高校高等數學的教法及學法

趙迎春+布仁滿都拉

摘要：隨著科學技術的發展，高等數學被廣泛應用到自然科學和社會科學中，因此該門課程也成為了高等院校最重要的基礎課之一。本文將結合自己的教學實踐，淺談高等數學的教法、學法與認識，提出高等數學教學的幾點建議。

關鍵詞：教學方法；教學改革；高等數學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）51-0203-03

高等數學作為高等院校最重要的基礎課之一，通過該門課程的教學，不僅讓學生學到專業所需的基本數學知識，還能培養學生各方面的能力。因此任課老師在教學中應該怎么樣提高教學質量是一個值得深思的問題。本文將結合自己的教學實踐，淺談高等數學的教法、學法與認識，提出高等數學教學的幾點建議。

一、課程簡介與教學目標

高等數學是高校理科和文科相關專業學生必修的一門重要基礎理論課程，比如理科中的計算機、物理、生物、化學、醫學的相關專業和文科中的財經管理類專業都開設了高等數學課程。這門課程對于各專業后繼課程的學習起著奠基的作用。例如：物理學、控制論、流體力學和電動力學等專業課程都要用到高等數學中的數學知識。以流體力學為例：質量、動量和能量守恒都可以用數學微分方程來表示。另外，大學生畢業參加工作后也會用到高等數學所學的知識，例如：數據分析、機械設計、游戲軟件設計、城鄉規劃、建筑設計、風景園林設計、房地產管理和測量工程等工作領域都涉及高等數學知識。

高等數學的教學主要有以下三個方面的培養目標。

一是知識培養目標。通過高等數學的學習，使學生掌握高等數學的基本概念、基本定理和基本計算方法，為大學生的專業發展和以后的工作奠定基礎。二是能力培養目標。通過本課程學習，培養學生比較熟練的運算能力、分析問題和解決問題的能力及交流協作能力。教學者看重的第三個培養目標為學生的素質培養。高等數學是一門理論嚴謹、邏輯縝密的學科，其一切結論都有依據，并經過了嚴格的邏輯論證。因此，這種科學的實事求是精神就可以很好地培養學生嚴謹的學習態度和習慣，使學生養成尊重客觀事實，不固執不偏激，既敢于堅持真理，又勇于修正錯誤的品格。

二、教學內容、重點和難點

高等數學這門課程的教學內容主要包括函數與極限、導數、不定積分、定積分、微分方程、幾何與向量代數、重積分、曲線積分、曲面積分和無窮級數等豐富的內容。其中，教學的重點為高等數學中的基本概念、基本定理、基本計算方法及涉及的數學思想方法（如換元法、分類法、反證法、數學歸納法）。教學的難點為：極限、導數、定積分等抽象概念的引入，定理的理解和應用，導數、積分和微分方程的計算方法等。

三、教學方法和學習方法

1.教學方法。討論教學方法和學習方法前，先對教學對象做好學情分析。高等數學的授課對象是大一的新生，思維活躍，學習積極性高。學生在入學前學習了初等數學內容，已經具備了學高等數學的能力。但是，由于學生生源的多元性，學生基礎差異明顯。另外，高等數學與初等數學在學習模式、教學觀念、教法上都有所不同。那么，在高等數學教學的第一堂課上任課老師應交代清楚以下三個方面。首先，應該給學生介紹為什么要學高等數學。因為在生活中很多物理、化學、生物、醫學和經濟的問題都可以用函數來表示，如速度、溫度、濃度、電勢分布和磁場一般都是空間和時間的函數，還比如位移s關于時間t的二階導數等于加速度a，即■=a；流體的速度u和質量密度ρ滿足微分方程■+ρ（？塄·u）=0，稱為質量守恒方程。求解微分方程就是導數的逆運算過程，即積分運算。其次，介紹高等數學的課程內容特點、學習方法，特別需要讓學生認識到初等數學和高等數學在學習模式、教學觀念及教法上的轉變。最后，列舉一些實際例子進一步說明高等數學和初等數學的不同之處，讓學生明白原來高等數學如此有用，激起學生的學習興趣。

課堂教學結構大致可以分為如下幾步。第一步，復習。講新內容前復習與本節課核心內容有關的知識，比如講新內容二重積分的概念前，先復習前面已經學過的定積分的概念及其相應的性質，因為二重積分計算可以轉化為定積分的計算問題。第二步，通過討論實際問題，引入新課。比如，講導數的定義時，我們可以先跟學生一起討論切線問題或瞬時速度問題，用這些實際問題引出導數的概念。這樣做的好處是學生容易接受下面要講的抽象概念和定理。下面以導數的概念為例。

（1）首先考慮切線問題。假設函數y=f（x）在點x■附近有定義，求曲線y=f（x）的過P■（x■，f（x■））的切線L的斜率。當點P（x，f（x））沿曲線y=f（x）趨于P■（x■，f（x■））時，割線P■P趨于切線L。

所以，當點P（x，f（x））沿曲線y=f（x）趨于

P■（x■，f（x■）），即Δx→0時割線P■P的斜率k■趨于切線L的斜率k■為：

k■=■k■=■■=■■，

Δx，Δy分別是自變量和函數值的改變量。上述式子表明k■表示函數y=f（x）在點x■處的變化率，這意味著：k■越大，x■點附近函數值變化越大。

（2）利用切線問題引入導數的嚴格定義：設函數y=f（x）在點x■的附近有定義，當自變量x在x■處取得增量Δx時，相應的函數取得增量Δy=f（x■+Δx）-f（x■）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱函數y=f（x）在點x■處可導，并稱這個極限為函數y=f（x）在點x■處的導數，記為f′（x■），即

f′（x■）=■■=■■

第三步，導入新內容。這部分內容一般包括定義、定理、例題講解等。講解新內容時，一定要做到思路清晰，證明或推導過程有序而嚴謹、書寫規范。另外，我們在教材中會接觸到一些以微積分的創立者和先驅們的名字命名的重要定理和概念，如牛頓—萊布尼茲定理、柯西—施瓦茲不等式、拉格朗日中值定理、Bolzano—Weierstrass定理、富里葉三角級數等。如果在課堂教學過程中適當地加入這些重要數學人物生平和業績的介紹，不僅可以提升學生的學習興趣，還可以傳遞數學思想的作用，對我們的課堂教學起到畫龍點睛的作用。第四步，課堂練習。選擇與新內容有關的數學題，讓學生課堂上互相討論并完成。課堂練習的目的在于讓學生能夠更好地掌握和應用所學的數學知識。第五步，布置作業。作業應當涵蓋本節課的全部知識點，目的是讓學生課后復習并進一步鞏固本節課的內容。

2.學習方法。數學知識不應僅靠傳授獲得，而應該引導學生自己去發現，獨立地掌握。因此，指導學生培養正確的學習模式是非常重要的。在教學中，要求學生應做到以下幾點。（1）認真聽課，充分利用課堂時間。高等數學的內容比初等數學的內容抽象。課堂上，老師講具體的教材內容前會介紹內容的背景和應用情況。這一講解過程對學生至關重要。聽課過程中，學生仔細聽詳細證明和計算過程的同時在不明白的內容上及時做標記，以便在課堂或課后找時間和同學或老師討論。（2）不懂的地方要及時弄清楚。高等數學的一個重要的特點是章與章之間緊密聯系。在下一章的內容中肯定會用到前面章節的內容。所以，學生一定要及時多問不清楚的內容，不要積累以免影響后面的學習。（3）課后細讀課文，理解基本概念和定理，真正吃透課本內容。這樣做的好處是能提高學生的自學能力和獨立思考能力。（4）在理解基本概念和定理的基礎上，一定要多做題。數學題的解答過程需要繁冗的推演、反復的運算，因此通過多做題可以熟練地掌握所學數學知識，進而可以解決實際問題，提高自己發現問題、解決問題的能力。另外，學生在解決問題的過程中，會運用邏輯思維，通過獨立思考、概括總結、不斷創新、不斷積累，最終把問題解決，這種過程也是對學生的一種很好的錘煉。

四、教學手段

高等數學偏于理論，注重邏輯推理，學起來比較枯燥乏味，大部分學生對這門課程的學習沒有積極性。英國科學史家丹皮爾曾經說過“再沒有什么故事能比科學發展的故事更有魅力了”。因此，教師可以合理地運用數學歷史題材，增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣。例如，在講解知識點之前盡量讓學生了解所學知識點所產生的實際背景，在講解知識點后盡量列舉一些學生較熟悉的實際應用例子。如講解對坐標的曲線積分時，可以引進變力沿曲線做功的問題，激發學生的學習興趣，讓他們發現數學的美及其重要應用性。教師的幽默語言、詼諧比喻、個人魅力和有趣的問題等也能提高課堂的趣味性。

高等數學的教學內容基本都是抽象的概念和定理。因此，在教學中有效地結合多媒體，將傳統數學教學中不能直觀表示的抽象概念、定理等通過圖表、圖像、動畫等多媒體生動地表現出來，使其直觀化，使學生易于理解和掌握。比如用動態圖形向學生展示泰勒多項式逼近一個函數的直觀動態過程，這一過程在黑板上根本無法實現。另外，多媒體教學效率高、信息量大，也可以在有限的教學時間內展示更多的知識，并且可以豐富教學活動，提高教學的趣味性。特別在涉及圖像繪制與大段定義定理的描述時，使用多媒體教學更佳。例如，一元、二元函數導數的幾何意義、不定積分的幾何意義和定積分的定義等，利用幻燈片演示就能達到良好效果。但我們不提倡整個教學過程都用多媒體，例如數學中大量的演算推理，若用多媒體教學，會因速度太快導致學生消化吸收不了。

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Methods of Teaching and Learning of Higher Mathematics at University Level

ZHAO Ying-chun，Mandula Buren

（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng，Inner Mongolia 024000，China）

Abstract： With the development of science and technology，higher mathematics is widely used in natural and social sciences，and consequently，it becomes one of most important elementary courses in university. In this paper，the methods of teaching and learning of higher mathematics and understanding of mathematics are discussed based on our teaching experience. We also propose some advice about teaching and learning.

Key words：teaching method；educational reform；higher mathematics