立足教材理解數學優化教學
——以《任意角的三角函數定義》為例

☉江蘇省南京市六合區程橋高級中學 李素文

立足教材理解數學優化教學
——以《任意角的三角函數定義》為例

☉江蘇省南京市六合區程橋高級中學 李素文

章建躍博士認為，教學的有效性，只有圍繞概念的核心展開教學，在概念的本質和數學思想方法的理解上給予點撥、講解，讓學生在理解概念及其反應的數學思想和方法的基礎上，對細節問題、變化的問題進行深入思考，這樣才能實現有效教學.因為概念的核心、思想方法是不容易把握的，這是教師發揮主導作用的重點所在；具體細節正好是鍛煉學生應用概念解決問題的機會，是促進學生理解概念的平臺.

任意角的三角函數的定義是高中數學的核心概念之一，其教學具有重要的作用，但每次執教這一節時，對這一概念的形成過程，總感覺不自然，講理有些牽強.不少教師也沒有講得很清楚，大多采用書上的“規定”兩字，不加解釋，直接由銳角的三角函數推廣到任意角的三角函數，導致學生不理解其本質，只能死記硬背，遇到角為第一象限角時會做，當角為其他象限的角時就會出錯.針對這些疑問，筆者反思，該節課怎樣設計才能既適合學情又能讓學生抓住數學本質？筆者查閱文獻，研讀教材，依據章建躍博士倡導的教學設計原則“理解數學，理解學生，理解教學”改進自己的教學方案，獲得師生的好評.下面是本課例的教學設計和教學反思.

一、教學過程

（一）復習舊知，溫故知新

問題1請同學們回顧下初中學習的特殊角30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值.

問題2請回憶下，在初中直角三角形中如何定義銳角三角函數的？

設計意圖：學生初中學習過直角三角形中銳角三角函數，學生從已有的知識入手，一方面學生有熟悉感，不排斥所學的新內容，另一方面，學生有成就感，激發學習興趣.

（二）推進新課，形成概念

學生活動

問題3若以銳角α的頂點作為原點，以角α的始邊作為x軸，建立直角坐標系，設角α的終邊上任意一點P的坐標是（x，y），它與原點的距離是你能否借助點P的坐標和r表示出角α的三角函數呢？

問題4改變點P的位置，這三個比值改變嗎？請說明理由？

學生紛紛動筆驗證，兩分鐘后學生已經得出結果.

生3：再另取點Q，作QN⊥x軸，則△OPM與△OQN相似，得到三個比值不變.

生4：我找的30°的終邊，通過測量，計算得到三個比值相等.

師：同學們做得很好！當銳角固定時，它的三角函數值與角的終邊上點的位置無關，只與坐標的比值有關，當角改變時，這三個比值還一定相同嗎？

生5：不一定相同，30°與45°的三角函數值就不同.師：很好！定義域內的任意一個角都有唯一的比值與之對應，你能想到之前我們學過的哪個概念？

（眾生小聲討論，有的同學想不到，有小部分學生想到函數的概念）

生6：函數的概念.

師：請你幫我們重溫下函數的概念吧.

生6：一般地，兩個非空數集A，B，對于集合A中的每個自變量x，根據某種對應法則，集合B中都有唯一的值y與之對應，這樣的對應就稱為A→B的函數.

眾生：是，自變量是角，函數值是三個比值.

師：這里的角是角度還是弧度呢？

生：都可以.

師：這里的角是弧度，我們引入弧度的必要性就是建立起角與實數一一對應的關系.因此自變量、函數值都為實數，符合函數定義的兩個非空數集，因而我們就得到了銳角三角函數的定義.

設計意圖：銳角三角函數的定義是本課重要的知識生長點與固著點，銳角是任意角的特例，從這個意義上說，任意角的三角函數是銳角三角函數的推廣.從這個角度看，銳角三角函數的概念，符號sinα，cosα，tanα是本節課的基礎，也是本課的起點.

問題5能否將銳角的三角函數值的定義推廣到第一象限的角的三角函數？

生8：老師，我有疑問，若角為390°，就不能做直角三角形了？

師：我們剛定義的銳角三角函數的定義與什么有關？

生：與角α終邊上的點的坐標有關.

師：有了這個定義還需要構造直角三角形嗎？

生：不需要，只要計算比值就可以了.

問題6能否將這一結論推廣到其他象限呢？

生：應該可以.銳角的三角函數可以推廣到第一象限，應該也可以推廣到其他象限.

師：通過我們的探究，可以得到任意角的三角函數的定義，此定義已經脫離了直角三角形中靜態的邊長之比，這里的銳角三角函數及任意角的三角函數都是以數即角為自變量，角的單位是弧度，對應法則是比值的函數.

設計意圖：通過問題5，6讓學生明確定義域內的任意一個角都有唯一的比值與之對應，符合函數的定義，因而sinα，cosα，tanα分別叫做角α的正弦函數、余弦函數、正切函數，這三個函數統稱為三角函數.

（三）數學建構，形成結論

三角函數的定義：一般地，對任意角α，角α終邊上任意一點P（x，y），它與原點的距離是那么，

sinα，cosα，tanα分別叫做角α的正弦函數、余弦函數、正切函數.

問題7根據三角函數的定義，你能否得到它們的定義域及各個象限的符號？

學生活動：學生很容易得到各三角函數在四個象限的符號，對于正、余弦函數的定義域學生很容易解決，對于正切函數的定義域時遇到困難，不知如何去求.教師啟發學生，觀察分式，若有意義滿足什么條件？滿足條件的角有哪些？

設計意圖：既然三角函數是函數，必然要研究函數的定義域，讓學生回歸到函數的相關知識.對于不能解決的問題，通過教師提問的方法，引導學生去解決，而非直接告知.

問題8你能否根據三角函數的定義求出軸線角的三角函數值？請舉例說明.

學生活動：剛開始學生還有些措手無策，教師適當提示，然后放學生去解決.學生解決了0°，90°，180°，270°，360°的三角函數值，并以表格形式列出.

設計意圖：以往的教學中，對于軸線角的三角函數的學習，在課后習題中有所涉及，但學生出錯率相當高，因而，本人覺得不如放到課堂上解決，一方面，對三角函數的定義做進一步的理解；另一方面，與其課后反復糾錯，不如把問題展示出來，讓學生自己去解決.

（四）例題解析，概念應用

例1已知角α的終邊經過點P（2，-3），求角α的三角函數值.

例1及變式的解答略.

師：如果已知角的終邊上的一點，你能歸納出求此角的三角函數的步驟嗎？

學生活動：學生結合定義，想到（1）計算OP的長度；（2）計算三個比值.

變式1已知角α的終邊經過點P（2a，-3a）（a＞0），求角α的三角函數值.

變式2已知角α的終邊經過點P（2a，-3a）（a≠0），求角α的三角函數值.

變式3已知角α的終邊落在直線y=3x上，求角α的三角函數值.

學生活動：學生自主完成，對于變式1，學生解決得很好；對于變式2，部分學生缺少分類，以及當a＜0時，出錯較多；對于變式3，大部分學生仍然缺少了分類討論，究其原因，不清楚角的終邊是射線而非直線.在其他同學的幫助和教師的指點下，同學們意識到錯誤，并改正.

設計意圖：數學的教學遵從低起點，小步子，多活動，勤反饋.變式的練習提高變式能力，完善思維的嚴密性，調動學生的學習積極性和主動性.學生思考后上黑板板演，做的結論和書寫雖然不盡完善，不夠規范，但這是利用學生的錯誤資源進行教育的好機會，教育價值更高.

例2已知任意角α的終邊與單位圓交于P（x，y），證明：sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）.

設計意圖：利用單位圓定義三角函數，是非常重要的知識點，后續學習的三角函數線，研究三角函數的值域，畫三角函數的圖像等都用到了單位圓，結合所教學生學情，在例題中講解凸顯其重要性，另外為下節課的學習起到承上啟下的作用.

（五）課堂總結、布置作業略

二、教學反思

由于三星級農村高中學生的基礎相對薄弱，本課例在引入時沒有采用摩天輪的例子，而是采用教材（蘇教版必修4）上的例子，從直角三角形中三角函數的定義到在直角坐標系中定義銳角三角函數，并對銳角三角函數的定義進行了著重探討，然后推廣到第一象限角的三角函數定義，最后推廣到任意角的三角函數定義.針對本課例，筆者有以下幾點反思.

（一）將概念形成過程還給學生，讓學生在“做”中學

數學發展的歷史告訴我們，每一個重要的數學概念的形成和發展，其中都有豐富的經歷，從對學生學習概念的認知過程的研究，我們發現數學概念的學習過程是個主動建構的過程，因而教學中要重視將概念的形成過程還原給學生.本課例中，以學生熟悉的直角三角函數中銳角三角函數定義為依托，開展探究活動，注重了從學生認知的最近發展區出發，分化出他的理論側面，使之變得容易理解.在概念的教學中，將概念形成的過程教給學生，在探究中對概念的形成與抽象有所體驗，要產生這樣的探究體驗，教師最好的引導途徑就是問題引領.提出問題引導學生思考是數學教學的一條基本原則，在教學中，教師應當構建以問題為紐帶的課堂，要求教師在教學活動中把學習設置到復雜的、有意義的問題情境中，通過學生自主探究解決真實性問題，所提出的問題既要符合學生的認知需求、認知水平，又要能夠激發學生的學習興趣與熱情.在本課例中，筆者提出了8個問題，整個問題串層層遞進，不僅利于學生思維的飛躍、加深對數學本質的認識，而且通過這些經歷得到了任意角的三角函數的定義.在解決問題時，學生在感性認識的基礎上，借助分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，使自發性概念逐漸達到理性認識的飛躍.在概念形成的過程中，學生參與到思考、探索的活動中，成為解決問題的主體.

（二）強調概念本質教學，讓學生在“學”中用

從學生學習數學概念的心理過程來看，對概念的認識是一個從具體到抽象，再由抽象到具體的過程，前一階段是為了幫助學生建立數學概念，后一階段是為了讓學生加深理解并能運用概念進行判斷推理，因而在教學過程中，我們不但要讓學生經歷概念形成的過程，建構任意角的三角函數的定義，還必須重視“變式”與“比較”.本課例中，在對任意角三角函數的求解時注意的事項，即利用角的終邊上點的坐標，及此點到原點的距離等通過例1及變式進行辨析.其實例2可以看作任意角三角函數的特殊形式，即r=1的情形，但意義重大，在三角函數中單位圓的引入為后續研究打下基礎.

（三）重視教師的示范作用，讓學生在“惑”處釋然

張奠宙教授在《努力詮釋中國特色的數學教育理念以及實踐特色》一文中，談到中國傳統的數學教育中，主張教師主導下發揮學生主體作用時說：“傳道、授業、解惑并不單指教師的作用，而主要是指教師的責任，至于怎么做，不能只以教師的主觀武斷來實行教學，要以學生為主體來安排，教師是教學的組織者、指導者、合作者，同時也是領導者和示范者.”并強調在這一過程中教師的示范很重要，對當前課堂教學中教師作用的弱化表示很大的遺憾.在本課例中，有兩處地方，教師告知學生知識點的，第一處在銳角三角函數定義到第一象限的三角函數的定義推廣時，學生仍然沒有脫離直角三角形，這點對于學生理解三角函數的本質是很大的障礙，第二處學生建立了銳角三角函數的概念，但自變量角是弧度，學生對弧度的理解仍需要時間，甚至到高三復習時學生仍有疑慮.因此教師在此兩處選用啟發后告知，將這一知識點明確化.筆者曾經讀過一篇文章，我很贊同他的觀點，在教學中關鍵的知識點學生不能解決時，直接的告知也是一種有效手段.

當然，教師的示范作用必須建立在教師研讀教材、理解教材、對教材提出的問題很好地進行“理性重建”的基礎上，然后選用恰當教學方法，精心組織教學，才能在教學中做到有的放矢，讓靜態的線性的數學知識“活”起來，“動”起來，才能優化教學效果，提高教學質量.

1.渠東劍.追求自然連貫的數學教學過程［J］.數學通報，2014（12）.

2.張紅，寧銳.努力詮釋中國特色的數學教育理念以及實踐特色［J］.中學數學教學參考：上旬，2013（1/2）.

3.潘儉，趙雅玲.從概念學習的認知分析看數學概念教學［J］.玉林師范學院學報（自然科學），2004（25）.

4.鄭良.任意角的正弦函數、余弦函數的定義［J］.中學數學教學參考：上旬，2015（1/2）.

5.徐小兵.教學示范是教師應當堅守的責任.［J］.中學數學教學參考：上旬，2015（1/2）.