初探“兩個(gè)原理”的互動(dòng)式教學(xué)

☉江蘇省啟東市呂四中學(xué) 李凱

初探“兩個(gè)原理”的互動(dòng)式教學(xué)

☉江蘇省啟東市呂四中學(xué) 李凱

互動(dòng)式教學(xué)源自美國(guó)建構(gòu)主義教學(xué)，是其發(fā)展的一個(gè)分支．美國(guó)教育家杜威及其學(xué)生在建構(gòu)主義教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)要讓學(xué)生完全通過(guò)自身研究發(fā)現(xiàn)知識(shí)的效率較為低下，因此在研究過(guò)程中漸漸引入教師幫襯下的互動(dòng)成為建構(gòu)主義教學(xué)的一個(gè)新方向，隨著其他學(xué)者的后續(xù)進(jìn)一步研究，“互動(dòng)”方式漸漸獨(dú)立成為教學(xué)的一種獨(dú)立方式．筆者以互動(dòng)式教學(xué)為主要手段，研究教學(xué)案例“兩個(gè)原理”在教師引導(dǎo)下的互動(dòng)式教學(xué)，體會(huì)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中從獲得知識(shí)——嘗試探究——思考過(guò)程——感悟?qū)W習(xí)的步驟．

一、“師生互動(dòng)”歸納原理

通過(guò)“師生互動(dòng)”從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)概念，能很好地讓學(xué)生體驗(yàn)概念抽象的過(guò)程．

師：這次國(guó)慶假期我想和家人去南京游玩．如果從杭州出發(fā)，到南京，采用了下列的出行方式，大家?guī)兔纯次矣卸嗌俜N走法．

引例1：假如我從杭州到南京，可以坐直達(dá)動(dòng)車(chē)或直達(dá)快客，動(dòng)車(chē)每天有3個(gè)班次，快客每天有2個(gè)班次，請(qǐng)問(wèn)我共有多少種不同的走法？

生：5種.（追問(wèn)：5種怎么得的？你為什么要采用加法運(yùn)算？）

師：能不能從問(wèn)題的本質(zhì)去分析呢？

師生共同對(duì)問(wèn)題剖析如下：

師：例子中“我”要完成一件什么事情？

生：從杭州到南京．

師：怎么去做這件事情？

生：坐動(dòng)車(chē)或坐快客．

師：“或”什么意思？做火車(chē)能不能到？坐快客能不能到？

生：兩種方式二選一，那表示動(dòng)車(chē)、快客是兩類方案.

師：那動(dòng)車(chē)1，動(dòng)車(chē)2，動(dòng)車(chē)3又表示什么意思呢？

生：在動(dòng)車(chē)這類方案中又有3種不同的方法．

師：怎樣才算完成？

生：人到達(dá)南京．

師：這里有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：或——類，直達(dá)——直接完成．

師：同學(xué)們還能其他舉例說(shuō)明嗎？（同桌之間互相合作）．

生：買(mǎi)汽車(chē)，國(guó)內(nèi)的牌子有5種，國(guó)外地牌子有6種，從中選擇一個(gè)牌子，共有5+6=11種不同的買(mǎi)法．

師：為什么這兩個(gè)問(wèn)題都采用加法運(yùn)算？?jī)烧哂惺裁垂餐卣鳎?/p>

生：能獨(dú)立完成一件事的方法之間都是加法歸類．

師：不錯(cuò)！請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，試一試將其一般化.

分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同的方式，其中第一類中有m種方法，第二類中有n種方法，則完成這一件事一共有m+n種方法．

師：這個(gè)原理告訴我們：分類計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)采用加法運(yùn)算，那什么是分類？其本質(zhì)是什么？

生：就是每一類中的每一種方法都能把事情直接完成．

評(píng)價(jià)：通過(guò)“師生互動(dòng)”并讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納概括得出結(jié)論，體現(xiàn)出特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．

變式：若每天從杭州到南京，有下列選擇：有3個(gè)動(dòng)車(chē)班次、2個(gè)快客班次和7個(gè)高鐵班次，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)天有多少種方式可以從杭州到南京？（N=3+2+7=12種）

師：這個(gè)問(wèn)題說(shuō)明了什么？

生：分類加法計(jì)數(shù)原理可以推廣到有3類的情況．

師：完成一件事有類方式，其中每一類又有若干種方法，則完成一件事有多少種方法？

一般歸納：若這n類方式中，每一種方式分別有m1，m2，…，mn種方法，依據(jù)上述類似可知，一共有m1+m2+…+ mn種方法．

評(píng)價(jià)：“師生互動(dòng)”共同分析，得出分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣，讓學(xué)生經(jīng)歷感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程．

二、“學(xué)生討論”類比學(xué)習(xí)

對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，教師拋出問(wèn)題后，讓“學(xué)生討論”能夠集中學(xué)生的思維亮點(diǎn)，使問(wèn)題得以解決，也能提高課堂效率．

師：我到了南京游玩后，就要返回了．如果我返回時(shí)采用下列方式，我又有多少種走法？

引例2：從南京回來(lái)途中需要在上海迪士尼停留1天，次日再回到杭州．現(xiàn)南京到上海選擇直達(dá)汽車(chē)（8種選擇），上海到杭州選擇高鐵（28種選擇），請(qǐng)問(wèn)從南京回到杭州有多少種選擇？

這個(gè)問(wèn)題請(qǐng)學(xué)生合作探究：類比剛才探究分類加法計(jì)數(shù)原理的過(guò)程，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析，從中能夠得出什么結(jié)論．教師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥．

根據(jù)學(xué)生回答可以引出樹(shù)形圖：

師：為什么這里不用加法而用乘法？

生：對(duì)應(yīng)于第一天的每一種走法，第二天都還有28種不同的高鐵班次供選擇．

問(wèn)題剖析：（1）要完成的事：南京→上海→杭州；（2）怎么去做：汽車(chē)且高鐵；（3）完成標(biāo)準(zhǔn)：人到達(dá)杭州；（4）關(guān)鍵詞：且——步，中轉(zhuǎn)——分步完成．

師：現(xiàn)在能否來(lái)總結(jié)這類問(wèn)題的一般解決規(guī)律呢？并給它取個(gè)名稱．

分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事情需要分2個(gè)步驟，在第1步中有m種不同的方法，在第2步中有n種不同的方法．．那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法．

一般歸納，完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法．

評(píng)價(jià)：采用類比研究，引導(dǎo)“學(xué)生討論”分析、探究、發(fā)現(xiàn)分步乘法計(jì)數(shù)原理．培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、自主探究、模仿和語(yǔ)言表達(dá)能力．讓學(xué)生體會(huì)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的異同，理解兩者的本質(zhì)，學(xué)會(huì)在遇到具體問(wèn)題時(shí)如何根據(jù)問(wèn)題的特征選擇對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)原理．

三、“學(xué)生闡述”應(yīng)用原理

兩個(gè)原理的使用依據(jù)，關(guān)鍵在于能否合理判斷問(wèn)題的基本特征，最大的區(qū)別在于每種方式方法是否可以獨(dú)立地完成一件事．因此本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：對(duì)原理中關(guān)鍵詞“完成一件事”的理解；根據(jù)問(wèn)題的特征正確地區(qū)分“分類”或“分步”．通過(guò)“學(xué)生闡述”的環(huán)節(jié)能夠有效地反饋學(xué)生對(duì)以上教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成程度和難點(diǎn)的突破情況．

應(yīng)用：杭州某區(qū)原來(lái)舊汽車(chē)牌照使用方式為：浙A· D××××（0～9中任取一個(gè)），現(xiàn)隨著汽車(chē)保有量增加而使用新的自選牌照方式：浙A·×××××（前4位是0～9中任取一個(gè)，最后一位是除I和O外的大寫(xiě)英文字母），比較原來(lái)車(chē)牌數(shù)量和新的車(chē)牌數(shù)量？

生：給車(chē)牌選數(shù)字和字母，可以分成五個(gè)步驟完成：第1步，從0～9中取1個(gè)數(shù)字填入第一個(gè)空格，有10種方法；第2步，從0～9中取1個(gè)數(shù)字填入第二個(gè)空格，有10種方法；第3步，從0～9中取1個(gè)數(shù)字填入第三個(gè)空格，有10種方法；第4步，從0～9中取1個(gè)數(shù)字填入第四個(gè)空格，有10種方法；第5步，從除I和O外的大寫(xiě)英文字母中取1個(gè)填入第五個(gè)空格，有24種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=10×10×10×10×24=240 000．老牌照：N= 10×10×10×10=10 000，自選牌照比老牌照多出230 000個(gè)．

評(píng)價(jià)：通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程的“闡述”了解學(xué)生掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的情況．教師能有效地對(duì)本節(jié)課目標(biāo)的達(dá)成情況做出判斷．

本節(jié)新知注重“互動(dòng)”，啟迪思維，充分體現(xiàn)新課程理念．對(duì)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，不僅僅在于善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律本身，更是需要通過(guò)對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程掌握發(fā)現(xiàn)知識(shí)的一般步驟、一般途徑，這才是學(xué)習(xí)更為寶貴的積累．學(xué)會(huì)探究，提升思維的品質(zhì)．因此采取學(xué)生熟悉的實(shí)例“互動(dòng)生活”，經(jīng)過(guò)“師生互動(dòng)”抽象概括出分類加法計(jì)數(shù)原理；再通過(guò)“學(xué)生討論”類比研究，合作交流，總結(jié)得出分步乘法計(jì)數(shù)原理，再通過(guò)“學(xué)生闡述”反饋原理的掌握情況．教師善于啟發(fā)，善用追問(wèn)，善于傾聽(tīng)，體現(xiàn)“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)”的啟發(fā)式教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵．

以“互動(dòng)”推進(jìn)章節(jié)新知的開(kāi)展，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)概念形成和研究過(guò)程，感受數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程．“互動(dòng)”引領(lǐng)的課堂教學(xué)中教師更注重精心設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排教學(xué)活動(dòng)，注意根據(jù)概念教學(xué)的基本規(guī)律安排教學(xué)進(jìn)程．采取“互動(dòng)”引導(dǎo)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生帶著問(wèn)題開(kāi)展探索活動(dòng)，將轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式落到實(shí)處．注重學(xué)生參與，教師力求精講多問(wèn)，將學(xué)生推向前臺(tái)，讓學(xué)生表達(dá)、板演、總結(jié)，教學(xué)過(guò)程中學(xué)生主體意識(shí)進(jìn)一步加強(qiáng)．

1．曹才翰，章建躍．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］．北京師范大學(xué)出版社，2008（4）．

2．章建躍，陶維林．注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2009（8）．

3．章建躍，陶維林．概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過(guò)程［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2010（1）．