例談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

☉山東省肥城市泰西中學(xué) 王瑛澤

例談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

☉山東省肥城市泰西中學(xué) 王瑛澤

數(shù)列在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體.高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查逐漸升溫，隨著與大學(xué)知識(shí)的接軌，競(jìng)賽題的釋放，很多省市的高考數(shù)學(xué)卷都把數(shù)列題作為壓軸題，而數(shù)列通項(xiàng)公式的求法又成為一個(gè)熱點(diǎn).筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)一下在高中階段，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法和策略.

一、公式法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)，或者已知第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解，用公式法求數(shù)列通項(xiàng)公式包括三種類型：

（1）用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d求解；

（2）用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1求解；

例1等差數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)數(shù)列｛an｝公差為d（d＞0），

由于a1，a3，a9成等比數(shù)列，則=a1a9，

即（a1+2d）2=a1（a1+8d）?d2=d.

又d≠0，故a1=d.①

因?yàn)镾5=·d=（a1+4d）2.②

例2已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+（-1）n，n≥1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：由a1=S1=2a1-1?a1=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=2（an-an-1）+2×（-1）n，

所以an=2an-1+2×（-1）n-1，an-1=2an-2+2×（-1）n-2，…，a2= 2a1-2.

所以an=2n-1a1+2n-1×（-2）n-2+…+2×（-2）n-1

=2n-1+（-1）n［（-2）n-1+（-2）n-2+…+（-2）］

經(jīng)驗(yàn)證a1=1也滿足上式，所以

二、模型法

當(dāng)所給數(shù)列的遞推式滿足一定的模型，可以按照一定的方法解決.

1.形如an+1=ban+c或an+1=ban+f（n）或an+1=ban+cn

遞推式形如an+1=ban+c或an+1=ban+f（n）或an+1=ban+cn，其中b，c為不相等的常數(shù)，f（n）為一次式，可以構(gòu)造等比數(shù)列.原數(shù)列｛an｝既不等差，也不等比，若把｛an｝中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出an.

例3設(shè)數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1∈（0，1），an=，n≥ 2，n∈N*，求｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：構(gòu)造新數(shù)列｛an+p｝，使之成為的等比數(shù)列，即（an-1+p），整理得p滿足an=，故p=-1，即新數(shù)列｛an-1｝首項(xiàng)為a1-的等比數(shù)列，則

2.形如an+1=ban+bn+1+f（n）

遞推關(guān)系式形如an+1=ban+bn+1+f（n），可以構(gòu)造等差數(shù)列.數(shù)列｛an｝既不等差，也不等比，那么把兩邊同時(shí)除以bn+1后，想方設(shè)法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出an.

例4數(shù)列｛an｝滿足an+1=-2an+（-2）n+1（n∈N*），首項(xiàng)為a1=-2，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：an+1=-2an+（-2）n+1，兩邊同時(shí)除以（-2）n+1，得

故an=n（-2）n.

3.形如an-an-1=f（n）（n≥2，n∈N*）

對(duì)于形如an-an-1=f（n）（n≥2，n∈N*）且f（1）+f（2）+…+f（n-1）可求時(shí)，則用累加法求an.有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

例5在數(shù)列｛an｝中，a1=1，an-an-1=n-1（n≥2，n∈N*），求｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；

4.形如an+1=anf（n）

對(duì)于遞推公式為an+1=anf（n）的形式，采取累乘法.一般把原遞推公式轉(zhuǎn)化為=f（n），利用累乘法求解.

例6已知數(shù)列｛an｝滿足求an的通項(xiàng)公式.

例7已知數(shù)列｛an｝，a1=-1，an+1=，n∈N*，求數(shù)列通項(xiàng)an.

解：把原式變形得an+1-an+1·an=an，兩邊同時(shí)除以anan+

1，得+1，所以是首項(xiàng)為-1，d=-1的等差數(shù)列，故=-1+（n-1）（-1）=-n，因此

6.形如an+1=f（n）.

對(duì)于形如an+1=f（n）的遞推式要用到對(duì)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，兩邊取常用對(duì)數(shù)lgan+1=lg（fn）+Algan.

例8在數(shù)列｛a｝n中，an+1=2·3n·，a1=7，求數(shù)列｛a｝n的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n+1=2·3·n，a1=7，所以an＞1.

在an+1=2·3n·兩邊取常用對(duì)數(shù)lgan+1=lg2+nlg3+5lgan，令bn=lgan，余略.

例9在數(shù)列｛an｝中，a1=1，8an+1an-16an+1+2an+5=0，求an.

（此處可以利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)知識(shí)對(duì)題中的λ的求法進(jìn)行算法改進(jìn)，它的不動(dòng)點(diǎn)為

以下可參照形式5，求出bn，從而得到

由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的情況很復(fù)雜，立足于等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)，借助線性關(guān)系、對(duì)數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、函數(shù)知識(shí)等，進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的化歸轉(zhuǎn)化，就能將問題很好解決.

三、解方程組法

例10已知數(shù)列｛an｝，｛bn｝滿足a1=300，求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)500λ+μ≠0時(shí)，可得

（1+λ）an+λbn+μ=0.8an-1+0.3bn-1+500λ+μ.

1.6an+0.6bn-600=

由1.6a1+0.6b1-600=1.6×300+0.6×200-600=0，得1.6an+0.6bn-600=0，1.6an+0.6bn=600.

四、構(gòu)造常數(shù)列法

例11在數(shù)列｛an｝中，a1=1，其前n項(xiàng)和Sn滿足nSn+1-（n+3）Sn=0，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：把nSn+1=（n+3）Sn，（n+1）Sn+2=（n+4）Sn+1相減，得

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法并不滿足以上所述，對(duì)于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時(shí)學(xué)習(xí)與探究過程中不斷地體會(huì)與總結(jié)，將知識(shí)與方法學(xué)活，才可以做到游刃有余.