巖體力學的塊體極限平衡法的方程思想及其教學思路

曹賢發+孫剛臣+張芹

摘要：塊體極限平衡法作為分析巖體邊坡、壩基壩肩巖體穩定性的主要方法而成為巖體力學教學中的重要基礎內容。在結合教學實踐的基礎上，闡述了塊體極限平衡法的方程思想和總體教學思路，可為其課堂教學設計和教材編修提供參考。

關鍵詞：巖體力學；塊體極限平衡法；滑動模型

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）10-0242-02

巖體力學在土木工程、地質工程、采礦工程、水利工程、交通工程等領域中都得到了廣泛應用，是理工科院校中的一門重要的專業基礎課。塊體極限平衡法是目前生產實踐中邊坡巖體和壩基巖體穩定性分析的主要方法，是本科階段巖體力學教學過程中的重要內容[1，2]。學生能否深刻理解塊體極限平衡法原理并掌握其應用方法，直接關系到該門課程的教學質量，并將影響后續相關專業課程的教學過程和教學效果。

塊體極限平衡法分析巖質邊坡的穩定性方面的教學實踐存在以下問題：首先，學生對于塊體極限平衡法的本質理解不足，雖然知道穩定系數由滑動塊體的靜力平衡方程導出，但不理解滑動體穩定系數不等于1時為什么仍然要視為極限平衡狀態。其次，塊體極限平衡法屬于巖體穩定性分析方法的大類，包括單平面滑動、單塊體雙平面滑動、雙塊體雙平面滑動、折線形滑動、楔形體滑動和圓弧滑動等多種模型，一般教材會介紹至少其中兩種滑動模型，并針對不同的受力條件給出相應的穩定系數計算公式，大部分教材對這些模型及其穩定性分析方法相互聯系和區別并未闡述清楚，導致學生甚至很多教師對其也是一知半解，在教學過程中只是將各種分析方法分解為獨立的教學內容進行“填鴨式”的知識灌輸。最后，壩基巖體穩定性分析原理仍屬于塊體極限平衡的內容，其分析方法和邊坡巖體仍然相似，但大部分教材仍將其作為獨立的知識進行闡述。上述問題導致學生在學習過程中難以深刻理解塊體極限平衡法的基本原理，造成大部分學生覺得巖體穩定性分析的內容多而亂，因為模型太多，遇到實際問題反而不知道采用哪種模型，既不利于培養學生的專業素養，也不利于學生發散性思維的培訓。針對上述問題，結合教學實踐，分析了塊體極限平衡法中常見的巖體穩定性分析模型的內在聯系，對其教學邏輯進行了探討，這對巖體力學教材編制、巖體力學課程教學效果的提高具有積極意義。

一、塊體極限平衡法方程思想

1.根據穩定系數定義闡述塊體滑動達到平衡狀態時的抗滑力發揮程度，這是將塊體轉化為極限平衡狀態的條件，因此可稱為極限條件方程。

穩定系數η是指塊體滑動面所能提供的最大抗滑潛力R與總下滑力S之比，如：η=■（1）

若塊體處于極限平衡狀態，則穩定系數η=1，否則穩定系數η≠1。式（1）可寫成如下形式S=■R（2）

顯然，從上式可知，S為塊體總下滑力，而右邊式子■R塊體達到極限平衡狀態下必須提供的抗滑力，其中1/η可解釋為滑動面上抗滑力的發揮程序，該式可作為塊體視為極限平衡狀態下的限定條件，故稱為極限條件方程。根據庫倫定律，滑動面所能提供最大抗滑潛力R為R=N·tgφ■+C■L（3）

把式（3）代入式（2）可得極限條件方程的具體形式：S=■（N·tgφ■+C■L）（4）

2.對滑動體進行受力分析，列出力學平衡方程，可參考以下步驟：①按照滑動面分割滑動塊體，每個滑動面對應一個滑動塊體。對滑動分塊逐一進行受力分析，確定滑動塊體的所有可能作用類型。②為便于后續受力分析，將各滑動塊體所有已知力（如重力、地震力、靜水壓力、動水壓力等）分解為兩個正交方向的分力，并合成得到正交方向上的兩個合力。一般情況下，兩個正交方向通常有兩種選擇：水平方向和豎直方向，滑動方向及其法線方向。滑動體分塊間的相互作用力也要分析，一般可用兩個方法表示：兩個正交分力，作用力大小及作用方向。③根據分塊受力條件，逐一列出各分塊在兩個正交方向上投影的力學平衡方程。上述方法與靜力分析方法完全一致。

3.引入適當假設以簡化力學模型。若滑動體有n個滑動面，分為n個滑動分塊，則可列出n個極限條件平衡方程，2n個力學平衡方程，其未知參數如下：①滑動面上的穩定系數。每個滑動面存在一個穩定系數，故存在n為未知參量。②滑動面上的未知力。每個滑動面上有兩個未知力：滑動面上的法向分力N和切向分力S（即下滑力），n個滑動面則有2n個未知量。③分塊間接觸面上的相互作用力。n個分塊出現（n-1）個接觸面，故有2（n-1）個未知量。

以上未知量的總數為（5n-2）個，方程總數為3n個。不難看出，未知量個數與方程組數量之差為

2（n-1），由此可知：當n=1（單滑動面情況）時，方程組可解；當n>1時，方程組數量少于未知量個數，方程組不可解，此時為使方程組可解則可引入一定的假設條件以增加方程組數量或減少未知量的個數，根據假設條件列出的方程即可稱為假設條件方程。顯然，單滑動面情況無需引入假設條件方程。常見假設條件有：①各分塊滑動面上的穩定系數一致，這是塊體極限平衡法中最為常見的假設，這個假設可使原方程組的未知數減少（n-1）個，而只存在一個未知的穩定系數η。②忽略分塊間的作用力，這個假設也可使方程組的未知量減少2（n-1）個。③假設上一個分塊的反作用力方向與上個分塊的滑動面方向一致，可減少（n-1）個未知量。④假設條分塊間的反力方向垂直于接觸面，或與接觸面法線成φ角，可減少（n-1）個未知量。⑤假設滑動面上的反力方向垂直于滑動面，或與滑動面法線成φ角，可減少（n-1）個未知量。

引入一定的假設條件后，可解出上述方程組。同一個滑動模型可采用不同的假設條件，從而產生不同的穩定性分析方法，因此可以說假設條件是不同方法的本質差異。假設條件應根據實際情況選擇，假設條件數量能夠滿足方程組可解即可。如果假設條件過多，就會導致模型的可靠性變差，適用范圍縮小。

二、總體教學思路

塊體極限平衡法可用于邊坡、重力壩基和拱壩的壩肩的巖體穩定性分析，其中單平面滑動、雙平面滑動、折線性滑動、圓弧性滑動等是巖體力學教學的基本內容，建議采用以下教學邏輯。

1.按照本文提出的邏輯介紹單平面滑動模型，這部分內容簡單易學，但涉及了塊體極限平衡方法的基礎內容。通過教學學生很容易掌握邊坡穩定性建模思想、巖質邊坡常見作用力類型，理解穩定性系數定義和穩定性判斷方法，理解極限條件方程的物理意義，并列出力學平衡方程，從而加深學生對邊坡穩定性分析的理解，建立學生的學習信心。

2.重點介紹雙平面滑動模型，因為該模型是引入假設條件最簡單的情況，也是單平面滑動的延伸與擴展，學生很順利地從已掌握的單平面滑動模型過度到雙平面模型，符合深入淺出的教學邏輯。

3.根據該課程的課時情況進行適當擴展，介紹折線滑動模型、圓弧滑動模型和楔形體滑動模型，以及壩基巖體和壩肩巖體的滑動模型的假設條件，并比較分析各種方法的內在聯系，加深學生對塊體極限平衡分析法的理解。

三、結論與建議

塊體極限平衡法是目前工程實踐應用最為廣泛的巖土體穩定性分析方法，因而是相關專業本科階段需要重點掌握的基本內容。

1.塊體極限平衡分析方法可細分為多種分析方法，各種方法的方程均可分為極限條件方程、力學平衡方程和假設條件方程。極限條件方程和力學平衡方程是各種分析方法的共性，其本質大同小異，不同方法的本質區別在于假設條件的差異。

2.單平面滑動和雙平面滑動均是塊體極限平衡方法中的基本方法，建議將其作為巖體力學教學中的重要方法，以此為基礎可更好地闡釋塊體極限平衡法的原理和本質，從而使學生更好地理解和掌握各種極限平衡分析方法。

3.目前教材中對單平面滑動模型的介紹方法沒有很好地直接體現塊體極限平衡方法的基本原理，而只是介紹了工程中常見的計算公式形式，建議在原來教學策略的基礎上參照本文的思路和方法進行適當補充，這樣可使后續的教學內容和邏輯更加連貫，達到深入淺出的效果。

參考文獻：

[1]劉佑榮，唐輝明.巖體力學[M].北京：化學工業出版社，2008.

[2]沈明榮，陳建斌.巖體力學[M].第二版.上海：同濟大學出版社，2015.

Equation Thought of Block Limit Equilibrium Method in Rock Mass Mechanics and Its Teaching Method

CAO Xian-fa，SUN Gang-chen，ZHANG Qin

（School of Civil and Architectural Engineering，Guilin University of Technology，Guilin，Guangxi 541004，China）

Abstract：The block limit equilibrium method as the main method for stability analysis of rock slope，dam foundation and abutment and become an important content of rock mechanics teaching. On the basis of teaching practice，expounds the block limit equilibrium equation by thought and general teaching ideas，can provide reference for the design of classroom teaching and textbook compiling.

Key words：rock mass mechanics；block limit equilibrium method；gliding model