高中數學核心概念教學的整體性把握

☉江蘇省白蒲高級中學 秦國清

高中數學核心概念教學的整體性把握

☉江蘇省白蒲高級中學 秦國清

數學概念是反映數學對象本質屬性的一種思維形式，是導出數學定理、法則的基礎.而數學核心概念是其中最重要的一部分，準確領悟核心概念是學生獲得系統數學知識的源泉，是學好高中數學的關鍵.下面筆者結合自身高中數學教學實踐，粗淺談談如何整體把握好核心概念教學.

一、認清核心概念本身的二維呈現方式

1.對核心概念學習過程的認識

在數學核心概念的認知活動中，學生從不能完整地表達數學概念的定義，或對概念的意義含糊不清，到能記住概念的文字表述，對概念有感性的、初步的認識；從通過回憶或再認識，比較辨析相關概念，到理解該概念的本質屬性；從該概念與其上位、下位概念的聯系與區別中明確概念所處的知識結構的位置，到利用這些關系解決新的情景中的問題.

上圖描述的是概念認知的二維結構定向模式.它以數學核心概念的內涵與外延為出發點.既有質的規定，也有范圍的規定.橫軸代表理解概念的廣度，它是相對于概念所處的知識系統而言的，反映了從感知到概括本質屬性的漸進過程.縱軸代表理解深度，它反映主體將該概念運用于不同數學情景的能力，體現為概括到應用的漸進過程.分析構建概念的二維結構模式，建立數學概念較為完整的結構定向，是從不同側面認識事物的一條途徑.如果學生擁有構建核心概念的結構模式，將大大促進知識的鞏固和遷移.

2.對核心概念本質內容的認識

數學核心概念貫穿于高中數學教學的始終，是數學核心知識的“控制中心”，在數學知識的發生、發展中起著重要作用，是數學知識的主要生長點.更重要的是它所蘊含的數學思想和方法，反映了探索自然現象和研究數學問題的科學規律，是知識轉化為能力的橋梁.學生學習時需要逐步加深理解，體會并生發出解決數學問題的方法策略.認知數學核心概念最重要的不是過去經驗的儲存，而是一旦需要這一概念時，能以可用的方式重新得到它.

以函數概念為例，函數是中學數學的核心內容，是高中數學中的一條主線.克萊因認為，可以以函數概念和思想方法統一數學教育的內容.從數學核心概念的內涵來看，函數是一個具體的數學核心概念，冪函數、指數函數、對數函數等具體函數都是其下位概念，在對函數的下位概念展開教學時，應當從函數的定義本身出發來思考具體的函數情境，從而歸納得到具體的函數類型.另外“函數”其定義本身就包含著從“變化”的觀點來考察數學對象，預示著數學思想方法從“不變”到“變”這么一種轉變，而這種轉變是通過具體的單調性、奇偶性等函數性質來展開研究的.

當然，函數概念作為本源概念，其所蘊含著的數學思想方法肯定會滲透到整個高中數學課程中去.例如，從函數的觀點出發，數列可以看成一種特殊的函數，數列的通項公式與前n項和公式都可以看成n的函數，這樣許多數列問題就可以通過函數的思想方法加以解決.解析幾何中對于圓錐曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的量，從而構成函數關系.凡是涉及最值、范圍等問題都可以從函數的觀點來進行分析，合理地選取參、變量，尋找它們之間的內在聯系，利用數學知識建立相應的函數模型，即“數學化”的過程.

函數核心概念的重要價值體現在這些廣泛的應用中，在高中數學教學的整體設計中，突出了函數與方程、數列、不等式、線性規劃、算法、實際問題的聯系，包括與概率統計中的隨機變量的聯系.用函數的思想去理解這些內容，是非常重要的一個出發點.反過來，這些內容的學習，可以加深學生對函數思想的認識.正如布魯納所說：“領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的光明之路.”

二、弄懂核心概念研究內容之間的整體聯系

任何系統都有結構，系統只有開放，與外界有信息交換，才可能使結構有序.數學核心概念也不例外.正如前面所提，數學核心概念作為一個本源概念時，它涉及豐富的下位概念；當它蘊含著重要的數學思想時，它所涉及的內容將更為廣泛，有著不可或缺的指引作用；當它預示著數學方法的重大變革時，主要體現在方法的應用上.

具體地說，數學核心概念嵌入在完整的概念體系中，起著核心關鍵作用，廣泛地與其他的概念，甚至是其他核心概念聯系在一起，建構起良好的數學知識結構，形成完整有序的系統.我們要弄懂核心概念研究內容之間的整體聯系，就要確定一定的概念體系，厘清數學概念的發展脈絡，樹立“整體觀”和“系統觀”.

下面以三角函數與向量的關聯研究為起點進行淺析.

初中教材是借助長度比值開始定義銳角三角函數的，形式上實現了長度與角度的“互化”，這種觀點在解析幾何中也有涉及.而向量的概念是以方向和大小兩個要素為尺度展開研究的.實際上方向與角度，大小與長度是統一的.自從教材引進坐標系，任意角的三角函數得到推廣，向量也得以坐標化，形式上實現了利用坐標的維度來刻畫三角和向量，高中數學中蘊含著坐標法這一重要的數學思想方法得以展示.

我們終于從思維科學的視角發現了三角函數與向量緊密聯系的緣由.它們作為聯系代數與幾何的橋梁，使數學研究從定性向定量深化.三角函數與向量的交匯，促成了向量、坐標、復數三位一體，使相關的運算化歸為實數的運算；促成了極坐標與直角坐標的互化，明析了長度與角度的轉化聯系；使直線斜率（傾斜角）、距離公式、曲線與方程等問題的研究更趨于本質化.特別指出的是，向量維度的基本定理轉化為直線坐標系、平面直角坐標系、空間直角坐標系的基本定理，它們是解析幾何發明的本源之一.至此，“三角向量”作為數形轉化橋梁的核心作用躍然紙上.

正如張景中院士指出的那樣，數學核心概念與其他概念的聯系通常都是以一定的數學思想或方法聯系在一起的，以其反映的數學思想貫穿內容體系，或標志著數學方法的重大變革而使其在整個體系中起著核心關鍵作用.數形結合不但是探究數學的思想，解決數學問題的方法，其實也是數學命題的一種根據和來源，更應是探索創新的的思維方式.

三、作好核心概念教學的整體性設計

章建躍博士指出，概念教學設計始終要把數學教學的“育人”目標放在心上，培養學生的數學思維能力、培育學生的理性精神.在進行數學核心概念教學設計時，要突出其作為本源概念的“可生長性”和蘊含數學思想方法的“連貫性”.

筆者所在學校的數學集體備課特別強調概念教學的“整體性設計”，下面以向量單元教學為例，重點闡述章節教學設計立意，整體規劃教學核心，實現教材編寫意圖.

1.借助章頭課發揮先行組織者的作用

引導學生尋找知識的生成點，使得知識的學習尋到源頭，找到知識的根.我們清楚每一個核心概念的產生都有豐富的知識背景，從概念的本源出發，便于學生看清概念產生的過程，不會讓學生感到茫然，容易引導學生發現其具有的本質屬性，概括出概念定義，進而研究概念間的聯系，建立概念體系.如在向量章節的起始課中，筆者圍繞“在中學數學中為什么要引入向量？”這一問題進行滲透教學.讓學生感受到：向量是代數的對象，向量是幾何的對象，向量是溝通代數與幾何的一座天然橋梁，向量具有豐富的物理背景，向量是重要的數學模型，有著廣泛的應用且簡單易懂.

2.借助章中課發揮思維方法的威力

引導學生發現知識的生長點，找到知識發展的枝干，使得知識的生長、發展順其自然.如學生通過類比的方法，研究向量運算，加深和拓展了對數學運算的理解：運算是數學學習的一個基本內容，運算對象的不斷擴展是數學發展的一條重要線索；從數字運算到字母運算是運算的一次跳躍，到向量運算是運算的又一次跳躍；向量的學習，為學生今后進一步學習其他數學運算奠定了基礎，讓其體會到數學運算在建構數學系統中的作用.

3.借助章尾課發揮數學方法論的力量

引導學生挖掘出知識的共生點，為知識提供養料.除了了解向量在物理等現代科學技術中的實際應用外，我們更要關注向量概念的研究，為解三角形問題（平面問題）提供新的視角；為立體幾何中的位置關系提供了量化方法；在不等式構造方面也有具體應用，甚至其方法思想在“矩陣與變換”上也有引申.這正說明，對于標志數學方法重大轉變的概念，也應該通過其在不同內容的滲透貫穿來達到理解掌握的要求.

四、抓住學生學習核心概念時的認知規律

在數學教學中要挖掘數學核心知識蘊含的思維教育價值，加強學習方法的引導，從“數學知識發生發展過程的合理性”、“學生思維過程的合理性”兩個角度構建學習過程.以問題引導學習，使學生經歷數學概念的概括抽象過程、應用拓展過程，從中體會數學的研究方法.

1.找準學生真實的學習起點，鋪設領悟核心概念的臺階，激發成功

數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上.教師要準確分析學生的學習狀況，了解學生的知識掌握及技能形成情況，要根據課時內容，班級實際，新舊知之間的聯系設置教學起點.核心概念教學要緊扣學生的“最近發展區”，找準學生的“新知生長點”，符合學生的認知規律.特別要注意教學中為學生搭建理解的平臺，鋪設概括的路線和階梯，以幫助學生感悟核心概念的“本來面目”.

再以函數概念為例，首先選擇典型、豐富的實例.在函數概念的引入、表示、性質和應用等各階段的教學中，都應用好書中的例子，為學生提供思考、探究、交流的機會，使學生在好例子的支持下開展思維，形成函數概念理解活動的強大背景支撐.其次注重表格和圖像作用.表格、函數圖像不僅是“表示法”的一種，從學生學習的角度看，它們使抽象的函數符號形象化，為學生提供了直觀的機會.例如，圖像的種種形象和基本性質使得學生直觀地“看到”、想象到函數的定義域、值域、單調性等種種性質.另外，用函數圖像分析和解決問題時體現出的數形結合思想，是培養學生數學能力的重要載體.同時幫助學生更全面、深刻地領悟“對應關系”的本質.最后強調在思想方法上給予明確具體的指導.中學生的認識能力、智慧水平尚在發展過程中，因此數學思想方法的學習，一方面要強調讓學生在親身體驗中獲得內心感悟，另一方面還要依靠明確具體的語言指引，這也是加速學生領悟過程的需要.具體講來，教師在課前根據學生已有的知識層面，設置情境，提出要求，激發學生的好奇心和求知欲，并讓學生能夠跳一跳，夠得著.鼓勵學生大膽嘗試，主動參與，增強學生的自信心，使學生感覺到成功的喜悅，繼而激發繼續學習的興趣.

2.順承學生思維發展的脈絡，把握核心概念的“來龍去脈”

數學是一門非常重要的思維科學，而學生的思維發展遵從具體形象思維到經驗型抽象思維，再到理論型抽象思維，最后到辯證思維的過程.當然，這一發展過程不是嚴格單向的，它具有相容性與同時性.因此教師可借助于思維發展的階段性理論針對性地進行核心概念教學，讓學生從統攝性強、應用范圍廣的核心概念學習中領悟到的數學的本質，形成對學生的終身發展有根本性影響的思維方式和思維習慣.必須強調的是只有讓學生親身經歷感悟過程，弄清核心概念的“來龍去脈”，才會理解深刻.

教學時要抓住數學概念體系的形成過程的層次性，講究循序漸進和滲透提高.如坐標法經歷了直線—平面—空間—超空間，通過升維、加權、反向思考等設置實施.對類比、遷移得出的新概念，需與問題情景中的已知概念比較，建立知識鏈接.例如，指數和對數類比，教材意圖明顯，希望學生利用指數和對數的關系，把對數問題化歸為指數問題，借助指數冪的運算性質，導出對數的運算性質.這樣的過程是自然的、水到渠成的，學生在概念形成、同化的過程中也實現了思維飛躍.

學生經歷概念的發生、發展、拓展，弄懂知識的同時，感受的是邏輯，掌握的是研究問題的基本思想方法.如對函數概念本身的解讀.首先由“靜態”的式與方程到“動態”的函數，形成動靜互化的認知過程，實現由過程表征向關系表征的轉變，這是它的起點.其次由動態的“變量說”到靜態的“對應說”，形成微觀抽象化的認知過程，實現函數宏觀表征向函數的微觀表征的轉變.最后再由“過程”到“對象”，實現把函數作為一個“整體的對象”來看待.在引導學生經歷了“具體情境→抽象化→符號表示→深化應用”這一系列認知實踐后，把形式化、符號化思想滲透到函數教學的每個環節，就能促進學生函數觀念的形成、發展、提高，提高學生應用函數動態與靜態的辯證關系解決問題的能力，使學生的思維朝著更深刻的方向發展.在學習中要讓學生始終處于積極探索的狀態，自覺完成知識遷移，形成知識網絡，學會數學思想方法的提煉，形成立體的知識模塊，融會貫通，達到活用知識解決問題的目的.

1.章建躍.數學學習與智慧發展［J］.中學數學教學參考：上旬，2015（7）.

2.章建躍.數學學習與智慧發展（續）［J］.中學數學教學參考：上旬，2015（8）.

3.陳振宣.三角函數在中學數學中的核心地位［J］.數學通報，2009（6）.

4.章建躍，陶維林.注重學生思維參與和感悟的函數概念教學［J］.數學通報，2009（6）.

5.沈亞軍.談差生對數學概念的認知［J］.數學教育學報，1999（4）.

6.何繼剛.賞析函數認知層次螺旋式上升的教學過程［J］.數學教學研究，2011（6）.

7.溫芳勇.高中數學核心概念教學的理論與實踐研究［D］.江西師范大學，2013.

8.丁勇.整體把握教材規劃教學核心［J］.中學數學（上），2015（5）.