追本溯源，回歸本質
——一則習題課教學引起的反思

☉江蘇省蘇州市吳江中學 婁愛玉

追本溯源，回歸本質
——一則習題課教學引起的反思

☉江蘇省蘇州市吳江中學 婁愛玉

一、背景

《普通高中數學課程標準》指出：“數學教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步理解．由于數學高度抽象的特點，注意體現基本概念的來龍去脈．在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質.”筆者在完成了平面向量的教學后，對一道課本后習題的解答，學生仍然沉浸在以往的知識海洋中.筆者在準備和講授這堂課過程中，對教學有了一些自己的認識和反思，現將部分教學片斷整理成文，與各位同仁分享.

二、教學片斷

片斷（一）課本習題，學生困惑

學生的解答：

故△ABC是正三角形.

生2：有∠ABO=30°，∠BAO=30°.

同理∠CBO=30°，∠BCO=30°，∠ACO=30°，∠CAO= 30°.

故∠ABC=60°，∠BAC=60°，∠BCA=60°，故△ABC是正三角形.

故△ABC是正三角形.

點評：三位同學的解答均沒有跳出平面幾何的圈子，用的仍然是求邊長、求角、證三角形全等等證明三角形是正三角形的平面幾何的方法和手段.雖然已經學習了向量，可總覺得離向量似乎還很遙遠.作為執教者，我陷入了沉思之中.現將一些想法和做法呈現給大家，以期拋磚引玉.

片段（二）正確引導，循序漸進

注重向量概念的引導，讓學生感悟向量本質，逐步將學生牽引到向量的概念上來.

師：你能否用我們剛剛學習的向量知識來解決？

于是，點O為△ABC的垂心.

又點O為△ABC的外心，故△ABC為正三角形.

又點O為△ABC的外心，故△ABC為正三角形.

點評：生4、生5的解法向量的味道明顯得濃了，這才是我們所需要的，是向量法的本質特點的體現.

片斷（三）引申拓展，深化概念

為了加強運用向量法解決問題的教學，可以引導學生向量可以從基底出發，讓其“自由地生長”，能生長出平面內的所有向量.那么平面內所有向量的關系問題可以轉化為這兩個向量（基底）的關系來研究.下面舉例說明.

師：好的，誰展示一下解題過程？

師：求解本題的關鍵在哪里？

生6：準確選擇了基底，用基底來表示相關向量.

師：很好，這種從基底出發，有預見性地、合理地選擇基底，處理圖形中的相關向量問題，是向量法的常用手段.

師：當然，我們也可以從圖形出發，就是用“形”來處理問題的一種思維方法，體現數形結合的思想.向量集數和形于一身，向量運算既是數的運算又是圖形的運算，主動挖掘向量問題的幾何背景，將向量問題置于一定的幾何背景之中，各種數量關系一目了然，使得計算與圖形融為一體，真正體現向量法的解題特點.

師：該題條件簡潔明了，初看似乎無從下手.但我們要迎難而上，努力找尋解決問題的突破口.

師：很好！哪位繼續？

生10：如圖1，在△ABC中，由以上分析可知，O點為CP的中點，P點為BA的四等分點（靠近點B）.

圖1

師：大功告成.本題的處理關鍵在哪里？

生11：準確找到向量運算的幾何背景.

師：很好！從圖形出發，根據向量運算特點，通過數形聯想，將向量問題轉化為平面幾何模型問題來處理，是向量法解題的常用方法.

師：當然，當圖形比較“正、直”的時候，我們還可以考慮用向量的坐標表示.這為我們用代數方法研究幾何問題提供了可能，豐富了我們研究問題的范圍和手段.從坐標出發，來解決向量問題是一個非常重要而且有效的代數方法.優點是思路較為程序化，思維方式比較“固化”，學生容易掌握，計算也簡便.關鍵是建立合理的坐標系，準確找出關鍵點的坐標.特別是其他處理方法難以奏效時，向量的坐標法可以試試，這里由于時間關系就不再舉例.

三、幾點反思

向量的教學現狀是令人堪憂，亟待改變的.向量教學應該引起廣大教育工作者的重視，應該提高對向量及向量教學的認知與理解，從向量的概念、法則入手加強對向量核心思想與本質特點的教學；從基底、圖形、坐標出發加強向量法解決問題的教學，來訓練學生數學思維能力，提高解決問題的能力，提升數學素養.

1.目前向量教學的現狀

目前由于受高考應試教育的影響，教學過程中總有些急功近利，向量教學也深受其害.平時的向量教學中往往忽視向量的基礎知識及向量法的本質特點的教學，通常會只針對高考中常考的填充題、立幾題及常考的幾個知識點搞所謂的有效教學，對向量概念及基本法則的教學匆匆忙忙，學生對向量的特點還沒有形成基本而完整的認識時，大批題目便壓下去，學生云里霧里，苦不堪言，有時甚至覺得有點莫名其妙.

當然最主要的問題還是在于有些教師對向量的核心思想理解不透，導致教學中沒能反映向量法的本質，總是披著向量法的外衣，實際上還是“綜合幾何”的方法；把向量法中的代數化曲解為“坐標運算”，不僅窄化了向量法的應用范圍，喪失了幾何的直觀性，而且由于復雜的運算引起了學生對向量法的懷疑.

2.加強向量概念及基本法則的教學

向量概念的教學首先要注重概念的引入，讓學生感悟向量本質.這可以從貼近學生生活實際來引入，如教材中給出的湖面上三個景點之間的分析研究，讓學生設身處地地感受體驗，就是很好的情景引入設計；可以從學生已有的知識水平來引入，如根據學生已掌握有向線段的有關知識，開門見山，引入概念，盡管和向量的自由性有出入，但也不失為一個不錯的素材；還要注意相關概念的聯系.教材中“向量的概念及表示”這一節內容，概念較多，教學中如果能注意到各概念之間的聯系和發展，把它們串成線、連成片，則對諸多概念的理解和把握就輕松多了.

3.常規性的課后反思對教師的專業成長有積極作用

課例點評中，要求教師調動數學知識，憑借教學經驗，從教學理論、教學方法、教學藝術多角度對同一節課點評，既關注教師，又關注學生；關注教與學是否有效融合，有效銜接，情境創設的角度是否合理，教材是否進行了創造性的處理，使教學內容能夠更加適合學生的學習，課例點評后的教學反思是汲取課例點評中的營養，豐富教學經驗，提高教學技能的有效途徑.