香港與大陸高中教材微積分內容的比較研究

☉華南師范大學附屬中學 郝保國

香港與大陸高中教材微積分內容的比較研究

☉華南師范大學附屬中學 郝保國

微積分是現代數學的基礎，有著極其廣泛的應用.世界上一些主要國家或地區都在高中教材中引進了微積分內容.但因大家的課程理念不盡相同，因此引進的程度存在差異，呈現方式與定位也有所區別.香港地區的教育受英美等國的影響較大，數學教育很有特色和成就.若能比較研究香港與大陸的高中微積分教材，是一個較有研究價值的課題.

本文研究選取的香港教材是《新高中數學與生活（延伸部分）單元二——代數與微積分2》［1］（以下簡稱《微積分2》），大陸教材是“人教A版”《普通高中課程標準實驗教科書〈數學選修2-2〉》［2］（以下簡稱《選修2-2》）.《微積分2》是朗文香港教育出版社2009年出版的，在香港影響較大；《選修2-2》是人民教育出版社2007年出版的，在大陸使用人數最多.筆者期望通過這兩本教材的比較研究，讓我們的微積分教材編寫和課堂教學多一些啟示和借鑒.

一、微積分在高中教材中的定位比較

香港目前使用的各種版本的高中數學教材，都是依據2007年制訂的《數學課程及評估指引（中四至中六）》編寫的.教材內容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共有5本.延伸部分備有兩個選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分2》是單元二的第二本教材，屬于選修教材.《微積分2》的序言指出：“為希望學習高等數學的學生奠下鞏固的代數與微積分基礎”；“旨在讓學生涉獵在必修部分以外的高等數學范疇——代數與微積分，并掌握個中的理論技巧，冀能對學生日后升學或從事與數學有關聯的專業，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分2》是供相當于大陸的理科學生選修的.

大陸目前使用的各種版本的高中數學教材，除上海外都是依據2003年制訂的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》編寫的.數學教材也分必修部分和選修部分.“人教A版”的必修教材有5本，選修教材共有16本.《選修2-2》是供理科學生選修的.本冊導引指出：“導數和定積分都是微積分的核心概念”；“通過大量的實例，引導同學們經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，體會導數的思想，理解導數的含義”；“初步體會定積分的思想及其豐富內涵，為進一步學習微積分打下基礎”.

香港與大陸的教材都是將微積分定位為選修內容，目標都是為學有余力的學生提供進一步學習的內容，為他們進入大學學習微積分打下基礎.縱觀其他國家的高中數學教材，美國、英國、日本等國也將微積分定位為選修內容，新加坡、澳大利亞定位為必修內容.

二、微積分知識內容的比較

《微積分2》中微積分的內容共有449頁，16開本，學時大約為62節；《選修2-2》中微積分的內容共有67頁，16開本，學時大約為24節.具體內容比較見表1.

表1

從表1不難看到，《微積分2》章節編寫詳細，內容豐富.《微積分2》在講授導數前，安排了“函數的極限”等內容，包括：極限的概念，連續函數與不連續函數，連續函數的極限，連續函數兩個定理（共7個結論），無窮大，三角函數的極限等.這樣安排理論性強，與后面微分內容銜接自然.《選修2-2》輕理論重應用，逾越了極限概念，直接從“變化率問題”入手引入導數，但在定義函數的導又回避不了極限知識，這讓教師處理教材時很棘手，也讓學生理解教材時思維受阻.在后面的內容安排上，《微積分2》也比《選修2-2》多安排了反函數及隱函數的微分法，二階導數，函數的凹性及二階導數判別法，曲線的描繪，不定積分，利用不定積分解決問題，與三角函數、指數函數、對數函數有關的不定積分等內容.《微積分2》從不定積分過渡到定積分，且介紹了換元積分法與分部積分法，知識發展有規律可循，方法技巧靈活多變.《選修2-2》由曲邊梯形引入定積分，學生不容易理解.由于在《微積分2》以前的課本中，香港學生學習過《三角函數》中的積化和差與和差化積等公式，因此，學生在學習和解答《微積分2》中較復雜的三角微積分例題與習題時，不會存在知識上的障礙.

三、知識呈現模式與嚴格性水平比較

（一）章首及章尾內容和結構的比較

《微積分2》共8章.每章章首都標明了學習重點，并給出與本章內容密切相關的一個生活中的實際例子，起提綱挈領及導入相關知識的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結的作用.以第13章“定積分”為例，章首的學習重點有6點，指明了本章的學習重點與難點之所在.給出的實際例子是“制定藥物的劑量”，研究人員可通過計算的值，得知病人在接受注射T小時內的總藥物攝取量，從而制訂使用藥物的劑量和頻率.章末的本章摘要包括重要詞匯與重要概念兩個方面.重要詞匯有9條：定積分、積分下限、積分上限、定積分法、假變量、微積分基本定理、變量變換、奇函數、偶函數，均有中英文對照.重要概念包括：定積分法概念、定積分的性質（共6條重要性質）、微積分基本定理、變量變換、利用分部積分法求定積分、奇函數與偶函數的定積分、周期函數的定積分.

《選修2-2》中只有一章是微積分內容.章首有類似導言的三段文字：其中提到微積分的產生，并指出微積分的創立與處理四類科學問題直接相關；重點指出了導數是微積分的核心概念之一，它是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等問題的最一般、最有效的工具；定積分也是微積分核心概念之一，一般平面圖形的面積、變速直線運動的路程、變力所做的功等都可以歸納為定積分問題.章末有小結，包含本章知識結構及回顧與思考兩個方面.本意知識結構是用框圖形式呈現出來的.框圖的四個結點是導數、微積分基本定理、定積分、定積分在幾何和物理中的簡單應用，框圖的旁枝幾乎包含了本章的基本內容.框圖“概括抽象出定積分的概念、表示和意義.定積分概念的理解和應用要緊扣其幾何意義和物理背景”［3］.回顧與思考有5點，回顧了導數的定義、微積分蘊含的數學思想與方法，以及微積分的聯系與應用，還提問學生能否從物理和幾何兩個方面解釋導數的意義？

（二）導數及定積分概念引入的比較

《微積分2》先給出割線的斜率，然后用極限的思想定義了切線斜率，進而由切線斜率引入并定義了一階導數.《選修2-2》先從氣球的平均膨脹率及高臺跳水的平均速度，引入了平均變化率的概念，進而引入了瞬時速度并定義了一階導數.無論是引入瞬時速度還是導數的概念，都運用了函數極限的思想和方法.《選修2-2》從現實生活中的實際例子引入導數，學生學起來不抽象，感到親切好奇.

《微積分2》引入定積分的概念前，已經有極限與不定積分的知識做鋪墊.引入定積分時，通過“分割（均分區間）、近似代替（以直代曲）、求和、取極限”四個步驟，先求三直線y=2x、x=1、x=2與x軸圍成的圖形的面積，再推導曲線y=f（x）與兩直線x=a、x=b及x軸圍成的曲邊梯形的面積，進而引入定積分的概念.《微積分2》由淺入深，由易到難，符合學生的認知規律.《選修2-2》也是通過上述四個步驟，來推導曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，進而引入定積分的概念.《選修2-2》因缺少應有知識的鋪墊，教師的教與學生的學都比較艱難.

（三）定理、法則與公式的嚴格性水平比較

嚴格性一般劃分為四個水平層次：水平1—直接給出理論，沒有任何解釋或證明；水平2—通過例子解釋理論；水平3—較為嚴格地解釋理論的正確性，但不進行證明；水平4—嚴格地證明理論.

《微積分2》中，導數部分的和、差、積、商四個求導法則經過了嚴格證明，常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反函數的求導公式也都經過了證明，均達到了嚴格性水平4.定積分部分的定積分性質是直接給出的，達到嚴格性水平1；微積分基本定理、變量變換法、分部積分法，以及奇函數、偶函數、周期函數求定積分的公式均經過了嚴格證明，達到了嚴格性水平4.《選修2-2》中，常函數的求導公式給予了證明，達到了嚴格性水平4；冪函數四個特例的求導給出了嚴格證明，達到了嚴格性水平2，其他求導公式與法則，以及微積分的基本定理都是直接給出，達到嚴格性水平1.相比較而言，《微積分2》的嚴格性水平高于《選修2-2》.

四、例習題設置及綜合性程度比較

由于《微積分2》與《選修2-2》微積分部分學時、章節內容差距很大，因此例習題數量差距也很大，不便于整體分析比較.在此僅以兩本教材中有關定積分的部分為參照作比較.

（一）例習題的設置比較

《微積分2》的定積分內容分兩章共7節.每一節配有例題，每個例題后面配有即時練習題.每一節后面設置了初階、進階兩個層次的練習題.每一章后面設置了總復習題，分初階、進階、挑戰題三個層次.這兩章共有例題45個，即時練習題45個，初階練習題177個，進階練習題113個，挑戰題4個.每個練習題均給出了答案，但沒有詳細過程.《選修2-2》的定積分內容沒有獨立成章，但分3節.每一節配有例題、探究題、思考題及課內練習題.每一節后面設置了A組、B組兩個層次的練習題.章末配備了一個實習作業，題目是“走進微積分”，目的是通過收集微積分創立的時代背景和歷史意義的有關材料，體會微積分在數學思想史和科學思想史上的價值.緊跟實習作業后面設置了本章的復習參考題，仍分A組、B組兩個層次，其中有一部分為定積分題.這三節共有例題7個，探究題6個，思考題4個，課內練習題11個，A組題17個，B組題12個.

兩本教材例習題的設置方法大致類似.《微積分2》題量大，學生課外練習時選擇余地大，可以較全面地鞏固知識和提高能力.每個練習題均給出答案，可以起到及時反饋的作用，便于學生自學.《選修2-2》設置了探究題、思考題、實習作業等，既培養了學生動腦的能力，又培養了學生動手的能力.

（二）例習題的綜合性程度比較

例習題的綜合性分為四種類型：類型1—與微積分領域內其他知識的綜合；類型2—與數學其他領域內知識的綜合；類型3—與其他學科知識的綜合；類型4—與具有實際生活背景的問題綜合.

根據上述綜合性的分類標準，《微積分2》的例習題中類型1有61個，類型2有239個，類型3有3個，類型4有8個.《選修2-2》的例習題中類型1有7個，類型2有18個，類型3有15個，類型4有1個.

由此可見，《微積分2》中的例習題主要體現了數學學科內知識的綜合運用，專注于對知識的理解與掌握；《選修2-2》例習題雖然不多，但既注重了數學學科內各分支知識的聯系，又突出了數學在其他學科上的綜合應用.

五、結論與啟發

（一）對兩本教材優缺點的歸納

《微積分2》知識體系比較完整，定理及公式大都給出了嚴格證明，例習題典型且豐富，比較全面地覆蓋了重要的知識點與方法技巧，確實能為進入大學學習高等數學的學生打下比較扎實的微積分基礎.但因各類習題量設置過多，又加之每個習題都附有答案，致使教材厚且重，用起來不太方便.

《選修2-2》重在應用，貼近生活；在知識引入方式和表征方式上，方法靈活多樣；例習題能串聯起其他學科的知識，綜合性強.但因缺少函數極限與不定積分內容，致使知識體系不完整.雖然學生初步學習了導數與定積分的基本思想與方法，但對進入大學學習高等數學幫助不大，因為他們還必須全面地重新學習極限、微分、不定積分及定積的知識.《選修2-2》對微積分定理及公式大多直接給出，缺少嚴謹性證明，可能會使學生在學習高等數學時，還產生一些負面影響.

（二）高中微積分教材究竟設置哪些內容

我國高中教材開設微積分課程是值得肯定的.但微積分教材究竟設置哪些內容，這是一直有爭議的問題.當前美國、英國、日本、澳大利亞、新加坡等國的高中微積分教材，知識體系大都比較完整.我國1999年“人教社”出版的高級中學教材（試驗本）數學第三冊，相比較《選修2-2》多了函數的極限、函數的連續性、高階導數、微分、定積分、不定積分運算法則、換元積分法、分部積分法等內容.筆者回顧講授這本教材的情形，依然記得當時的教材與教學比較符合學生的認知特點，學生能夠理解和掌握所學內容.因此，當前我們應該向香港的教材學習，適當地豐富微積分教學內容，相應地增加教學時間，讓學生在進入大學前打下良好的微積分基礎.

（三）要避免出現“一英里寬，一英寸深”的數學課程

“一英里寬，一英寸深”的數學課程，曾經對美國的數學教育產生了很大的負面影響.比較“人教版”1999年出版的教材和當前的教材，除微積分內容大幅刪減外，復數、三角等內容也刪減不少.就以三角而言，因為沒有了半角公式、和差化積與積化和差公式及反三角函數等內容，《選修2-2》只能重點介紹多項式函數的微積分.學生進入大學后，因大學不補教三角函數中刪除的內容，致使高中與大學課程銜接脫節，很多學生在學習與三角恒等變換、反三角函數相關的微積分知識時，感到困難.當前“人教A版”教材增加了選修3系列與選修4系列，共有13本教材，譬如《對稱與群》《球面上的幾何》《風險與決策》等.似乎教學內容比以前寬泛很多，但因高考不考，或因師資存在問題，這些教材大多形同虛設.我們希望不要出現“一英里寬，一英寸深”的課程體系，不然，負面影響將如影隨形，遺害不淺.

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1.文炳輝，楊仲明，張興仁.數學與生活單元2——代數與微積分［M］.香港：朗文教育出版社，2009年.

2.人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007年.

3.方厚良.中學微積分核心概念與基本思想的理解與滲透［J］.中學數學（上），2013（7）.