讓高三復(fù)習(xí)從“解題困惑”走向“自主理解”

☉浙江省建德市新安江中學(xué) 蔣 燕

讓高三復(fù)習(xí)從“解題困惑”走向“自主理解”

☉浙江省建德市新安江中學(xué) 蔣 燕

一、問題的提出

這是筆者在進(jìn)行高三二輪復(fù)習(xí)“函數(shù)與零點(diǎn)”時(shí)的一則教學(xué)案例：

當(dāng)這個(gè)例題呈現(xiàn)后，大部分同學(xué)都能對(duì)f（x）=f（x-1）這個(gè)條件理解到位，并借助圖像，比較迅速地將y=f（x）（令a=0時(shí)）這個(gè)分段函數(shù)的圖像呈現(xiàn)出來.很明顯，一旦圖像呈現(xiàn)出來該問題基本迎刃而解了.

圖1

繼而筆者給出下面變式：已知函數(shù)f（x）=-x2-x+a，且函數(shù)y=g（x）-ax恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

圖2

同學(xué)們很快地作出了圖形（圖2），筆者驚訝了.

在高三的復(fù)習(xí)課堂中，教師經(jīng)常看到這樣的狀況發(fā)生：學(xué)生沒有對(duì)問題進(jìn)行仔細(xì)理解與剖析、很多時(shí)候只停留在模仿階段、也不管這個(gè)題的情境是否發(fā)生了變化，不在乎是否會(huì)出現(xiàn)形式上的相似掩蓋了本質(zhì)的不同情況，不會(huì)主動(dòng)實(shí)現(xiàn)自身思維的突破，陷入思維定式.在這種時(shí)候，我們老師就應(yīng)該思考如何及時(shí)抓住學(xué)生的困惑點(diǎn)并進(jìn)行剖析，讓學(xué)生有一種徹底領(lǐng)悟、通透的感覺.

二、高三二輪復(fù)習(xí)中的問題分析和策略思考

如果說高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)注重的是基礎(chǔ)，那么，二輪復(fù)習(xí)注重的是如何提升學(xué)生的綜合解題能力.每年的高考試題都十分注重基礎(chǔ)與創(chuàng)新的有機(jī)統(tǒng)一，這對(duì)高三教師來說，如何指導(dǎo)學(xué)生透視創(chuàng)新的問題、化歸為用常用的辦法去解決它是至關(guān)重要的.

在以往的高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中，多采用常規(guī)的復(fù)習(xí)模式，即：

這種復(fù)習(xí)模式面臨著巨大的負(fù)擔(dān)就是要做大量的練習(xí)，出現(xiàn)類似的問題就會(huì)、出現(xiàn)不同的就不會(huì)，導(dǎo)致高考時(shí)出現(xiàn)從未見識(shí)過的新題時(shí)，心態(tài)便會(huì)一下失衡.

大多數(shù)時(shí)候教師的著眼點(diǎn)在于如何利用本節(jié)課把學(xué)生在作業(yè)或是測(cè)試中出現(xiàn)的問題一一講解完.多數(shù)時(shí)候都是采用“老師→學(xué)生”單向的被動(dòng)型和灌輸性的教學(xué)方法，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的某個(gè)困惑點(diǎn)的針對(duì)性剖析不夠精細(xì)，學(xué)生一課堂聽下來，趣味索然且易疲勞走神，而且這種模式出現(xiàn)了一種“老師一講我都懂，老師不講我便不知如何下手”的尷尬境地.針對(duì)這種情況，筆者采用了“困惑式”復(fù)習(xí)模式，其復(fù)習(xí)模式的流程如下：

這種復(fù)習(xí)模式，課堂不再是一個(gè)單授單學(xué)的課堂，它是利用有困惑的障礙與有趣的思維進(jìn)行著不斷的交融、碰撞、延展的一個(gè)活動(dòng).而交融、碰撞的導(dǎo)火線就是困惑的存在、學(xué)生探真知的迫切欲望.有趣的困惑探索式復(fù)習(xí)教學(xué)模式可以讓師生共享彼此思考，感受彼此情感，達(dá)到思維的共振，最終激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和應(yīng)變創(chuàng)新能力.

三、“困惑式”復(fù)習(xí)模式的課堂實(shí)踐和應(yīng)用研究

抓住“困惑”這個(gè)瑰寶，讓二輪復(fù)習(xí)課“靈動(dòng)”起來.一節(jié)課下來，一天下來，一周下來，學(xué)生有他自己的思維思路，如果能順著學(xué)生的思維發(fā)展，教師進(jìn)行精心選題并講解，必定能讓學(xué)生的水平能力有實(shí)質(zhì)性的提高.可是由于老師在課堂上的對(duì)象不是一個(gè)，而是一群，那怎么順著他們的思維思路呢？最好的辦法當(dāng)然是順著學(xué)生作業(yè)中存在的困惑或是測(cè)驗(yàn)中出現(xiàn)的困惑或是課堂中出現(xiàn)的困惑進(jìn)行引導(dǎo)、調(diào)整、反饋、加深，才能讓學(xué)生在整體上有實(shí)效性的提高.

1.“傾聽”學(xué)生困惑點(diǎn)，尋找困惑節(jié)點(diǎn)根源

教科書凝聚了在數(shù)學(xué)教材研究方面造詣深厚的眾多專家的心智，是一線教師平時(shí)教學(xué)的基礎(chǔ)和根本.定義與概念的理解最省事的做法是將有關(guān)定義直接奉送給學(xué)生：“這是規(guī)定，記住它”，然后匆匆忙忙地投入解題活動(dòng).如此做法，在學(xué)生的大腦中根本不可能實(shí)現(xiàn)內(nèi)化，不會(huì)產(chǎn)生“化學(xué)反應(yīng)”，煮了“夾生飯”，只要題目有稍稍新穎的變化，學(xué)生腦子里就疑問成堆.這對(duì)思維發(fā)展極為不利，實(shí)際能力的提高也很有限.

案例2：設(shè)不共線的兩單位向量α，β，滿足α·β=0，且滿足2（α-γ）·（β-γ）=|α-γ|·|β-γ|，則|γ|的最大值為_______，此時(shí)|α-γ|的值為________.

師：為什么完全動(dòng)不了手？

生：題目中給的條件這個(gè)等式看不懂，不明白有什么信息.

教師震驚，為什么在教師眼中最基本的向量數(shù)量積的定義問題，在學(xué)生那成了無法突破的障礙.很多時(shí)候，教師無法理解學(xué)生為什么連這么簡(jiǎn)單的問題都無法解決，甚至一邊生悶氣一邊批評(píng)學(xué)生的同時(shí)快速地將（αγ）與（β-γ）的夾角就是60°的結(jié)論一帶而過.很明顯，這樣的教學(xué)會(huì)導(dǎo)致下一回碰到此類向量進(jìn)行加減運(yùn)算后的數(shù)量積情況，可能學(xué)生仍然糊里糊涂，事實(shí)上教師沒有及時(shí)敏銳地抓住學(xué)生的此處困惑點(diǎn).既然如此，教師是否可以幫助學(xué)生一層一層地脫去這令學(xué)生感到困惑的外衣呢？并且在平時(shí)的教學(xué)中經(jīng)常使用此手段，從而讓學(xué)生形成一種習(xí)慣性的思維方式之一呢？

比如說：向量作差后是一個(gè)新的向量，那可令α-γ＝m，β-γ=n，那么2m·n=|m|·|n|，顯然m與n的夾角為60°，這就成功剖去了困惑的外衣的第一層；結(jié)合條件α·β=0與圖象作出m與n，來確定γ，這又成功剖去了困惑的外衣的第二層.

為達(dá)成筆者設(shè)案例2之“意”，筆者營(yíng)造了一個(gè)新的問題之“境”：

第一層抓住c是空間任一向量；

第二層剖去xa+yb是由a與b線性表示的任一向量，可在圖形中作出.

數(shù)學(xué)問題畢竟不是洋蔥，脫了一層又有一層，很多時(shí)候?qū)W生如果會(huì)脫第一層困惑的外衣，可能就已跨過了自身思維的障礙、直擊問題的根源了.如果學(xué)生養(yǎng)成了這樣的思考習(xí)慣，那當(dāng)他們碰到創(chuàng)新問題的時(shí)候也能比較淡定的處理了.

2.“激發(fā)”學(xué)生困惑點(diǎn)，呈現(xiàn)似新實(shí)舊問題

若教師在幫助學(xué)生解決困惑時(shí)，不僅能敏銳地捕捉到學(xué)生的困惑點(diǎn)，并利用這個(gè)困惑點(diǎn)激起新的一浪又一浪的困惑，形成一條有主線的、且循序漸進(jìn)的系列，這樣不僅能徹底解決學(xué)生在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解上的困惑，還能將困惑的延展區(qū)也清除干凈，從而讓學(xué)生體會(huì)到暢快淋漓的成就感.

案例3：如圖3，已知|AC|＝|BC|＝4，∠ACB＝90°，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_________.

圖3

這個(gè)問題在高三向量的復(fù)習(xí)中第一次出現(xiàn)時(shí)，重點(diǎn)班九成以上的學(xué)生無法完成，究其原因如下：

困惑二：向量放進(jìn)“形”中總是讓人害怕.

面對(duì)學(xué)生如此多的困惑點(diǎn)，筆者不但不及時(shí)幫助學(xué)生解惑，反而扔出一堆新問題，如：

若將圖例中的所有線段看成向量，你能計(jì)算哪些向量間的數(shù)量積？

為達(dá)成筆者設(shè)案例3之“意”，筆者營(yíng)造了一個(gè)新的問題之“境”：

若教師以解出問題的答案為目的，那學(xué)生對(duì)該問題只能停留在膚淺型記憶的階段，這離我們的教學(xué)目標(biāo)還很遠(yuǎn)；若教師以給出解決問題的方法為復(fù)習(xí)課的著重點(diǎn)，那學(xué)生對(duì)解決該類型問題的方法很有可能只停留在記憶型理解的階段，也離我們的教學(xué)目標(biāo)很遠(yuǎn).授人以魚不如授人以漁，很多時(shí)候教師已經(jīng)授人以漁，但學(xué)生卻不知何時(shí)用、何處用.如果教師在授人以漁的同時(shí)讓學(xué)生養(yǎng)成一層一層去鋪墊，一層一層去剝離復(fù)雜的問題為簡(jiǎn)單的問題的習(xí)慣思維，那“漁”自然也就能用上了.這種長(zhǎng)久教與學(xué)的方式才會(huì)使學(xué)生體會(huì)到在自己思維里綻放的快感.

3.“咀嚼”學(xué)生困惑點(diǎn)，層層剖析困惑根源

教師在點(diǎn)撥學(xué)生的疑惑之前不僅自己要先對(duì)此問題某一個(gè)或某幾個(gè)困惑點(diǎn)進(jìn)行“咀嚼”，同時(shí)也要站在學(xué)生的思考角度進(jìn)行“咀嚼”，并引導(dǎo)學(xué)生如何“消化”.很多時(shí)候我們教師自身也發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題在一次“咀嚼”與多次“咀嚼”的情況下得到的反思結(jié)果是不一樣的，深度也是不一樣的.

案例4：已知數(shù)列｛an｝滿足

這是2015年的浙江理科數(shù)學(xué)壓軸題，這道題全省的得分平均分非常低.從該題的平均分可以看出大多數(shù)考生在考場(chǎng)上心中無底，困惑彌漫，信心不足，從而導(dǎo)致考試的不成功.

那眾多人的困惑是什么呢？筆者站在學(xué)生的角度思考：是不是學(xué)生平常習(xí)慣于求通項(xiàng)、求等量關(guān)系，碰到不等關(guān)系不知如何下手？作差或作商在證明不等關(guān)系時(shí)是比較常用的手段，在平常的練習(xí)中也常見，在高考時(shí)學(xué)生能否結(jié)合數(shù)列用得起來呢？又或者基于要框定的范圍，那能否聯(lián)想到函數(shù)的值域問題，數(shù)列通項(xiàng)公式本質(zhì)便是特殊的函數(shù)關(guān)系，而，那么只需框出an這個(gè)變量的范圍即可.

透過2015年的浙江理科數(shù)學(xué)壓軸題來看2016年的浙江理科數(shù)學(xué)壓軸題：

（1）求證：|an|≥2n-1（|a1|-2）（n∈N*）；

題設(shè)與問題中也出現(xiàn)了與2015年一樣的不等關(guān)系，同時(shí)還多處出現(xiàn)絕對(duì)值，學(xué)生的第一反應(yīng)是有些膽怯的.那我們來試著剖析一下該題設(shè)：

已知這個(gè)等式，如何求an的通項(xiàng)公式，這是學(xué)生比較拿手的，兩側(cè)同時(shí)除以2n，得到，由這個(gè)遞推關(guān)系可通過疊加法求出an的通項(xiàng)公式.然后再將等號(hào)改回不等號(hào)，結(jié)合上絕對(duì)值不等式不就把問題解決了嗎？

其解決問題的思想方法與2016年的浙江高考題不是一回事嗎？其思維習(xí)慣還是要學(xué)會(huì)一層一層地剖析問題然后非常自然地回歸到常用的解題方法.

無論在生活還是學(xué)習(xí)上，剖析情景才能變通，變通常常是打破僵局的有效辦法.著名數(shù)學(xué)家G.波利亞在總結(jié)解題時(shí)說：“我們必須一再地變化它，重新敘述它、變換它，直到最后成功地尋到某些有用的東西為止”.從一個(gè)“境”到另一個(gè)“境”，好似一條思維傳輸帶，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)判斷這條傳輸帶上是否有東西可拿，如何摘取.這個(gè)“拿”不是簡(jiǎn)單思路的累積，更不是多做幾道題就能做到，而是要拿解題的核心手段，對(duì)數(shù)學(xué)疑惑點(diǎn)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).學(xué)生只有在不同背景中，形成了自覺運(yùn)用解題手段時(shí)，才可以說真正掌握了化繁為簡(jiǎn)、剖析化歸的能力.

4.“透視”學(xué)生困惑點(diǎn)，化歸常規(guī)問題通法

比起教師在平時(shí)的課堂或是課后作業(yè)中觀察出來的學(xué)生在某些問題上的困惑，那學(xué)生在測(cè)試中所展示的困惑更具有真實(shí)性與代表性.教師不單單可以掌握學(xué)生的這些困惑點(diǎn)，更可以透過學(xué)生在試卷上的展示看到學(xué)生答題時(shí)的情緒變化與苦惱所在.

案例5如圖4，橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|AB|=4，|F1F2|=直線y=kx+m（k＞0）交橢圓于C，D兩點(diǎn)，與線段F1F2、橢圓短軸分別交于M，N兩點(diǎn)（M，N不重合）且|CM|=|DN|.

圖4

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求的取值范圍.

該題是出現(xiàn)在高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)的測(cè)驗(yàn)中，根據(jù)學(xué)生的作答情況我們了解到解決第一問時(shí)幾乎所有學(xué)生的心情都是愉悅的，能輕易得到橢圓E的方程為

而第二問的解答，在設(shè)D（x1，y1），C（x2，y2）的前提下，一半的學(xué)生卡在了|CM|=|DN|這個(gè)條件不知怎么用.而剩下的所有學(xué)生非常一致地呈現(xiàn)了后，停留在此下不去了.可見測(cè)試的好處，呈現(xiàn)了一個(gè)集體的困惑.

筆者在剖析該問題時(shí)，透過現(xiàn)象“透視”出學(xué)生的困惑是該運(yùn)算式子中沒有出現(xiàn)學(xué)生心里所預(yù)期中的只含x1+x2和x1x2的格局，那心里承受能力一下子就崩潰了.

事實(shí)上，在剖析這個(gè)困惑時(shí)，筆者引入了我們解三次方程時(shí)的做法，雖說三次方程不作要求，可有些三次方程我們也能解，靠的是什么？比如：x3-3x+2=0，學(xué)生異口同聲地說配湊法.那同理上式就可以配湊成：

還可以用最樸實(shí)的方法——求根公式，可知x1=-m+，代入即可.

學(xué)生恍然大悟，大悟之后更是有摩拳擦掌之勢(shì).借勢(shì)筆者引進(jìn)同類問題：

已知橢圓E的焦距為2，長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為A，B，P是E上任意一點(diǎn)（不與A，B重合），直線PA，PB的斜率之積為

（1）求橢圓E的方程；

（2）過E的左焦點(diǎn)F作直線l交E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求證：k1=3k2.

在高三二輪復(fù)習(xí)課的習(xí)題講解課中，不但要總結(jié)解題中用到的“通法”或“巧法”，更要將教師或?qū)W生解題中碰壁、反思的過程一覽無遺地暴露給學(xué)生，這種操作辦法對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用分析性思維解題、始終抓住問題的目標(biāo)進(jìn)行思維放射大有裨益.

著名數(shù)學(xué)教育家孫維剛老師說：“題做錯(cuò)了，是糾正自己對(duì)概念的片面理解或不正確的思想方法的反面教員，如果只是重做一遍，而不分析發(fā)生錯(cuò)誤的第一層原因，第二層原因…，那么，即使這次做對(duì)了，再做類似的題目，還會(huì)出錯(cuò).”所以當(dāng)學(xué)生解答出現(xiàn)困惑點(diǎn)的時(shí)候，老師不應(yīng)該馬上去指導(dǎo)、糾正，要耐心地領(lǐng)著學(xué)生像在黑暗中尋找光明一樣地去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).

四、“困惑式”復(fù)習(xí)模式的教學(xué)意義和實(shí)踐反思

在每一次習(xí)題課中，在每一次講解問題的過程中，教師不僅要講述方法，更是要強(qiáng)調(diào)問題的本質(zhì)，讓學(xué)生一而再再而三地透過問題的表面去看本質(zhì)，去思考.思考才有困惑，體驗(yàn)才有困惑，有求知欲才有困惑，有上進(jìn)心才有困惑，解決了困惑才能更積極主動(dòng)地去思考.有些同學(xué)在不同階段放棄了數(shù)學(xué)，原因就是積累了太多他自認(rèn)為無法解決或不愿主動(dòng)去解決的困惑.縱觀近幾年來的高考數(shù)學(xué)試題，源于教材的常規(guī)題占據(jù)了一定的分量，高考命題的一個(gè)不變的原則就是“取材于教材，但不拘泥于教材”.教材中每一道例題、習(xí)題，很多高考題都能在教材上找到“根源”.夯實(shí)基礎(chǔ)離不開教材，“題在書外，理在書內(nèi)”.無論高考怎么考，原理肯定都在教材內(nèi). 2013浙江高考數(shù)學(xué)試題中第17題是眾多考生在考后反映不太簡(jiǎn)單的一題，好多學(xué)生通過平方再構(gòu)造函數(shù)求解的居多，雖能解題，但顯然違背了命題的意圖.絕對(duì)值與向量的模兩者的不協(xié)調(diào)，若能讓學(xué)生聯(lián)想到如何讓兩者協(xié)調(diào)起來，那此問題就能利用向量的形的定義進(jìn)行秒殺.這點(diǎn)充分體現(xiàn)高考以教材為本的理念，從中也暴露出我們多數(shù)教師復(fù)習(xí)過程沒有將新問題與教材這個(gè)有效資源橋梁的搭建能力很好地培養(yǎng)起來.正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論區(qū)域.”

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)解題的目的在于讓每一道題都能發(fā)揮它應(yīng)有的作用，而且通過“追問”“層層剝離”，能夠做到舉一反三，觸類旁通.猶如2016年的浙江高考數(shù)列壓軸題，初看是新題，學(xué)生困惑滿腹，不能發(fā)現(xiàn)解題的突破口，而事實(shí)上突破口往往就是最“原生態(tài)”的解題方法.大多數(shù)所謂的創(chuàng)新題脫去華麗的外衣便是個(gè)常規(guī)題，作為教師要積極努力培養(yǎng)學(xué)生的分析性思維，始終抓住問題的目標(biāo)進(jìn)行思維活動(dòng).學(xué)生在運(yùn)用分析性思維進(jìn)行解題時(shí)，每一步等價(jià)轉(zhuǎn)化都使學(xué)生明確已經(jīng)做了什么，以及想做什么，有利于思維監(jiān)控，從而使問題的條件與目標(biāo)的距離進(jìn)一步縮小，建立起條件與目標(biāo)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.數(shù)學(xué)教學(xué)的過程既是暴露學(xué)生親歷、體驗(yàn)問題與解決困惑的過程和探究知識(shí)的過程，更是學(xué)生展示聰明才智、筑成習(xí)慣性剖析能力的過程.所以說如何培養(yǎng)學(xué)生的習(xí)慣性剖析能力是值得我們教師去探究的.通過二輪復(fù)習(xí)，揭示其深刻性，領(lǐng)悟其本質(zhì)性，旨在提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，讓高三復(fù)習(xí)從“解題困惑”走向“自主理解”，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)較為全面的理解.

但是目前“困惑式”復(fù)習(xí)模式也存在著一些“困惑”.雖然教師在復(fù)習(xí)中針對(duì)每一節(jié)教材例題都會(huì)對(duì)教學(xué)方法作出一些選擇，但是從“傾聽學(xué)生困惑點(diǎn)，尋找困惑節(jié)點(diǎn)根源”的不同學(xué)生層次；從“激發(fā)學(xué)生困惑點(diǎn)，呈現(xiàn)似新實(shí)舊問題”的例題習(xí)題選擇；從“咀嚼學(xué)生困惑點(diǎn)，層層剖析困惑根源”的教學(xué)方法細(xì)化；從“透視學(xué)生困惑點(diǎn)，化歸常規(guī)問題通法”的教材處理，以及預(yù)設(shè)與生成等等問題上，應(yīng)該如何做才能恰到好處的，針對(duì)不同層次的學(xué)生.課堂教學(xué)中應(yīng)該怎樣把握“有效復(fù)習(xí)”與“能力培養(yǎng)”的度才能使得不同學(xué)生得到最佳發(fā)展.要處理好這些關(guān)系，不僅要靠教師個(gè)人努力，還要依托有效的集體備課，需要大家的智慧共同來探討：二輪復(fù)習(xí)中學(xué)生的解題困惑、素材的選擇與挖掘、傳統(tǒng)與現(xiàn)代教學(xué)方法有效整合、學(xué)生知識(shí)與能力和諧發(fā)展等問題.所以說高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的有效教學(xué)探究需要堅(jiān)持不懈的精神，需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)和實(shí)踐中不斷地挖掘、摸索與總結(jié)，最終讓我們的二輪復(fù)習(xí)更精彩、更有效.

1.江戰(zhàn)明.識(shí)記·模仿·理解——認(rèn)識(shí)向量基本定理的三個(gè)層次.數(shù)學(xué)通訊，2016年05期.

2.姚梅華.注重?cái)?shù)學(xué)變式教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì).中學(xué)數(shù)學(xué).2016年05期.

3.陳曉明.我教書，我寫作，我快樂——我的數(shù)學(xué)論文寫作背后的故事.數(shù)學(xué)通訊，2016年05期.

4.楊波.“追問”讓答案更合理.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考. 2013年10期.

5.李廣修.厘清“懂”與“會(huì)”的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生既“懂”又“會(huì)”、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013年06期.

6.張永杰.對(duì)“數(shù)學(xué)教學(xué)不要無原則地搞一題多解”的思考、中學(xué)數(shù)學(xué)，2016年07期.

7.孫維剛.孫維剛教育文叢：孫維剛高中數(shù)學(xué).