緊密結合，水乳交融—試析函數教學中實現數形結合思想的途徑

福建省大田縣第六中學 魏育玲

緊密結合，水乳交融—試析函數教學中實現數形結合思想的途徑

福建省大田縣第六中學 魏育玲

在學生函數知識的形成過程中有效地滲透“數形結合”數學思想，有助于發展學生的抽象思維能力，培養學生的邏輯思維。在函數學習與具體函數問題解決的過程中，問題往往會是從不同的角度進行切入的，教師需要引導學生把數形結合作為一種自覺的意識，及時把尚未在問題中呈現的相關信息補全，解決問題后需要進行具體的方法總結，從而真正讓學生由“學會”走向“會學”，實現函數學習的增值。

函數教學；數形結合；數學思想；切入

現實中不少教師都會遇到這樣的現象：我們講了不少題目，但學生總是只會局限于模仿型解題的水平，只要具體條件稍作變動，他們就會不知所措。為何會出現這樣的情況？究其原因還是在于教師指導過程中的就題論題，沒有將解決策略上升到方法的層面，更沒有提高到數學思想的高度。可見在數學教學中使學生掌握一定的數學思想方法，讓學生把具體的知識消化吸收為有個性的數學思想，對學生來說是至關重要的。

說到函數學習，很多師生會脫口而出“數形結合”四個字，似乎數形結合已經成為解決函數問題的不二法門。教學實踐也表明，在學生函數知識的形成過程中有效地滲透“數形結合”數學思想，有助于發展學生的抽象思維能力，培養學生的邏輯思維，培養學生的創新意識，提升學生的綜合數學素養。

一、借形析數，開拓解題思路

現行初中數學教材比20世紀已經明顯減少了難度，但對于初中生來說，函數依然是一塊相對抽象的內容。為了化解理解上的難度，開拓解題思路，通過形的直觀來分析數的抽象是必然之路。

坐標系是構成函數的必要元素，也是函數圖像得以體現的基礎，教師應進行有效引導，促進學生理解函數知識，并逐步將知識引向深入。比如“正比例函數”的教學中，教師通過讓學生觀察圖像、了解了表達式y=kx（k≠0）的意義與函數的基本特征以后，可以把畫一次函數y=kx+b（k≠0）圖像的機會讓給學生，讓他們自己去分析、觀察與探究，讓學生理解數與形二者的關系。通過觀察，學生可以發現函數在坐標系y軸上的截距就是b值，圖像與x軸的交點是，根據“兩點確定一條直線”，學生就可以畫出這條直線了。當然具體教學中，這兒的字母還是用具體數字來表示更加直觀，也易于學生理解。隨著不斷的畫圖與嘗試，學生就可以總結出上述規律來了。就這樣，教師通過讓學生對正比例函數圖像畫法進行遷移，實現了學生的自主探究，實現了函數學習的數形結合，讓學生感受到了借形析數的好處。以下通過解題進行繼續分析：

112233

像上的三個點,且x1＜0＜x2＜x3，則y1、y2、y3的大小關系正確的是（）。

A.y3＞y1＞y2B.y1＞y3＞y2

C.y2＞y1＞y3D.y1＞y2＞y3

圖1

如圖所示，∵x1＜0＜x2＜x3，畫圖可得點A在第二象限，點B與C位于第四象限，∴y1＞y3＞y2。

點評：解決這道題，曾經有學生用具體數字來嘗試分析問題，比如取x1=-1、x2=1、x3=2，然后找到y1、y2、y3的值，也可以解決問題，但幸好這是選擇題，如果這道題變成問答題，這種舉實例的方法難免缺少說服力，因為字母可以表示數，但字母并不只表示特定的數，而通過畫圖方法不但能很快找到三個縱坐標的位置，從而直觀地比較縱坐標的大小，而且通過數形結合為以后的解題找到了門徑。命題者故意不給學生畫出圖像，其意圖也非常明顯——考查學生對函數圖像的分析能力，培養學生數形結合的數學思想。具體解答這類題目的過程中，學生需要根據平時所學把圖像補畫出來，然后再具體問題具體分析。

二、以數解形，回歸函數本質

“以數解形”指的是在函數學習的過程中，將函數的圖像信息轉化為代數信息，促進對于函數解析式的代數思考。

分析：根據題目所給的圖像分析，可以判斷系數k＞0，即3-m＞0，故m＜-3。本題主要考查了反比例函數的圖像性質，要掌握它們的性質才能實現靈活解題。

AB⊥x軸于B，且S△AOB=3，求k的值。

圖2

分析：這類三角形面積與函數圖像結合在一起的題目有一定的綜合性，不少學生一開始找不到解題方向，雖然題目中還給出了圖像，省去了學生畫圖的麻煩，但要真正讀懂題目并建立起思路還真不容易。這里轉化問題的第一步是對S△AOB進行分析，可以發現三角形的面積是AB與OB之積的一半，因此OB與AB之積是6，這就將問題轉化成了對點A的橫坐標與縱坐標的分析，從而認清了這個突然冒出的面積問題的真實面目，使條件與結論之間的距離更近了。

圖3

解：因為S△AOB=3，所以OB·AB=6。所以|k|=6。又因為函數在二、四象限，所以k=-6。

三、數形交融，解決綜合問題

目前的中考中往往出現一些函數綜合性的題目圖像，這類題往往需要通過建立點與坐標之間的對應關系，這樣一方面可以用代數方法來研究幾何圖形，實現以數析形，另一方面又可以借幾何直觀，使抽象的代數問題變得形象而易于理解。這中間，學生如何找到數與形的結合點，靈活地進行數與形的轉化，從不同的側面加深對問題的理解是非常重要的。

例4 （1）請在如圖4所示的平面直角坐標系中畫出二次函數y=x2-2x的大致圖像；（2）將方程x2-2x=1的解在圖上近似地表示出來（通過描點）；（3）借助圖像，直接寫出方程x2-2x=1的解。

分析：這是一道中考題，考查的內容是方程的根與二次函數圖像的關系。這個知識對于學生來說是一個難點，數形結合思想在這里起到了重要的作用。這道題雖然學生不用寫多少字，卻需要通過數形結合進行全面深入的分析才能得到正確答案，雖然題目中指出是“大致圖像”，但精心制圖的習慣在函數學習中的重要性得到了顯現；第3個小題的解答需要前面兩個小題的正確解答為基礎，而且可以有不同的方法來解答問題，有助于引導學生進行創新。具體解答時學生可以直接畫出y=1這條直線然后再去找交點，也可以將方程x2-2x=1化為x2-2x-1=0，然后在坐標系中通過平移y=x2-2x的圖像得到y=x2-2x-1的圖像，然后找到相應的點。

圖4

學生錯誤答題的表現主要有：部分考生由于隨便畫一條拋物線，導致在第2小題中描點時由于位置不準確而失分，接下來的第3小題就更是離得更遠了；還有一部分考生在第2小題的表示過程中顯得粗糙與不到位，表現在部分學生只標出當y=1時拋物線上的兩點，也有的學生只標出x軸上的兩點，足見對概念理解的不全面。他們能畫圖又無法正確表示，則說明平時缺少對形的解讀與理解。

由于初中二次函數的內容相對比較多，特別是數形結合思想的應用是學生感到有困難的，但它是高中進一步學習的重要基礎，所以教師在教學過程中需要幫助學生落實好每一個知識點，關注知識發生、發展與形成的過程。教學過程中，教師需要引導學生注重圖像的應用與畫法，畫后又要進行進一步的深化理解，將數與形牢牢地結合起來，防止讓學生淺嘗輒止。

總之，數和形是初中數學的兩條主線，數形結合則是函數解題中經常要用到的思想方法。教學實踐告訴我們，在函數學習與具體函數問題解決的過程中，問題往往會從不同的角度進行切入，教師需要引導學生把數形結合作為一種自覺的意識，及時把尚未在問題中呈現的相關信息補全，解決問題后需要進行具體的方法總結，才能實現由方法到思想的過渡，從而真正讓學生由“學會”走向“會學”，實現函數學習的增值。

[1]祁春霞.運用“數形結合”培養低年級學生數學意識[J].寧夏教育科研，2011（03）.

[2]朱亞邦.等腰直角三角形添補成正方形可解多種題型——談談轉化思想的滲透[J].中學數學雜志，2012（02）.