在對比中深化概念的理解

盧清榮

在小學數學概念教學中，學習概念是一個過程，表象建立、符號表達、本質抽象、結構聯系都需要學生經歷形成過程并逐步理解，如果教師只注重形式而忽視本質，學生對概念的理解就會處于表面化，容易形成錯誤概念或造成概念不清的情況。應如何抓住概念本質，引導學生深度理解呢？

一、對比想象中凸顯概念表象

師：老師帶來一個“神器”——激光測距儀，它不但能發光，而且能測出光的長度。看，它發的光到哪兒了？

生：黑板。

師：從發射點到黑板上光點間有一條線，把這條光線畫下來是什么圖形？

生：線段。

師：線段有什么特征？

生：直直的，有兩個端點。

師：激光測距儀上顯示數據1？郾884米。說明這根線段的長度是——

生：有限長。

師：用激光測距儀發出光線射向遠方，看不到盡頭。請大家閉上眼睛想一下，如果“神器”有無限能量，發出的光線一直射向很遠很遠的地方，這是怎樣的光線呢？

師：你們腦海中這條光線是什么樣子的呢？請把它畫下來。

生：直直的，一直伸向遠方，連紙也裝不下。

生：這是發射點，一直往前伸，就找到一個端點。

師：你覺得他們畫的線有什么共同點？

生：都是直的，只有一個端點，可以無限延長。

師：像這樣把線段的一端無限延長，就得到一條射線。它還能繼續延長嗎？

師：一直到黑板邊了，還能延長嗎？線段有限長，為什么射線無限長呢？

生：線段有第二個端點，射線沒有第二個端點，可以無限長。

【賞析】心理學研究表明，兒童學習概念依賴于實物的直觀可操作性，實物的外顯特征與圖形的本質特征一致時，操作就成為學生的思維材料，促進學生形成正確表象。線段是直線的一部分，射線是線段的一端無限延長，二者既相互獨立又相互依存。張老師用“神器”再現兩種線的不同特征：當“神器”發出的光從起點到終點（有始有終），這樣直直的線就是線段；“神器”從發光點射向遠方（有始無終），這樣直直的線就是射線。認識射線的無限性是學生的認知難點，現實中物的具象都是有限長，要把“無限長”特征置于學生頭腦中很不容易。張老師用“神器”幫助學生形成正確的認知表象，再借助圖形，展開想象，促使學生在“感知—表象—想象”的過程中經歷由具體到抽象。從數學角度思考，舍棄圖例表象（光），抽象出圖形表象（線）。從生活到數學，從感知到想象，從圖例到圖形，從有限到無限，這樣設計符合學生的認識規律，有助于他們在對比中建構表象，使“直直的”“無限長”的射線特征得以凸顯。

二、對比求異中凸顯符號表達

師：如果把線段的兩端都無限延長，那會怎樣呢？大家閉上眼睛，想一想，再畫下來。

師：根據畫射線的經驗，比一比這兩位同學畫的線，你更喜歡哪一條？

生：畫到本子邊，連紙都裝不下。

生：只畫一部分。

生：更喜歡短的，因為它的兩邊沒有端點，沒有端點就意味著可以無限延長。

師：盡管他沒有畫到邊上，但同學們也能看出它可以無限延長，這樣畫既簡潔又美觀。

師：這樣的線叫——

生：直線。

師：把線段兩端都無限延長，就得到一條直線。

師：直線有什么特點？

生：兩端沒有端點，而且是直的。無限長。

師：是的。直線沒有端點，而且是無限長。誰能畫一條直線？

師：你覺得線段、射線和直線有什么相同點，又有什么不同點？

生：它們都是直的，但端點個數不同，射線和直線都是無限長，線段是有限長。

【賞析】在概念形成過程中，教師要目標明確地引導學生全面了解概念的內涵，使他們充分經歷概念抽象的過程，促進學生真正理解概念的實質，看到符號就能聯想符號所代表的概念的本質特征，有助于學生提高抽象能力和推理能力。反之，如果只從形式上認識符號，而不懂符號的本質含義，學生對概念的學習就會處于淺層次。學生在抽象直線的符號表達時，出現兩種不同的畫法：一種是用畫到本子邊表示直線無限長；另一種則畫得很短，但用沒有端點表示它的無限長。兩種符號表達直線“無限長”特征的方式不同，張老師及時抓住生成資源，引導學生分析是用“畫滿裝不下”的外顯形式反映特征，還是用“線無端點”來表示它的無限性。其實，兩種不同的畫法都能正確反映學生對射線“無限長”特征的理解，“畫滿紙裝不下”反映了學生思維還處于具象階段，是外部環境反映特征；用“線無端點”的形式反映“無限長”，是學生對符號意義表達的真正理解，學生在深刻體會端點作用的情況下，弄清線段、射線和直線的區別——端點個數不同。張老師能抓住學生課堂生成資源，組織學生對比和辨識符號表達的實際意義，凸顯符號的概括性和簡潔性。

三、對比求同中凸顯概念本質

師：直線有什么價值呢？你們能從生活中找到直線嗎？

生：黑板的一條邊是直線。

生：黑板邊有限長是線段。

……

師：老師不為難大家了，在我們生活中要是想看到直線還真不容易，但直線的價值可以在解決問題中有所體會。

師：直線上的點可以表示數（圖1）。看到0、1、2、3，你覺得后面的點應該是——

生：4。

師：你覺得5在哪里？指一指。

師：10應該寫在哪里？

生：10已經到屏幕外面了。

師：你肯定這個10依然在——

生：在這條直線上。

師：在這條直線上能找到100嗎？（能）

師：這條直線上能找到1000、10000、100000000嗎？（能）

師：在這條直線上能找到最大的數嗎？（不能）為什么？

生：因為直線無限長，在上面找到的數也是無限大的。

【賞析】《義務教育數學課程標準（2011）》指出，為了適應時代發展的要求以及對人才培養的需要，數學教學要注重發展學生的應用意識和創新意識。直線在現實世界中是“虛擬”的，應用意識難以體現。張老師先讓學生到生活中尋找直線。學生邊找、邊質疑、邊否認，好奇心驅使他們盡快找到答案。于是，張老師引導學生經歷“線上找數”的活動——學生先經歷形式化看得見的“線上找數”過程，感知線與數的一一對應關系，再經歷意象化的“更大的數想象更長的線”的抽象過程，以具體無限大數想象與之對應無限長的線，數形結合，相得益彰。學生在對比求同活動中觀察、分析和比較，歸納出“數是無限大，直線無限長”的共同特征，借助數形結合的方法深化了其對直線本質特征的認識。

四、對比變化中凸顯結構聯系

師：經過一點可以畫多少條直線？

生：無數條。

師：請你經過這條直線上的一點，再畫出兩條不同方向的直線。

師：在圖中還看到了什么圖形？

生：角。

師：人們研究這兩條直線相交的不同情況時就想到研究角，大家請聽——

課件錄音：經過一點的兩條不同直線，有無數種位置關系。為了表示它們不同的位置關系，人們想到了研究角，當其中一個角的大小確定了，兩條直線位置關系也就確定了。

師：關于角，我們以前就認識了，老師請大家自學例2的所有內容，看一看，你對角又有什么新的認識？

生：從一點引出兩條射線組成角。

師：誰能邊畫邊給大家介紹一下？

學生一邊畫一邊講角的頂點和角的兩條邊。

師：角的兩條邊其實就是——

生：兩條射線。

【賞析】為什么要把角安排在這里讓學生學習，這是一線教師常有的困惑。角的知識在這里的學習到底體現了知識間怎樣的邏輯關系呢？張老師從點發展到畫線，在無數條線中確立兩條有代表性的線組成角，而角的大小確定兩線相交的位置關系。張老師能夠理清知識間的前后聯系，把角的概念學習置于知識的整體結構體系中，使學生在對比變化中理清知識間的脈絡關系。弄清知識間的聯系和發展，從而有效促進學生形成整體的知識鏈。如果學生能長期學習這些有結構的知識鏈，就會在不經意間產生對數學知識結構的積極認知與內化，并在頭腦里形成相應的數學認知結構，從而形成良好的數學學習能力。

張老師抓住知識的本質特征，從知識整體結構體系把握概念，引導學生經歷概念表象、符號、本質特征、結構聯系的學習過程，在觀察、對比和分析中內化概念間相互聯系，培養學生的認知能力，促進學生在有效對比中深化概念理解。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實驗小學 責任編輯：王彬）