一道課本習(xí)題的探究之旅

☉江蘇省徐州高等師范學(xué)校 王秀珍

一道課本習(xí)題的探究之旅

☉江蘇省徐州高等師范學(xué)校 王秀珍

高中數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題凝聚了許多專家、學(xué)者的心血與經(jīng)驗(yàn)，教材上的例題、習(xí)題是教師開展教學(xué)的依據(jù)，且許多高考試題源于課本習(xí)題.因此，在研究課本時(shí)，教師應(yīng)注重將課本的例、習(xí)題進(jìn)行探究、延伸或拓展，這樣才能在教學(xué)時(shí)舉一反三.

一、題目

平面上三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，|F1|=1N，|F2|=N.F1與F2的夾角為45°.求：（1）F3的大小；（2）F3與F1夾角的大小.

這是人教A版高中數(shù)學(xué)必修4（P113）一道習(xí)題，下面通過五種不同的解法來看平面向量的解題策略.

二、解法賞析

解法一（幾何化）：如圖1所示，設(shè)F1，F(xiàn)2的合力為F，F(xiàn)與F1的夾角為θ，過F作F1所在直線的垂線，垂足為G，則，在Rt△FGO中，

圖1

所以|F3|=+1，F(xiàn)3與F1的夾角為150°.

點(diǎn)評：向量問題和平面幾何問題可以相互轉(zhuǎn)化，向量可以用有向線段表示，向量的模可以用有向線段的長度表示，向量問題幾何化，就是通過解決幾何特征的關(guān)系解決向量問題.

解法二（坐標(biāo)化）：建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系.因?yàn)椤螰2OF1=45°，|F1|=1N，N，所以

圖2

點(diǎn)評：由于向量可以用坐標(biāo)表示，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，這樣數(shù)與形就有機(jī)結(jié)合起來了.許多問題通過向量的坐標(biāo)化，避免了煩瑣的運(yùn)算.

解法三（代數(shù)化）：如圖3，三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，所以F1+F2+F3=0，即

圖3

cos＜F3，F(xiàn)1＞=，從而F3與F1的夾角為150°.

解法四（物理化）：如圖4，三個(gè)力F1、F2、F3作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，所以F1+F2+F3=0，

圖4

從而F3與F1的夾角為150°，|F3|=+1.

點(diǎn)評：對于三個(gè)力的平衡，物理中可以用拉密定理求解.物理量之間的關(guān)系可以抽象成數(shù)學(xué)關(guān)系，數(shù)學(xué)關(guān)系又可以解釋相應(yīng)的物理現(xiàn)象，兩者聯(lián)系緊密.

解法五（模型化）：如圖5所示，設(shè)F1、F2的合力為F，則|F|=|F3|，因?yàn)椤螰1OF2=45°，所以∠FF1O=135°，在△OF1F中，由余弦定理得

圖5

|OF|2=|OF1|2+|F1F2|2-2|OF1||OF2|cos∠FF1O=4+2.

點(diǎn)評：向量的模、數(shù)量積的定義以及坐標(biāo)形式都有模型特征.利用向量加法構(gòu)造三角形模型，通過余弦定理、正弦定理求解，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

三、教學(xué)感悟

這節(jié)課通過一道課本習(xí)題解題的不同視角，展現(xiàn)了課本習(xí)題巨大的魅力，用好課本習(xí)題是一線教師不懈的追求.

1.“用教材教”，創(chuàng)造性地利用教材

正如美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”教師要研究教學(xué)，將課本上數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，讓“冰冷的美麗”引起學(xué)生“火熱的思考”.

2.教學(xué)目標(biāo)有效融合，發(fā)展落到實(shí)處

縱觀幾十年的高考試題，信手可得到許多高考試題也來源于課本教材.教材中的例題習(xí)題具有典型性、示范性，同時(shí)也滲透著一些數(shù)學(xué)思想方法或提供某些結(jié)論.因此，以本為本，重視對教材中的例題習(xí)題的深入探究，發(fā)現(xiàn)新的東西，是提高高考復(fù)習(xí)效率的最佳捷徑.

高中數(shù)學(xué)新教材中的習(xí)題都是經(jīng)過編者認(rèn)真篩選而精心設(shè)計(jì)的，其中不少習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，具有一定的反思、拓展和“再創(chuàng)造”的思維空間.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，對這些習(xí)題如果簡單地以題論題，一做了事，就會留下“入金山?jīng)]有尋到金”的遺憾.我們在教學(xué)中要視此類題目如金似玉，要給予足夠重視，力求透徹剖析，細(xì)研深究，一題多用，使學(xué)生遠(yuǎn)離題海，真正在運(yùn)用知識過程中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣.