導數應用問題中解題方向的確定
——從函數圖像入手

☉山東省肥城市第一高級中學 賈傳強

導數應用問題中解題方向的確定
——從函數圖像入手

☉山東省肥城市第一高級中學 賈傳強

導數是處理函數問題的有力工具，在求函數的單調區間、極值、最值等有著廣泛的應用，對于常規問題，我們可按程序化的思路求解.對于某些創新型的問題不知從何入手時，若借助函數的圖像分析，?？身樌业浇忸}的方向.下面舉例說明.

例1已知函數f（x）=ex（x2+ax+a）.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）求證：當a≥4時，函數f（x）存在最小值.

解析：本題第（1）問屬于常規題型，按導數法求函數單調區間的處理程序即可順利解答，其中對導函數正、負的判斷可借助導函數的圖像來實現.具體過程如下：

函數的定義域為R，對函數f（x）求導得f′（x）=ex（x2+ ax+a）+ex（2x+a）=ex［x2+（a+2）x+2a］.

令f′（x）=0，即x2+（a+2）x+2a=0，解得x=-a，x=-2.

①當-a=-2，即a=2時，f′（x）≥0恒成立，所以函數f（x）的單調遞增區間為R.

②當-a＞-2，即a＜2時，簡略圖像如圖1所示，在區間（-∞，-2），（-a，+∞）內，f′（x）＞0，在區間（-2，-a）內f′（x）＜0，所以函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-2），（-a，+∞），單調遞減區間為（-2，-a）.

圖2

圖1

下面對第（2）問的求解進行詳細分析.

一、思路分析

因為a≥4，所以-a≤-4＜-2，由第（1）問情況③可知，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a），（-2，+∞），單調遞減區間為（-a，-2），函數f（x）的大致圖像如圖3所示.

圖4

圖3

若存在x0∈（-∞，-a），使得f（x0）＜0，則函數f（x）不存在最小值.

因此若函數f（x）存在最小值，則其大致圖像應如圖4所示，即在（-∞，-a）內f（x）＞0恒成立，且f（-2）≤0，則最小值為f（-2）.

根據上述形象分析，明確了解題的方向，即將問題轉化為判斷在（-∞，-a）內f（x）＞0恒成立以及f（-2）≤0.

二、嚴謹解答

方法1：由第（1）問可知，當a≥4時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a），（-2，+∞），單調遞減區間為（-a， -2）.函數f（x）在區間［-a，+∞）內f（x）≥f（-2）=而4-a＜0，所以f（-2）＜0.

因為在區間（-∞，-a）內，x2+ax=x（x+a）≥0，所以x2+ ax+a＞0，而ex＞0，所以f（x）=ex（x2+ax+a）＞0，所以當a≥4時，函數存在最小值f（-2）.

點評：本解法通過挖掘隱含條件、采用局部判斷，即在區間（-∞，-a）內，函數f（x）的正負由x2+ax來決定，從而將陌生問題轉化為熟悉的問題，簡潔求解.

方法2：由第（1）問可知，當a≥4時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a），（-2，+∞），單調遞減區間為（-a，-2）.函數f（x）在區間［-a，+∞）內f（x）≥f（-2）.

由二次函數y=x2+ax+a的性質知，當x→-∞時，x2+ax+ a＞0，且ex＞0，所以f（x）=ex（x2+ax+a）＞0.

所以當a≥4時，函數f（x）存在最小值f（-2）.

點評：本解法采用有限與無限思想對函數f（x）的正、負進行判斷，方法簡單、易于入手，是學生解題中普遍采用的方法.

三、變式演練

（1）求f（x）的單調區間；

（2）若f（x）在［0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍.

本題第（2）問，從形式上來看，與例1如出一轍，例1給出參數范圍，證明函數存在最小值.例2是若函數存在最小值，反過來求a的范圍.

圖5

圖6

那么當x→+∞時，函數f（x）是否恒為正呢？

方法1：當a＞0時，由一次函數y=2ax+a2-1的性質知，當x→+∞時，2ax+a2-1＞0，而x2+1＞0，所以f（x）=0，則函數在x=0取得最小值f（0），此時應滿足f（0）＜0，即a2-1＜0，-1＜a＜1.

其實挖掘隱含條件不難發現，函數f（x）只有一個零點，即2ax+a2-1=0，且當x→-∞時，恒有f（x）＜0； x→+∞時，恒有f（x）＞0，所以其正確的圖像如圖7所示.

圖7

圖8

方法2：設x0為f（x）的零點，易知.從而x＞x0時，f（x）＞0；x＜x0時，f（x）＜0.

若f（x）在［0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1.結合條件知0＜a≤1.

所以當a＞0時，若f（x）在［0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（0，1］.

所以a＜0時，若f（x）在［0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1］.

綜上，a的取值范圍是（-∞，-1］∪（0，1］.

總之，通過利用導數法求出函數的單調區間、極值、最值后可快速描繪出函數的圖像，進而明確了下一步問題處理的方向.但要注意對題目隱含條件的挖掘，如本題中零點的唯一性，以及臨界狀態的分析，如本題中x→+∞或x→-∞時，函數值的恒正或恒負的情況.