在計算教學中培養學生的推理能力

莊美雅　蔡福山

一、在直觀操作與抽象算法中，助力學生推理能力的成長

“加與減（一）”單元的知識內容包括：“買鉛筆（十幾減9）”“捉迷藏（十幾減8）”“快樂的小鴨（十幾減7，6）”“開會了（比較意義下的減法）”“跳傘表演（十幾減5，4，3，2）”“美麗的田園（解決問題）”，包含了4節計算教學和2節解決問題教學。它是在一上學習“20以內的進位加法”的基礎上，集中學習“20以內的退位減法”。根據低年級學生的特點，教學中我們要讓學生在直觀中理解算理，掌握抽象的算法，更要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。

1. 借直觀操作表抽象算法，為理解算理提供思維支撐。

低年級計算教學主要是借助主題圖、數學工具，以及簡單的生活經驗、數學活動經驗等，經歷操作實踐活動，來直觀理解算理。為了幫助學生更好地理解算理，教材系統地滲透了直觀模型（小棒、計數器、數線等）在本單元各個課時使用。“買鉛筆（十幾減9）”作為單元起始課，起著種子課的引領作用。教學中，在學生熟悉的買鉛筆的情境中解決“還剩幾支鉛筆”的問題，學生根據已有的“減法的意義”這一知識經驗，判斷出“整體中去掉部分求剩余部分”用減法15-9計算。在解決15-9時，引導學生邊擺小棒邊描述自己的思路：算法1，一根一根地拿走9根，還剩6根；算法2，把9根分成5和4，從15根中先去掉5根，剩10根，再從10根中去掉4根是6根；算法3，將15根小棒分成10根和5根，從10根中去掉9根，還剩下1根，剩下的1根和原來的5根合起來共有6根；算法4，“想加算減”，想到了9+6=15，直接算15-9=6。學生借助小棒的操作，經歷了數的“分拆”“重組”來理解算理。前3種算法學生利用對“減法的意義”的理解來進行操作，而算法4“想加法做減法”，是建立在學生已有的知識經驗基礎上的推理過程，體現了加法和減法互為逆運算的思想。在這些算理的理解過程中，學生不僅掌握了十幾減9的計算方法，更重要的是經過一步一步地嚴密邏輯推理，體會到每一種算法的形成都是一次推理過程。

2. 借直觀操作釋抽象算法，為驗證算理提供有力依據。

在算理剖析的過程中，一方面要以操作過程、經驗推理來促進學生對算理的直觀理解；另一方面，也要重視由算法向具體操作的反思，這樣雙向互通式的形象與抽象的結合，才能幫助學生真正理解算理，構建算法。

當有了一定的運算經驗時，有些學生可能不需要借助學具就能算出得數。但學生能得出正確的計算結果，并不能說明他們真正明白算理。這時，可以讓學生在得出結果后再利用小棒擺一擺，把自己的想法通過學具的操作和思維的操控，驗證其正確性，從而再一次加深對算理的理解。本單元的第3個課時“快樂的小鴨（十幾減7，6）”中，教材考慮學生已具有一定的退位減法學習的基礎，編排上與前兩課的設計略有不同，按照“計算—解釋—應用”的思路進行編排。教材呈現了3種算法，并用結構圖的形式將數的分解的過程呈現出來（圖1），緊接著再讓學生借助小棒解釋3種算法，進一步理解算理。

通過這樣的教學，學生能將抽象的分析結果通過直觀驗證這個簡單推理的過程表述出來，能領會“為何會得到這樣的計算方法”。在思辨中，學生的推理能力得到了相應的發展。

二、在類比算法與歸納算理中，促進學生推理能力的發展

1. 注重算理類比，融通多樣算法的本質。

低年級學生容易看到一樣事物便聯想到其他事物，沒有規律可循的，卻可以理解問題的實質。這種思維過程就是數學上常用的類比推理，即依據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同。為突破計算難點，教材采用小棒、計數器、數線及結構圖等幾種模型幫助學生理解算理，掌握算法。小棒是學生比較熟悉的一個直觀模型，因此，教材在初次探索算法時，都以小棒模型為主，而后在“十幾減9”中出現了計數器，在“十幾減8”中出現了“數線”，在“十幾減7，6”中出現了結構圖。對于新的直觀模型，教學中我們如何引導學生架構起新知與舊知之間的關聯，實現知識之間的類比推理，從而掌握其算法多樣化之間的共同本質，更透徹地理解算理呢？

計算15-9中，在學生借助小棒計算出結果后教材出示了計數器，學生有了擺小棒的經驗“從15根小棒里減去9根，零散的5根不夠，要把1捆拆開變成10根，才能再減”，很容易推理出“從計數器上撥走9顆珠子，個位上的5顆珠子不夠，要把十位上的1顆珠子變成個位上的10顆”，融通了擺小棒與計數器之間的關系。計數器能更好地體現“位值制”，凸顯“借1當10”，更加接近抽象的運算本質，也是以后學習退位減法筆算的算理根基所在；而“數線”可以很好地體現數序，體現多種數數的方法，可以記錄計算的過程和結果。在“十幾減8”中，教材呈現兩種數線模型（圖2），左圖呈現的是從13開始一個一個往回數的過程，對應了一根一根減小棒的經驗；同樣的右圖是分段數，先往回數3個，再往回數5個，學生不難類比推理出與前面的算法2道理一樣。學生在尋找兩種不同學具操作的共同之處的過程，就是他們透過現象發現本質的過程，思維真正經歷了由淺入深的過程。

2. 引導算法歸納，促進多樣算法的優化。

從認知心理學的角度分析，不同的計算策略在一定程度上反映了兒童思維發展的不同水平，但學習還有社會性的一面，要讓學生從與別人的交流中吸取好的“營養”，引導學生進行自覺比較、批判，從而建立起自己的計算方法。在本單元退位減法的教學中，當學生展開思路呈現不同算法后，可以一起進行有針對性的分析梳理：從算法上看，“破十法”“平十法”“撥計數器”等方法其實都基于同一種想法，那就是個位不夠減，需要“破十”的方法。從而幫助學生理解退位減法中“退1作10”的算理。從算理上分析，20以內退位減法就是從“減法的意義”和“加減法之間的關系”這兩個角度分別進行思考的，相比而言，前者思考的過程比較復雜，學生至少需要進行兩步的思考，但它能通過直觀操作來理解算理，形成算法。后者雖然比較便捷，但與學生對“20以內進位加法”的熟練程度有關。在保證學生自主選擇的前提下，可進一步引導學生熟練掌握“想加法算減法”的方法，讓不同學生在計算方法上得到不同的發展。

三、在語言表達和拓展應用中，助推學生推理能力的提升

1. 語言表達讓推理由內至外。

學生推理能力的發展與語言表達也有密切的關系，良好的語言表達能力能使學生的思考過程變得清晰而有條理。學生在講述自己的觀點時能把內部的思維語言轉換成外部的交際語言，這種轉換勢必再次促進個體的思考。因而，在計算教學中，我們要注重培養學生將自己的計算過程借助學具用語言清晰地表達出來，教學中我們可以不斷地讓學生表達“先算什么，再算什么”或“因為什么，所以什么”的思維推理過程。如此，思考才能更有條理更清晰，同時還能發現思維活動中的問題或錯誤，及時給予糾正。

2. 拓展應用讓推理由點到面。

推理能力大多數時候都是在知識被運用的時候提升的，在運用的過程中意味著我們要從頭到尾地思考問題，這樣也就能在知識運用的過程中培養推理能力。如教學“十幾減9”，通過例題和“做一做”的教學，得到代表性的算式：“15-9=6，14-9=5，16-9=7”，同時引導學生比較得出這三個算式的共同特點——都是十幾減9；再讓學生說說“十幾減9”還有哪些算式并進行計算，接著讓學生把“十幾減9”的9道算式按規律進行排列整理。一年級學生的思維雖然仍處于以形象思維為主的階段，但已經具備了一定的觀察、比較、綜合的意識。我們可進一步引導學生從上到下、從下到上、從左到右等方式觀察這9道算式的排列特點，不但可以發現相鄰算式的排列特征，還可以發現“十幾減9”的計算與10-9有密切的聯系，即“十幾減9”的計算都可以轉化為“10-9+幾”進行計算。同樣，學生也能類比推理得出：“十幾減8”可轉化為“10-8+幾”進行計算等。在這一過程中，學生經歷了“仔細觀察—舉例驗證—歸納結論—完善結論”這一使用歸納推理探索規律的過程，不但積累了豐富的數學活動經驗，更是發展了合情推理能力。

能力的形成與發展不是一蹴而就的，它是一個循序漸進的緩慢的過程。對于計算的教學，我們要讓學生自己悟出道理、規律和方法，并將推理能力的培養有機融合于數學活動過程中。這樣不僅可以使學生更好地掌握計算的算理，還可以使他們在今后的學習及生活中可以從容面對各種困難，通過邏輯分析準確判斷、解決各種難題。

（作者單位：福建省晉江市梅嶺街道希信中心小學 福建省晉江市教師進修學校）