例談高考對零點問題的考查

☉河南省開封高中 孔欣怡

例談高考對零點問題的考查

☉河南省開封高中 孔欣怡

函數和方程的理論是高中新課標教材中新增的知識點，近幾年高考中頻頻出現零點問題，其形式逐漸多樣化，它主要涉及到基本初等函數的圖像，滲透著轉化與化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.本文就函數零點在高中數學中的常見題型及求解方法進行剖析，希望對大家有所幫助.

一、函數零點“存在性”問題的考查

函數的零點問題是近年來各級考試中的熱點題型之一，無論小題、大題均有所涉及，主要題型包括：原函數的零點存在形式轉化、零點個數判斷、零點存在性證明及導函數零點存在唯一性虛設等，下面結合具體實例進行解析.

1.函數零點存在的形式轉化

在函數與方程之間存在三種等價轉化關系：函數F（x）=f（x）-g（x）的零點?方程f（x）-g（x）=0的根?函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點的橫坐標，合理運用這些等價關系，可以將零點問題轉化為方程的根或兩個函數圖像的交點問題.

（1）若函數f（x）無零點，求實數m的取值范圍；

（2）若函數f（x）在（-2，2）有且僅有一個零點，求實數m的取值范圍.

（2）函數f（x）在（-2，2）有且僅有一個零點?設g（x）=-x2+x+m-2有一個零點，結合二次函數圖像可知，或有一個根為2（或-2），令一個根在（-2，2）之間，解得

2.函數零點存在的個數判斷

此類問題常見的有：函數無零點，存在唯一零點，存在兩個零點，存在三個零點等，解這類問題的方法：（1）依據原函數的單調性及函數極值是否大于零，來判斷零點的個數；（2）轉化為兩個函數圖像的交點問題.

例2已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍為（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

解法一：當a=0時，f（x）=-3x2+1=0有兩個零點，不合題意；f′（x）=3ax2-6x=0，得x=0或x=，當a＞0時，f（x）在（-∞，0）單調遞增單調遞增，這時要使函數f（x）存在唯一零點x0，必有x0＜0，不合題意；當a＜0時，f（x）在（-∞，0）單調遞減單調遞增單調遞減，要使唯一x0＞0必有解得a＜-2.

解法二：f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零點，（顯然x=0不是零點）即ax3-3x2+1=0，令=g（x），g′（x）==0，x=±1，所以g（x）在（-∞，-1）單調遞減，在（-1，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，又g（-1）= -2，g（1）=2，要使直線y=a與y=g（x）有橫坐標大于零的交點，必有a＜-2.

3.函數零點的存在的確定性證明

函數y=f（x）是定義在［a，b］上的連續函數，滿足f（a）· f（b）＜0，則函數在區間（a，b）內存在零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.如果函數y=f（x）是單調函數，那么在此區間有唯一零點.根據此定理要證明函數在區間（a，b）內有零點，只需證明f（a）與f（b）的符號相反即可.

例3設函數fn（x）=x∈R*，n∈ N*）.

證明：（1）對每個n∈N*，存在唯一的xn，滿足fn（xn）=0；

（2）對任意p∈N*，由（1）中xn構成的數列｛xn｝滿足0＜

證明：（1）f′n（x）=1+＞0，所以fn（x）在上單調遞增，又fn（1）＞0=0，所以fn（x）在上有且僅有唯一一個零點xn使得f（nx）n=0.

（2）略.

二、判斷函數零點個數

函數的零點滲透了函數與方程、等價轉化、數形結合等重要的數學思想方法.從近幾年的高考來看，有關函數零點個數問題的高考試題層出不窮，對解決此類問題的能力考查力度也逐步加大，以下結合實例探討判斷函數零點個數的策略.

1.利用解方程判斷函數零點個數

函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的根，因此可用解方程f（x）=0來確定函數y=f（x）的零點個數，但要注意函數定義域.

解析：當x≤0時，令x2+2x-3=0解得x=-3；當x＞0時，令-2+lnx=0解得x=e2.故函數有兩個零點.

2.利用函數圖像判斷函數零點個數

直接利用函數圖像與x軸的交點個數或者將函數變形，將函數零點變成兩個函數圖像的交點問題.函數F（x）=f（x）-g（x）的零點，即方程f（x）=g（x）的根，也就是函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點的橫坐標.當函數y=F（x）的圖像不易畫時，可將F（x）分解成兩個相對簡單的函數，即F（x）=f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）圖像交點的個數來判斷F（x）的零點個數.

例5設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數，當x∈［0，π］時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠（x）＞0，則函數y= f（x）-sinx在［-2π，2π］上的零點個數為______.

圖1

3.分離參數轉化為兩個函數圖像的交點個數

對于解決含參數的函數零點個數問題時，從正面合理地對參數的取值進行分類討論是常用的策略，但有時學生會因為找不到分類的標準或討論不夠全面而失分.通過分離原函數對應方程f（x）=0中的變量和參數a后變形成g（x）=h（a），將原函數的零點個數問題化歸為函數y=g（x）圖像和直線y=h（a）的交點個數問題，可避免復雜的討論.

例6設函數f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調遞減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調遞增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論.

解析：（1）略.

（2）證明：因為g（x）在（-1，+∞）上是單調遞增函數，所以g′（x）=ex-a≥0，即a≤ex對x∈（-1，+∞）恒成立，而當x∈（-1，+∞）時，所以a≤.由f（x）=0得a=，所以函數f（x）的零點個數就是直線y=a與函數h（x）=圖像交點的個數.

當x∈（0，e）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上單調遞增；當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上單調遞減.故h（x）的最大值為h（e）=又當x∈（0，1）時，h（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，h（x）＞0；當x→0時，h（x）→-∞；當x→+∞時，h（x）→0.故可作出的簡圖如圖2.

圖2

4.利用零點存在定理和函數單調性判斷函數零點個數

用零點存在定理可判斷函數零點是否存在，如果需要進一步判斷圖像連續不斷的函數的零點是否唯一，可以借助函數的單調性，需將判定的區間劃分為函數的單調區間逐一判定.一般地，圖像連續不斷的函數f（x）在區間（a，b）上單調，且f（a）·f（b）＜0，則函數f（x）在區間（a，b）上有唯一零點.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）判斷函數f（x）在（0，π）內的零點個數，并加以證明.

（2）函數在內有且只有兩個零點.證明如下：

當x∈（m，π）時，g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，從而f（x）在（m，π）上單調遞減，

又f（m）＞0，f（π）＜0，且f（x）在［m，π］上的圖象是連續不斷的，故在（m，π）上只有一個零點.

綜上，函數在內有且只有兩個零點.

三、由函數零點個數求參數范圍

已知函數零點求參數的范圍是常考的一類題型，下面舉例說明.

例8f（x）=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個零點，求a的取值范圍.

解：由題意知，f′（x）=3x2-12x+9=3（x2-4x+3）=3（x-3）·（x-1）.

f′（x）＞0，即x＞3或x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜3.

故f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，f（x）極大值=f（1）=4+a，f（x）極小值=f（3）=a.

要使f（x）=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個零點，則f（x）極大值=f（1）=4+a＞0，f（x）極小值=f（3）=a＜0.

故-4＜a＜0.

利用導數求出函數的單調區間和畫出函數的圖像數形結合可以有效解決與零點相關的問題.

四、求零點存在的大致區間

例9已知函數f（x）=logax+x-b（a＞0且a≠1），當2＜a＜3＜b＜4時，函數f（x）的零點x0∈（n，n+1），則n=______.

解：方程logax+x-b=0（a＞0且a≠0）的根為x0，即函數y=logax（2＜a＜3）與函數y=-x+b（3＜b＜4）圖像交點的橫坐標為x0，且x0∈（n，n+1），n∈R結合圖像，交點只能落在圖3中的陰影部分（不含邊界），故n=2.

圖3

很明顯，因為含有參數，本例不可能通過解方程來求解決，只能通過圖像來求解.

函數的零點問題體現了數形結合、分類討論、轉化與化歸三種數學思想，因此筆者覺得函數的零點問題在教學中是非常有必要深究的.近幾年考查較多，其載體也是越來越多樣，只要我們經常總結，反思總會有收獲.