數學解題教學需要尋根探源
——由一道競賽題說起

☉廣東省開平市開僑中學 陳 晨

數學解題教學需要尋根探源
——由一道競賽題說起

☉廣東省開平市開僑中學 陳 晨

一、背景

數學解題教學的高效和有效是教師教學最核心的教學內容.在新課程理念引入到教學之后，我們常常看到各種層出不窮的全新教學方式方法，有很多教學模式圍繞學生進行了設計和嘗試，是非常值得我們學習和探索的，比如以積極建構為主的數學新知類教學模式、以馬登變式理論構建的變式教學復習模式、以APOS理論進行的知識探索類教學模式等，都是有較大的借鑒意義.隨著新課程理念的不斷深入，在高三復習解題教學中，我們對新課程如何更好更妙的實施教學高效性和有效性，在認識方面并不足夠.筆者常常出去觀摩高三解題教學公開課，發現相當一部分教師仍舊以傳統教學中效率低下的大訓練模式在進行復習教學，例如，隨意從教輔資料中找四個毫不相關的問題，最后是給出四個訓練問題.試問：這樣的教學模式從量來說的確不少，但是不相干的知識解答和無聯系的知識運用，乃至非常緊張的課堂只會給學生匆匆的感覺，這樣的方式比較低下.

因此，筆者認為解題教學的模式需要改一改才能適應新課程理念.因此，以題根為本的根本教學法成為解題教學高效和有效的根源.“根本”教學法就是以數學題根和學生為根本，開展數學教學，把時間還給學生，引導幫助學生去探究，為學生未來發展奠定基礎的一種教學方法.筆者以這一模式設計了一堂高三復習課，從教學設計的技術層面上看，突破了“復習知識、綜合應用”的常規模式，依托一道高考題，通過“尋根之旅——題由根生——并蒂連理——開枝散葉——枝繁葉茂——追根溯源”在探究與思考中提出問題，在合作與交流中解決問題.其課堂的形式是開放的，學生的思維可以自由馳騁，合作交流可以非常熱烈，在交流中師生可以不分彼此，是相互平等的.同時，師生的各自任務又非常明確：教師是課堂的組織者、引導者、合作者和促進者，而學生是問題提出者、又是解決者.在這樣的課堂里，學生收獲的不單純是數學知識，更重要的是豐富了經驗、增長了智慧.筆者通過研究第26屆“希望杯”高一年級1試第19題，發現該題與課本中的一道習題如出一轍，于是從根本上對此題作了較為深入的探究.

二、題目

試題在平面直角坐標系中，過點P（m，n）（m≠0，n≠0）的直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積是定值M，則這樣的直線可能有______條.

該題由蘇教版必修2第二章復習題5改編得到，原題如下：

原題已知直線l經過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5個平方單位，求直線l的方程.

分析由直線l經過定點且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為一常數，很自然會想到直線方程的截距式

2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

變式1直線l經過點P（5，4）且與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于A，B兩點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.

分析：該題是將原題的條件強化，仍然求截得的三角形面積，可以仿照上題設截距式方程，由題意知，斜率一定存在且為負，故也可以設點斜式方程.

解法2設直線l的方程為y-4=k（x-5）（k＜0），△AOB的面積為S，所以直線與x軸正半軸的交點為A直線與y軸正半軸的交點為B（0，4-5k）.

兩種解法雖然設的方程的形式不一樣，但是在求最值時都用到了基本不等式，可謂殊途同歸.

變式2直線l經過點P（m，n）（m＞0，n＞0）與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于A，B兩點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.

分析：該題是將原題面積特別化，同時將定點一般化，但問題的本質一致.

不難驗證，過點P（m，n）（m≠0，n≠0）的直線l在點P所在象限內與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值和此時的直線方程有類似結果，于是就有如下結論.

結論1已知不在坐標軸上的任一點P（m，n），（mn≠0），則直線l過點P，且在點P所在象限內與兩坐標軸圍成的三角形面積最小值為Smin=2|mn|，此時直線l的方程為nx+my-2mn=0.

下面來看第26屆“希望杯”高一年級1試第19題：

解：設直線l的方程為y-n=k（x-m），與x軸和y軸分別交于A，B兩點，△AOB的面積為M，不妨設m＞0，n＞0.

由結論1知，直線l與兩坐標軸正半軸圍成的三角形的面積的最小值為Smin=2mn.

（1）當M＜2mn時，不存在與x軸正半軸和y軸正半軸都相交且與圍成的三角形的面積是定值M的直線，從而k＞0.所以-（n-km）=M，即m2k2-2（mn+M）k+ n2=0，

Δ=4（mn+M）2-4m2n2=4M（M+2mn）＞0，此時k有兩解，即符合條件的直線有兩條，分別與x軸正半軸和y軸負半軸相交或與x軸負半軸和y軸正半軸相交.

（2）當M=2mn時，除了（1）中的兩條，由結論1知，nx+ my-2mn=0符合題意，此時符合條件的直線有3條.

（3）當M＞2mn時，直線與x軸正半軸和y軸正半軸都相交，即k＜0，

Δ=4（M-mn）2-4m2n2=4M（M-2mn）＞0，此時k有兩解，即直線與x軸正半軸和y軸正半軸都相交的直線有兩條，結合（1），此時符合條件的直線有4條.

結論2在平面直角坐標系中，過點P（m，n）（m≠0，n≠0）的直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積是定值M，則當M＜2mn時，這樣的直線有2條；當M=2mn時，這樣的直線有3條；當M＞2mn時，這樣的直線有4條.

變式3已知直線l過點P（2，1），且與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，求△ABO的周長的最小值及此時直線l的方程.

分析：求最值的常用方法有運用代數方法結合判別式、三角和導數，下面兩種解法都是圍繞著如何簡潔地表示出斜邊的長度而展開.

所以a2+b2=（z-a-b）2，化簡得z2-2az-2bz+4b+2a=0.（2）

將（1）式代入（2）式得到關于b的方程（4-2z）b2+（z2-2z）b-z2=0.（3）

由于（3）式肯定有解，所以Δ≥0，

Δ=（z2-2z）2+4z2（4-2z）=z2（z2-12z+20）=z2（z-2）（z-10）≥0，

顯然，z＞2，所以z≥10，即△ABO的周長的最小值是10.

解法2：設AB=c，∠BAO=θ，△ABO的周長為z，則OA=ccosθ，OB=csinθ.

所以4（1-cos2θ）3=（cos3θ+3cos2θ-2）2，

化簡，得5cos3θ+6cos2θ-3cos θ-4=5cos2θ（cos θ+1）+（cosθ+1）（cosθ-4）

=5（cosθ-4）（cosθ+1）2=0，所以

此時△ABO的周長的最小值是10，直線l的方程是3x+4y-10=0.

高考和競賽中很多試題來源于課本，是課本中試題的變形提煉，平時只要多留心，勤思考，善變通，擅總結，人人都是命題大師，解題高手.

三、幾點反思

解題教學是中學數學課堂教學的重要組成部分，可以說數學課上幾乎每節課都涉及解題教學，例題的講解是解題教學，探究一個問題的解答更是解題教學，無論是對數學概念、定理、公理、法則、性質的考查，還是過程方法的探究最終都要落實到解題上.解題教學最終還是為了培養學生的思維能力，所以解題教學課，我們應該做到以下幾點：

1.讓學生學會審題

審題是解題的基礎，只有認真審題，正確理解題意，才能正確迅速解題.審題也是一種能力，是閱讀理解、識文斷字等綜合能力的反映.審題需要嚴謹、科學的態度，還要掌握常用的審題方法：讀題，題目中的關鍵詞，數學式子中的字母數字，圖形中的點、線、面、角，挖掘題目中的隱含條件.看清題目的條件，條件是解題的主要信息，充分挖掘條件間的內在聯系是解題的必由之路.要看清題目中數學式的結構，某些問題一直的數式結構中常常隱含著某特殊的關系，要對數式的結構進行分析、加工和轉化，以達到解決問題的目的.例如，函數f（x）=sin x-2cosx，就是三角函數中的一個常見式子：acosα+bsinα，而學生都知道acosα+bsinα可化為sin（α+φ）的形式，這樣不僅求出了（fx）=sin x-2cos x的最大值，而還能求出何時取得最大值.這樣，問題就迎刃而解了.同時還要注意看清題目中的數值、圖形的特點、字母的范圍等要素，以防低級錯誤的發生.

2.讓學生學會轉化化歸

轉化與化歸思想是解決數學問題的根本思想.數學中絕大部分問題都可以通過轉化為已知問題獲得解決.解決數學問題的過程其實就是一步步轉化的過程.化歸思想就是指人們將待解決的或難以解決的問題通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解答的一種手段和方法.我們經常說“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”就是這個道理.如題Ⅰ“設當x=θ時，函數（fx）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=___________.”學生一開始看到這樣的表述可能有點懵，但轉化為“sin θ-2cos θ=”以后求“cosθ”就是三角函數中“給值求值”的問題，而三角函數中“給值求值”問題的解法很多，這樣就為學生提供了多種解決問題的途徑.這樣轉化后問題就簡單了很多.從較難題的解答，我們可以體會到轉化化歸在解決數學問題中的益處，且數學解題離不開轉化與化歸.所以，解題教學課中要時刻體驗轉化化歸，將轉化化歸內化為一種解題的習慣，進而上升為能力.

3.讓學生學會通性通法

筆者認為，解題教學課必須立足于“基本套路”，解題方法應立足于“通性通法”.這里的“通性通法”是相對于“巧方妙法”而言的.作為數學教師，我們進行解題教學的一項重要而根本的任務就是通過自己的教學使學生在高考時取得理想的成績（當然，這種說法有點功利，但現實情況確實如此）.幾乎每年的高考數學試卷都很注重“通性通法”的考查，那些“巧方妙法”用得很少，就算是有些題目能用“巧方妙法”解決的也一定能用“通性通法”解決.所以，我們平時的解題教學課應該注重“通性通法”的教學.同時，“一題多解”也要見機行事，一道問題的解法并不是多多益善.有專家提醒：講解一道問題的解法若超過了三種，學生頭腦中對后面的解法就麻木了，甚至失去了對整道問題的興趣.如果是這樣的話，那我們還不如不講一種解法.并且也不是每道題都要去“一題多解”，而是應該選擇適當的教育契機和適量的方法種數.只有那種具有“普適性”的、“接地氣”的解法學生才會領情，才有參與的興趣和激情，才能將這些解題方法內化為自身的數學能力和數學素養.也只有這樣，那種曲高和寡的現象才不會發生.

4.讓學生學會思維

“數學是思維的體操”，解題教學應教會學生數學思考.前蘇聯數學教學專家B.A.奧加涅相指出：“思維和解題過程的密切聯系是公認的.”心理學家O.K.吉霍米諾夫也指出：“在心理中，思維被看做是解題活動.雖然，思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過解題來實現的.”據此可認為解題教學是解題活動的教學，而活動的本質是解題思維的活動.所以，解題教學是對解題思路的分析活動，是對解題方法的感悟和思考，是對學生解題思維活動的調動與展開，是學生解題思維認知結構建構的過程教學.我們的解題教學課不僅要向學生暴露怎樣解題的思維過程，向學生展示為什么這樣解以及怎樣學會解的解題認知結構建構的思維方法，讓學生的解題思維活動顯性化——即讓學生交流他們的思考過程.總之，解題教學就是要達到對學生的思維訓練.

四、結束語

羅增儒教授曾說：“如果我們不算聰明，甚至還有點笨呢，那么上述歷程告訴我們，可以通過解題過程分析，自己學會聰明，自己學會解題，使數學解題和智力發展同行，解題教學應該有‘學會聰明’這個環節.”學生解題能力的提高不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的努力付出就能做好的.需要教師根據教學實際，堅持有目的、有計劃地進行培養和訓練，引導學生學會審題、學會化歸、學會思維、學會創新.讓學生學會學習，真正成為學習的主人，才能提高學生后續發展的學習能力和數學素養，最終讓學生終身受益.