巧用中位線定理，解答幾何證明題

江蘇省射陽縣實驗初級中學 施海麗

巧用中位線定理，解答幾何證明題

江蘇省射陽縣實驗初級中學 施海麗

中位線定理是幾何證明部分常用的知識，包括三角形中位線和梯形中位線定理，定理的內容學生應該都了如指掌。在此類題中，一般不會直接給出中位線，甚至不能直接應用中位線定理解題，這就考驗學生的想象力以及理論分析能力。本文分三點討論在題中沒有給出中位線的情況下，如何添加中位線以達到簡便解題的目的。

一、證明特殊圖形的形狀

特殊的圖形具有特殊的性質，也分別具有不同的證明方法，這就要求學生對不同圖形的證明方法了如指掌。通過中位線定理可以找出互相平行或者相等的線段，對我們解決常見的幾何證明題有很大的幫助。

圖1

例1 如圖1所示，有兩個等邊三角形△ABD、△ACE，點F、G、

點撥：題中的輔助線連接之后,可以直接利用三角形中位線定理得出線段的數量關系，學生在看到題中沒有與中點相對應的三角形的時候應該想辦法構造出三角形，不應該直接放棄此種方法，這是解題的關鍵。

二、證明線段的位置和長度關系

線段所在的直線常見的需要證明的有垂直和平行關系，長度關系就是線段相等或者不等關系，線段的這些關系都是證明時常見的，將兩種情況結合在一起的目的是增大題目難度,同時還可以減少篇幅，做到全面系統的考查。

例2 如圖2所示，在Rt△ADE中，AD=DE，在Rt△ABC中，AB=BC，連接EC并取其中點M，連接MB和MD。（1）如果點D在AC邊上，點E在AB邊上且不與線段端點重合，求證BM垂直且等于DM；（2）如果將△ADE繞點A逆時針旋轉一個角度，此角小于45°，（1）中的結論是否仍然成立？寫出證明過程。

圖2

解 析：（1） 在Rt△EBC中，M為斜邊中點，因此BM=MC，同理，在Rt△EDC中有DM=MC，因此有BM=DM。角的關系有：

圖3

點撥：本題中對于中位線的運用可以說是無處不在的，取不同邊的中點，構造不同的三角形，進而為中位線定理的運用提供條件，充分利用了中位線所帶來的技巧性和簡便性，學生要懂得如何添加輔助線來實現最終的證明。

三、證明兩個角度相等

角度相等一般有兩種出題方式，直接證明角度相等或者證明直線是角的平分線。由于第一種情況較為常見，本文就不再介紹，下面通過例題來介紹第二種情況的出題方式和解題方法，為學生帶來不同的題型和思路。

解析：本題中已經給出了梯形腰上的一個中點以及線段的數量關系，很顯然這時再補出另一個腰的中點就可以得到很多等量關系，取AB邊中點N，連接MN，由中位線定理可知，因為題中的等量關系AD+BC=AB得出MN=BN，即即BM平分。同理可證AM平分。

圖4

點撥：本題中對于角平分線的證明利用的是梯形的中位線定理，梯形是除三角形外另一個可以應用中位線定理的圖形，梯形中對中位線定理的應用更能簡化解題過程，由于定理在梯形中是恒成立的，因此我們也可以直接引用。

利用中位線定理在幾何證明中進行應用不光是上述介紹的內容，還有對角、線段大小的比較，對線段等量關系的證明等等出題方式，但是思路都是類似的，我們要學會添加輔助線構造可以應用中位線定理的三角形或者梯形，然后利用中位線定理提供的線段位置和大小關系結合題中所給的條件完成解題。H分別為邊BC、BD、CE的中點。求證△FGH為等腰三角形。

解析：題中給出了多個中點，這在一定程度上暗示我們要利用中位線定理求解，但是根據題中條件畫出的圖形并不具備三角形中位線定理的應用條件，連接CD、BE后，根據中位線定