分類討論思想在高中數學中的應用探析

☉江蘇省梁豐高級中學 黃耀平

分類討論思想在高中數學中的應用探析

☉江蘇省梁豐高級中學 黃耀平

相比于初中階段的數學教學，高中數學教學顯然進入了一個更為高級的階段.這個階段的特點并不僅僅表現在知識難度的提高上，更表現在學生學習關注點的擴展和提升上.進入到高中階段之后，學生們決不能再將目光單一地集中在具體的知識內容之上，而是要將視野放寬，從規律方法的層面上對數學知識進行把握.找到了規律方法，無疑是在數學學習過程中開辟出了一條捷徑，從根本上為學習效率的提升注入了動力.因此，著眼規律方法開展教學活動，是高中數學教師應當建立起的高效教學意識.

一、關注分類討論方法，推進函數問題探究

函數是高中數學的重頭戲，其變化方式更是靈活多變.因此，針對函數內容所開展的教學活動向來是很受教師們重視的.學生們如果能夠將函數部分的知識內容掌握到位，必將為整個高中數學學習奠定基礎，穩固半壁江山.既然函數問題形式多樣，內容繁雜，逐個記憶研究自然是不現實的.如果能夠找到方法，統一適用，必定可以讓函數知識的學習過程事半功倍.

例如，在對函數知識進行延伸時，我為學生們設計了這樣一道題目：關于x的方程ax=-x2+2x+a（a＞0且a≠1）有多少個解？學生們的初步思路形成都是很順利的，即分別構造函數y=ax和y=-x2+2x+ a，通過確定兩個函數圖像的交點個數來得出最后答案.而難點就在于交點個數應當如何確定.由于字母a的存在，使得函數y=ax的單調性并不唯一.為此，就需要分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論，綜合考慮二者結論得出題目的最終答案.經過分別作圖（如圖1和圖2所示）發現，兩個函數的交點數量始終為2個，答案得以確定.通過這個練習，學生們找到了借助分類討論的方法來對函數問題中的不確定部分進行把控的方式.

圖1

圖2

說到函數問題的難度，很大程度上都會體現在問題內涵的靈活多變上.在很多比較復雜的函數問題中，經常會出現多種方向的可能性.這樣一來，學生們的思維就很容易被這些可能性所打亂，造成分析解答的困難.如果學生們能夠在函數問題的思考中掌握分類討論的規律方法，便能坦然面對眼前的復雜局面，冷靜分析，針對每一種可能性分別進行有效處理.

二、關注分類討論方法，推進幾何問題探究

分類討論的規律方法并不僅僅適用于代數類問題，于幾何問題當中同樣應用廣泛.既然是幾何問題，就離不開圖形的加入，圖形之間的位置關系也就成為了很多問題的討論焦點.然而，很多幾何問題當中的條件敘述并不明確，也就為分類討論方法的使用提供了前提基礎.學生們既要善于從已知條件中發現多種可能性的存在，更要善于運用分類討論的方法全面解答問題.

例如，在一次階段測驗中曾經出現過這樣一道平面幾何題目：如圖3所示，在平面直角坐標系中，有一個點C（1，0），以它為圓心的圓與坐標縱軸相切，一條直線l與該圓相切，切點為點D，且點A（-1，0）在這條直線上.（1）直線l的解析式是什么？（2）直線l上是否存在一個點P，使得△APC是一個等腰三角形？

這道題目的正確率并不高，主要問題都出在第（2）問的解答上.對于△APC中的哪兩條邊等長，很多學生都是想當然地加以確定，而沒有進行分類討論.經過講解，學生們意識到，對于這種不確定的題目條件，必須厘清思路，找準分類標準逐一進行討論，方能保證結論的完整.具體至這道題，就應當根據點P、C、A分別為三角形頂點逐個進行討論.

圖3

很多比較復雜的幾何問題，并不是在圖形的層面上獨立存在的，而是常常與方程、函數甚至數列等代數問題聯系在一起.這樣一來，就為當前的幾何問題增加了很多分析的難度.特別是在條件氛圍比較模糊的時候，學生們必須準確找到關鍵節點，并以之作為分類依據，對幾何問題進行有效分析.

三、關注分類討論方法，推進數列問題探究

數列問題一直是高中生感到難度很大的數學問題之一.雖然從概念與公式的角度來看，數列問題的內容明確清晰，但是，真正進入到問題解答環節時，便會發現，數學問題的變化方式著實靈活，綜合程度也很高，對學生們的思維能力提出了相當強的要求.一方面，學生們要將數列的基礎知識掌握到位，融會貫通，另一方面，還要有能力對復雜問題進行條理清晰的分析，將每一種可能都考慮到位.

例如，在數列內容的教學中，我特意引入了如下題目：數列｛an｝是一個等比數列，它的首項是2，公比是0.5，前n項和是Sn.

（1）請用Sn來表示Sn+1；

很顯然，第（2）問是學生們感到困難的地方，要使得條件成立，只需要（k∈N*）.又因為Sk+1＞k，（k∈N*），所以由Sk＜4，要使Sk+1＞Sk，（k∈N*）成立，c只能取2或3.到此，分類討論的標準也就出現了.很多數列問題之所以難度較大，原因都在于分析過程中這種多可能性的存在.意識到這一點，并妥善處理，思路就清晰多了.

對于數列問題的關注，不能僅僅集中在公式與定理的簡單應用上，更要訓練學生們在繁雜情形之下厘清頭緒，尋找分析關鍵點的能力.當學生們能夠站在一定的高度上來審視數列問題，及時發現其中的分析焦點之所在時，也就能夠很好地確定解答方向及用力重點，解題過程自然順利許多.

四、關注分類討論方法，推進應用問題探究

在高中數學當中，應用問題所占據的比重向來不小.準確解答應用問題，不僅是為了在各類數學考試當中取得理想成績，更是為了在實踐之中檢驗學生們的知識理解效果，為數學知識的深入探究和繼續學習夯實基礎.因此，解答應用問題也就很自然地成為了高中數學教學的一個重要組成部分.這也是分類討論方法的一個典型應用.

圖4

例如，學生們曾經遇到過這樣一道應用問題：如圖4所示，點A、B、C分別表示三個城市的位置，其中，AB與AC的長度均為13，BC的長度為10.為了能夠讓這三個城市同時享受到高質量的醫療服務，政府部門計劃在BC的垂直平分線上的合適位置規劃一個綜合性醫院，并將這個位置記為點P.那么，如果要使醫院到三城市間距離的平方和最小，應當如何確定位置？如果要使醫院到三城市間最遠距離最小，又應當如何確定位置？第一問的難度較低，第二問的解答則涉及到將點P到三點的最遠距離分別表示出來后的處理.若將這個最遠距離設為函數g（y），只有將當≥|12-y|時，g（y）＜|12-y|時，g（y）=|12-y|兩種情況同時考慮，才能保證最后答案的準確性.

由此可見，想要將每一道應用問題都高效解答出來，并不是一件容易的事情.想要靈活應對高中數學當中的應用問題，除了要將具體的知識內容理解到位并靈活運用之外，還要掌握規律性的思想方法，以之應對應用問題當中所出現的各種可能性.應用問題的實踐氛圍并不同于理論性問題，很多分類討論的目標是隱藏在應用性的敘述文字當中的，分析難度往往是更大的.將分類討論方法運用于應用問題解答當中，是師生們應當尤其關注的.

高中數學中的知識數量大，知識難度高，對學生們的學習能力提出了很高的要求.為了妥善應對各種知識內容，學生們必須學會用巧勁兒，從看似雜亂無章的內容要點當中找出共性，提煉總結，得出可以普適于多種類似問題解答的規律方法.這不僅是高效學習數學的有效方法，更是學生們的數學思維能力顯著提升的標志.適用于高中數學學習的規律方法有很多，分類討論只是其中頗具代表性的一種.本文以分類討論為典型開展論述，就是為了給廣大高中師生以啟發，以此為切入點，建立起探尋規律方法的意識，大力促進數學教學實效走向強化.

1.宋遠娜.“學講方式”下的高中數學課堂問題串教學的研究［J］.中學數學（上），2016（10）.

2.沈桂蘭.分類討論思想在數學教學中的應用［J］.數理化解題研究.2016（30）.

3.朱明安.高中數學分類討論思想例析［J］.上海中學數學.2007（09）.