變式訓練是提高學生數學思維能力的有效途徑

☉廣東省云浮市云浮中學 趙 華

變式訓練是提高學生數學思維能力的有效途徑

☉廣東省云浮市云浮中學 趙 華

《普通高中數學課程標準（實驗）》中寫到“培養和發展學生的數學思維能力是發展智力、全面培養數學能力的主要途徑，因此高中數學課程應注意提高學生的數學思維能力，這也是數學教育的基本目標之一”.《普通高中數學課程標準（實驗）》把提高數學思維能力作為十條基本理念之一.在數學教學中，變式訓練是一種傳統的、典型的提高學生思維能力的數學教學策略，是廣大數學教師在長期的教學工作中總結出來的一種行之有效的教學手段.所謂數學變式訓練，是在數學教學過程中對概念、公式、定理及問題等從不同角度、不同情形、不同層次做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，本質特征卻保持不變.利用變式訓練，可以把一個孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成一個有規律可尋的系列，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解決類似問題的方法、思路，培養學生分析和解決問題的能力，從而提高學生數學思維能力.從知識類型上區分，數學變式可分為概念定義變式、定理公式變式、習題變式三類，習題變式主要包括一題多用變式、一題多變變式、一題多解（證）變式和多題歸一（一法多用）變式.下面結合教學實踐談談在數學教學中如何運用變式訓練，提高學生的數學思維能力做一些探討.

一、變式訓練可以增強學生的直覺思維能力

數學直覺思維是非邏輯思維的一類，它沒有完整的邏輯思維過程，迅速地對問題的答案作出直接設想、猜測或頓然領悟.著名數學家徐利治教授說過：數學直覺是達到對數學知識真正理解的重要途徑.只有這樣，才能使相應的內容在頭腦中成為“非常直接淺顯的”和“非常透徹明白的”，從而真正達到“真懂”或“徹悟”的境界.同時指出“數學直覺是于后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的”，也就是說數學直覺思維是可以通過訓練提高的.實踐證明，有效的變式訓練能夠培養學生的直覺思維能力.

例1求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高.

已知：如圖1，在△ABC中，AB= AC，CD是AB邊上的高，P是BC邊上的一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.

圖1

求證：PE+PF=CD.

對上題進行如下變式：

變式1求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為定值.

變式2求證：等邊三角形邊上的任意一點到另外兩邊的距離之和為定值.

變式3求證：等邊三角形內一點到三邊的距離之和為一定值.

變式4求證：等腰三角形底邊的延長線的一點到兩腰的距離之差是一定值.

幾何中的“定值”證明題具有較大的難度.依據例1的原型啟發、聯想，

運用直覺思維，猜測出變式1、2、3、4題中的“定值”可能是“腰上的高”，即使猜測得不對，還可以把“定值”的猜想范圍放寬到腰長、周長、底邊上的高等概念上，使證明具有了方向性和目的性.在以上各變式題中，基本圖形仍是等腰三角形，只是點的位置的變化.

二、變式訓練可以提高學生的抽象概括思維能力

抽象概括是思維的基礎，抽象是有層次的，逐步深入的.數學教學活動中，如果能根據學生思維發展水平，利用概念的逐級抽象概括過程，及時向學生提出高一層次的抽象任務，就能不斷提高學生的抽象思維能力.變式訓練的過程與抽象概括思維的過程基本一致，因為我們在實施變式訓練過程中必須遵循目的性原則和層次性原則，這樣我們才能有目的地逐層推進，以保證我們的變式得以順利進行.例如，在學習導數概念時，學生原有的數學認知結構中沒有適當的觀念與微分相對應，所以需要創設一個學生熟悉的實際情景以引進導數，進而引起對原有的函數的認知結構的擴張，形成導數的認知結構.人教版選修2-2教科書中，通過兩個具體的實例，通過計算平均變化率再利用極限而逐步抽象到瞬時變化率.例如，由平均速度到瞬時速度，在具體的教學中，可通過逐步變換問題，區分平均量與瞬時量的差異，以抓住導數概念的本質特征，達到建立抽象概念——導數的目的.這樣可使學生感到引入導數概念是自然的、必要的、可行的.該方法既簡單又實用，它不僅有利于學生掌握數學知識，而且也有助于提高學生的抽象思維能力.

借助對問題非本質特征的變化（甚至改變問題的結構）而得到新問題的方法，符合數學變式教學的要求.變式的目的就是要讓學生在不斷變更問題情景或者改變思維角度的情況中，學會從中抽象出問題的本質特征，并逐漸理解抽象的數學對象背后隱藏的深刻思想方法和實質.數學變式教學讓學生對問題解決的過程及問題本身的結構有較清晰的認識，使他們能夠在不斷變化的問題情境中積極思考，這些思考的過程正是學生形成抽象思維能力的過程.

三、變式訓練可以提高學生的發散思維能力

一般來說，數學上的新思想、新概念、新方法往往來源于發散思維，它是數學思維能力的一個重要方面，是培養創造思維能力的重要環節.發散思維需要從不同方面考慮解決問題的多種可能性，因而其富于聯想，思路開闊，善于分解、組合和引申推廣，善于采用各種變通方法.因此，變式訓練就成為培養學生發散思維的橋梁和紐帶.數學變式訓練中，可以通過一題多變或一題多解（證）變式來培養學生的發散思維.

例2已知拋物線y2=2px，過其焦點F作斜率為k的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，求證

題干條件不變，進行如下變式：

變式1求證：y1y2=-p2.

四、變式訓練可以提高學生的逆向思維能力

逆向思維，就是按通常思維的相反方向思考問題的方法，也稱為反向思維.在思考數學問題時，順推不行時可以考慮逆推，直接解決不行時可以考慮間接解決，證明原命題困難時可以考慮證明它的等價命題，通常能起到化難為易的作用.在數學學習中，學生習慣于正向思維，往往忽視逆向思維，如習慣于公式定義、定理的正向運用，而拙于它們的逆向運用，故在教學中應當注重這方面的訓練，可通過一題多變中的逆向變式等方式，來培養學生的逆向思維能力.在數學教學中，為了幫助學生從不同的角度理解有關知識要點，可以編制一些“反問題”來訓練學生的逆向思維能力.

五、變式訓可以提高學生的空間想象能力

一百多年前，恩格斯給數學下的定義是“研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學”.所謂空間想象能力是人們對客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進行觀察、分析、認知的抽象思維能力，空間想象能力反映在：一是能否根據空間幾何形體或根據表述幾何形體的語言、符號，在大腦中正確想象其直觀圖.二是能否根據直觀圖，在大腦中展現出直觀圖表現的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關系和數量關系，進而能否不借助幾何直觀，對頭腦中已有的空間幾何形體進行分解、組合，產生新的空間幾何形體，并正確分析其位置關系和數量關系.培養學生的空間想象力是數學教學的主要任務之一.辯證唯物主義認為，任何事物的變化發展都有其內在規律，空間想象能力的提高也是如此，它是逐級向上的，即有明顯的層次性.數學教師只有把握好這一規律，并將它有機地滲透到教學實踐中去，有針對性地采取得當的教學方法和措施，才能有效地提高學生的空間想象能力.

學生空間想象能力的提高，有不同的途徑.可以采用如歸納、類比等方法，也可通過變式訓練的教學方式來實現，即通過對圖形進行分解、組合與變形，并向基本圖形轉化，或通過對問題本質的探究，將其引申，變換為相關圖形而得到變式問題鏈，引導學生運用圖形的知識和空間想象來解決數學問題，從而培養學生的空間想象能力.

例4讓學生根據圖2正方體（設棱長為a），回答問題：在圖2中，求證：AC1⊥B1D1，在變式圖3中，A1C和AB1有類似結論嗎？

圖2

圖3

根據這兩個結論，你能發現什么規律？

變式1在復合圖4中，你能分解出幾個標準（變式）這種基本圖形？并求證：A1C⊥平面AB1D1

變式2在復合圖4中，連接BD，DC1，BC1，求證：平面AB1D1∥平面C1BD，并求這兩個平面的距離.

圖4

變式3在復合圖4中，連接AC和A1C1，求證：對角面ACC1A1⊥平面AB1D1.

需要指出的是，標準和變式圖形是相對的，如果把圖3當標準，那么圖2就是變式.但通常是把比較直觀、學生容易理解的圖形作為標準圖形講授新知識.至于復合圖形是指前兩者組合，或同以前學過的基本圖形的組合.標準和變式圖形是讓學生掌握基本知識技能，而復合圖形則是培養學生分解基本圖形的能力，為解決復雜問題奠定良好的基礎.故三結合圖形的教學模式對任何水平學校都有指導意義.

綜上所述，在數學教學中應用變式訓練教學手段，可引導學生多方位、多角度地思考問題，深入理解概念本質，靈活運用定理公式，提高解題的應變能力，能有提高養學生的數學思維能力，同時有利于促進學生創造性思維能力的不斷發展.

1.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

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4.蒲大勇，史可富.如何讓數學思想落地生根［J］.數學通報，2016（3）.

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