弦定理知，|PF1|2=（2a-r）2=r2+4c2-4crcos θ=r2+ 4c2-4c（c-x），

2.對教材推導方法的改進

眾所周知，人教版教材提供的橢圓方程的推導方法就是按照“建、設、現（限）、代、化”的步驟進行推導的，由于在方程的化簡過程中為了去掉根號，需要兩次平方，運算量極大，對學生而言有難度，但是這一難點也恰好為我們提供了提高認知水平的機會.我們先看看上述課例中授課老師的處理：

教學片段2：

師：將|PF1|+|PF2|=2a坐標化，我們得到了=2a，如何化簡這個方程呢？

生：兩邊平方！

師：同學們反應真快，兩邊平方可以去掉根號，那么，同學們再思考一下，兩邊平方一次能否去掉兩個根號呢？

生：不能，還有一個根號.

師：A同學，你來回答一下，剩下一個根號怎么辦？

生A：再平方……哦，不！太麻煩了……

師：大家說，再平方能去掉根號嗎？

眾生：可以！

師：雖然這樣作運算量較大，但是我們有沒有信心克服這個困難呢？

眾生：有.

師：好，請同學們在自己的練習本上進行化簡，我請一名同學來板演……

在本片段中個，教師對方程的化簡方法進行了引導，并鼓勵學生通過兩次平方去掉根號.筆者以為上述引導是非常必要的，因為掌握這種方法也是本節課的目標之一.但是，當學生提供了理想的推導結果之后，教師的處理又一次喪失了提高學生認知水平的機會.

教學片段3：

師：我們的同學運算水平真高！老師真為你們高興，我看到大多數同學都能夠正確地化簡出最后的方程，當然，還有個別同學沒有做完，請這些同學課后把它完成！下面我們來看我們得到的這個方程的形式……

上述片段將橢圓方程的推導方法局限于教材方法，從學生的認知水平來看，還有很大的提升空間，筆者以為，在教師肯定了學生的運算水平之后，應該進一步地追問：

問題：剛才的推導方法運算比較煩瑣，導致這種煩瑣運算的原因是什么？有沒有辦法進行改進？

通過教師的設問，學生很容易認識到復雜的運算是因為等式中有兩個根式，如果只有一個根號，那么化簡就簡便了，如何把兩個根號“分開”呢？結合定義式|PF1|+ |PF2|=2a以及等差中項的知識，學生不難想到以下的方法：

推導方法2：因為|PF1|+|PF2|=2a，所以可設|PF1|=a+d， |PF2|=a-d.于是

設b2=a2-c2即得

這種方法，巧妙地利用了參數d，回避了教材方法中繁雜的化簡過程，這種求軌跡方程的方法我們一般稱為“參數法”，學生并不陌生，同時，對于這種處理方法，學生有了等差數列的知識背景，也并非難以想到.特別是上述的追問，提升了學生的認知水平，也培養了學生善于總結，善于思考的習慣.

3.關于課例中教師的設問

課堂設問是課堂教學設計最重要的議題之一，由于學生的反應和教師設問同屬一個思考力水平，所以，課堂設問是維持學生合理思考力水平的基本手段，但是根據筆者的了解，課堂上“隨意問、滿堂問”的現象確實存在，課堂設問缺乏對認知水平的思考也是教學過程中的一種“常見病”.筆者以為，克服課堂發問的隨意性，編制認知水平合理的問題是維持課堂教學認知水平的重要前提.

就筆者所見的這節課例而言，教師一共提出了7個問題，就認知水平而言，有三個問題屬記憶水平的問題，學生只需要根據對已有知識的回憶就可以作答，并不需要思考，兩個問題屬于解釋水平的問題，學生需要根據自己的理解，結合問題的情景，思考后作答.只有一個問題“如何建立橢圓的方程？”這本該是一個具有探究意義的問題，但正如前文所述，教師有意地將學生的思路引向以“建、設、限（現）、代、化”為程序的直接法，使得學生的認知水平下降，而隨后教師又將推導過程通過幾個子問題進行引導，這種“小步走，多鋪墊”的處理，為學生的推導鋪平了道路，掃清了障礙，同時也使得推導過程能夠按照教師的預設順利進行，但從學生認知水平來講，這一做法使得學生的思考力水平進一步下降，本該是需要思考甚至探究的問題，但是由于過多的鋪墊和引導，使得學生的思考變成了填空式問答.

4.關于課例中教師的理答技巧

恰當的設問僅僅是維持合理認知水平的前提，但是當學生對問題給出回答后，教師的反應也就是理答技巧同樣重要，因為教學的預設和生成往往會有差距，特別是學生的回答可能并沒有達到教師的預期，這就需要教師針對學生的回答給出適當的回饋.一般來說，教師的理答內容主要包含：鼓勵和評價、歸納答案、匡補探究、合理追問這幾個方面，其中的匡補探究主要指教師對學生回答中的錯誤進行糾正，而合理的追問往往能起到提高學生認知水平的作用.

課例中教師一共處理了19位同學的回答，應當說教師特別注意對學生進行正面評價和鼓勵，也能適時總結學生的答案，也有恰時恰點的追問，師生互動頻繁、氣氛熱烈.但是有些問題的回答有改進的空間，特別是當教師對學生回答的評價除了鼓勵外，更要注重理性分析，指出優點和缺點，并通過追問維持和提高學生的思考、認知水平.在此筆者舉兩例：

先后有兩名學生做出回答，學生B直接平方，學生C先移項后平方，但是教師的回答都是對學生的化簡“功夫”進行了贊賞，缺乏理性的分析和追問，對兩種處理方法的優劣沒有具體分析，

問題：如何建系比較好？

應當說這一個問題具有探究性，是一個好問題，學生D給出了合理的答案，但是學生的回答僅僅是根據對稱性提出的猜想，在方程沒有推導出來之前，并不能很好的解釋其建系的合理性，這就要求教師在得出橢圓標準方程之后，追問：“如果橢圓的中心不在原點，其方程有何變化？”這樣就能使學生真正認識到將原點放在橢圓中心的合理性.

二、幾點認識和思考

通過以上課例的研究和思考，筆者以為，就當前的教育實踐來看，學生認知水平下降是一個比較普遍的問題，維持和提高學生的認知水平，確實應該是數學教師應該努力達成的目標.

1.認知水平下降是目前普遍存在的問題

從課堂教學的三個認知水平來看，記憶水平的課思維層次低，但是數學知識也需要記憶，所以不能簡單地全盤否定，而解釋水平的課應當是大多數教師追求的目標，因為把知識講清講透是教學的基本追求，但是解釋水平的課也有不足，往往過分依賴已有的解題模式，容易形成思維定式，不利于創造，所以還要在達到解釋水平的基礎上，大力提倡探究水平的課.但是從教學的現實情況來看，以下兩個問題是普遍存在的：

（1）本該是解釋水平的課，不少教師卻將其下降為填空式問答，或者通過記憶解題模式并結合習題的反復演練進行鞏固，學生的思考力水平明顯處于低層次.

（2）本該是探究水平的課，卻由于教師過多的干預，引導，失去了探究的意義，“表面上在探究，實際上在講解”，認知水平下降.

2.如何維持和提高學生的認知水平是值得每位教師思考的問題

數學教學的過程同時也是學生思維水平發展和提升的過程，學生通過具體的認知活動使得自己的思維能力和數學素養得到提高，而認知水平的高低，直接關系到教學目標的達成，所以，在教學設計和實施的過程中，應當時刻關注學生認知活動的水平，根據筆者的經驗和思考，以下幾點是值得注意的：

（1）課堂設問要關注問題的認知水平，使其合乎教學目標的要求.

（2）在學習過程中給學生必要的腳手架是必要的，但過多的鋪墊和干預會降低學生的認知水平.

（3）教學的預設和生成往往會有差距，學生對問題的回答并不一定符合教師的期望，特別是學生的回答往往缺乏必要的探究，有些答案甚至是通過猜測得出的，這樣一來學生的認知水平就需要教師通過追問來提升和維持.

（4）教師要有合理的理答技巧，除了給出必要的鼓勵，還應當給出理性的評價，從數學的角度評價學生回答的優劣，并給出合理的建議和改進的方向.

1.王克亮.在教育價值的視角下設計教學［J］.中學數學教學參考：2013（12）.

2.顧泠沅.《尋找中間地帶：國際數學教育改革的大趨勢》［M］.上海：上海教育出版社，2003.