多元視角，探尋高中數學解題捷徑

☉江蘇省蘇州實驗中學 繆海峰

多元視角，探尋高中數學解題捷徑

☉江蘇省蘇州實驗中學 繆海峰

數學解題是高中數學“教”與“學”的重要內容，在處理一道數學問題時，思路不同，解題方法自然不同.“常規”解法是按照一般的思路進行解題，是基礎，是重點，是雪中送炭；“簡捷、技巧”解法都是按照特殊思路進行解題，是提高，是難點，是錦上添花.實踐表明，只有切實掌握基本方法、基本技能，靈活運用，準確把握“常規”，才能有“技巧”；拋開“規”只想尋“巧”是不切實際、毫無意義的.因此，在掌握“常規”解法的基礎上，適時探尋捷徑，能夠有效提升學生觀察能力、思維創新能力、分析問題和解決問題的綜合能力.本文借助于幾道典型案例進行剖析，重點闡述從多角度探尋高中數學解題捷徑的具體措施，以饗讀者.

一、細心觀察，讓解題捷徑“應運而生”

觀察能力是學生進行數學解題的重要保障，也是提升學生能力的窗口.高中數學習題并不是盲目地套公式，缺乏細致地觀察分析具體題目的特征，難以獲取數學解題的捷徑；相反，若能夠細心觀察、仔細挖掘內在本質特征，往往能自然而然地獲取解題的簡捷途徑與方法.

例1已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0存在兩個相等的根，試證明可組成等差數列.

剖析：此題屬于難度適中的基本題，常規處理的方法是：根據題意中“存在兩個相等的根”，可令Δ=0，結合配方手段進行分解因式，從而得出要證明的結論，顯然這種思路比較復雜、煩瑣！如果我們細心觀察不難發現，給出的方程中存在“系數之和為零”的顯著特征，借助于這個特點，可以巧妙地證明此題.

證明：根據觀察發現，（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0顯然存在一根為1，由于原方程存在相等的根，則兩根均為1；根據韋達定理可知=2，即2（ac-bc）= bc-ab，即2ac=ab+bc，故

評析：上述案例中，主要是根據方程系數之間存在一定的特殊關系（各項系數和為零），結合題設條件得出兩個相等根均為1，從而獲取巧法.可見，從題設條件和題目給出的結論特殊關系上，進行仔細觀察能夠出“捷徑與巧妙解法”，提醒我們教師在教學中應該引導學生增強這方面的意識.

二、活用概念，讓解題捷徑“水到渠成”

數學概念是數學教學中的主要內容之一，數學概念的理解與應用是掌握數學基礎知識、基本技能的前提，有助于獲取數學解題的捷徑，有助于提升處理數學問題的實際能力.實踐表明，高中學生在數學學習中，往往容易忽視對數學概念的透徹理解與應用，導致舍近求遠、舍巧求拙的情形出現.

例2如圖1所示，線段AB長為L，且兩端點A和B均在拋物線上移動，點M為線段AB的中點，試求：當M距離x軸最近時的縱坐標.

圖1

圖2

分析：本題側重于考查圓錐曲線方面的數學知識，常規思維是先求出動態線段AB的中點M的軌跡方程為f（x，y）=0，在此基礎上求出縱坐標y的最小值.顯然，這種處理方法的運算過程比較復雜，耗時且解題的正確率不高，解題效率比較低下.若從拋物線的定義出發，將梯形中線段關系有效轉化成三角形的三邊之間的關系，再利用兩點之間線段最短的原理得出結論.

解析：根據題意作出拋物線的準線，如圖2所示，根據拋物線定義可知

評析：上述案例中主要利用拋物線的概念和定義，大大簡化了直接選擇代數法處理問題的煩瑣計算，體現思路清晰、步驟簡捷的特征，能夠有效拓展鍛煉學生思維的深度與廣度，提升處理問題的能力.

三、廣泛聯想，讓解題捷徑“順理成章”

學生思維的拓展離不開豐富的聯想，聯想是思維的重要手段，也是數學解題分析的動力.在解題中，將數學知識與題目特征結合在一起，從不同角度進行廣泛聯想，往往能獲取各種不同的解法，能夠有效打破題目形式所限，不致于在幾個數學定理和公式中打轉，方便探尋優化解題的方案.

例3如圖3所示，在⊙O：x2+y2=r2外存在一點Q（a，b），現過Q點作⊙O的割線交圓于A、B兩點，試求：弦AB的中點P的軌跡方程.

圖3

圖4

分析：本題關于圓錐曲線問題，常規的處理手段是“設點、列方程、代換、化簡”等求解軌跡方程的步驟，顯然是比較麻煩的.若依據題目幾何特征進行思考與聯想，容易發現P點為AB的中點，OP⊥AB，則中點P的軌跡為以OQ為直徑的圓（如圖4所示），此處理方法簡捷、易懂.

解析：根據題意可令弦AB的中點P（x，y），由于OP⊥ AB，所以kOP·kAB=-1，即=-1，即x2-ax+y2-by=0，則弦AB的中點P的軌跡為圓：x2-ax+y2-by=0在⊙O：x2+ y2=r2內部的一段圓弧.

評析：本題屬于典型的求軌跡問題，從上述分析和解析中可以發現，借助于縱橫聯想手段獲取解題的捷徑，提醒我們一線的高中數學教師，在平時課堂教學中，注重對學生廣泛聯想（縱橫、結構、逆向、類比等）意識的引導，促進學生解題能力的進一步提升.

四、數形結合，讓解題捷徑“瓜熟蒂落”

數形結合是解決數學問題的重要思想方法，高中數學問題中，許多問題都可以采取以“形”代“數”的方式進行處理，能夠將“數”的抽象轉化成“形”的形象化、直觀化，便于抓住問題的本質內涵，探尋解題的突破口，獲取解題的捷徑.

例4在平面直角坐標系中，第一象限內存在一等邊三角形，其中兩個頂點為（1，0）、（2，1），如圖5所示，試求：此等邊三角形的第三個頂點的坐標.

圖5

圖6

分析：常規的處理方法是假設第三個頂點的坐標（x，y），根據兩點的距離公式結合等邊三角形的邊長和角度性質聯立得到二元二次方程組進行求解x和y，此過程運算量較大，繁雜易錯.若能充分考慮數形結合的數學思想方法，靈活運用復數的幾何性質進行求解，大大簡化解題過程.

解析：根據題意在復平面上構建等邊三角形的三個頂點分別為Z1（1，0），Z2（2，1），Z3（x，y），如圖6所示，復數形式表示為：Z1=1，Z2=2+i，Z3=x+yi.由于對應的復數運算為：（2+i）-1=1+i，可以用向量表示，則其中A的坐標為（1，1）；現將向量繞坐標原點O逆時針旋轉60°后得到向量對應的復數為：（1+i）繞點Z1逆時針旋轉60°后得到向量對應的復數運算為：（x+yi）-（1+0i）=（x-1）+yi.

點評：數形結合是數學學科的顯著特點，由數向形的轉化能夠將抽象的數學問題變得形象化、直觀化，便于學生的理解和接受，便于巧解方法的獲取.高中數學解題中數形結合思想確實應該受到教師和學生的重視，盡可能地發揮其解題的強大功效.

總而言之，高中數學解題中應該有效挖掘題設中的基礎知識、基本方法和解題技巧，作為一線數學教師積極引導學生探尋簡捷、合理的解題方法，進而提升高中數學解題的效率和能力.