一道模考題的題源探究

☉江蘇省無錫市第一女子中學 王劍

一道模考題的題源探究

☉江蘇省無錫市第一女子中學 王劍

考題（2016蘇錫常鎮一模·19）設函數f（x）=x-2exk（x-2lnx）（k為實常數，e=2．71828…是自然對數的底數）．

（1）當k=1時，求函數f（x）的最小值；

（2）若函數f（x）在區間（0，4）內存在三個極值點，求k的取值范圍．

一、考題之解

分析：第（1）問通過求導，考查了導數的運算，難點是判斷ex-x2=0是否有零點，因此我們不難發現當k=1時，這個函數的定義域為｛x|x＞0｝，于是第一種方法可將等式變形為x=2lnx，從而構造函數φ（x）=x-2lnx，通過導數的方式判斷這一函數最小值是否大于0，另一種方法是構造函數h（x）=ex-x2，然后求導兩次，可以得到當x=ln2時，h′（x）的極小值為2-2ln2，而這一數值是大于0的，于是可以得到h′（x）＞0即h（x）在（0，+∞）上單調遞增，上述兩種思路都是解決這一小問的可行之法．

第（2）問的難點是將極值點問題轉化為零點問題，主要涉及函數與方程、數形結合這兩大數學思想，本題考查的另一特色是重視列表檢驗，考查學生對導數的理解與運用．

下面給出證時：當x＞0時，ex＞x2．

證法1：當x＞0時，ex＞x2可變形為x＞2lnx．

令φ′（x）=0，x=2．

于是當0＜x＜2時，φ′（x）＜0；當x＞2時，φ′（x）＞0，故φ（x）=x-2lnx在x=2處取得最小值φ（2）=2-2ln2＞0，因此當x＞0時，x＞2lnx，所以ex＞x2．

于是當0＜x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0．

所以f（x）在（0，2）上為減函數，在（2，+∞）上為增函數，所以f（x）在x=2處取得最小值

證法2：設h（x）=ex-x2，h′（x）=ex-2x，h″（x）=ex-2．

令h″（x）=0，解得x=ln2．

當x變化時，h′（x）與h″（x）的變化情況如下表：

由表格可以看出：當h′（x）＞0，即h（x）=ex-x2單調遞增，即h（x）＞h（0）=1.

故f（x）在（0，x1）上單調遞減，在（x1，2）上單調遞增，在（2，x2）上單調遞減，在（x2，4）上單調遞增，所以f（x）在區間（0，4）上存在三個極值點，即函數f（x）在（0，4）內存在三個極值點的k的取值范圍是

點評：1．導數及相關內容一直是近幾年高考的重點和難點之一，在江蘇省2016年高考數學考試說明中對本內容的考查主要有：

（1）導數的幾何意義，B級要求，理解導數的幾何意義是曲線上在某點處的切線的斜率，能夠解決有關切線的問題；

（2）導數的運算，B級要求，熟練掌握導數的四則運算以及復合函數的導數運算是解決導數問題的基礎；

（3）利用導數研究函數的單調性與極值，B級要求，也是解決導數類問題的核心方法；

（4）導數在實際問題中的應用，B級要求，為探究函數類應用問題及簡單的數學建模問題提供了比較好的研究手段．

2．利用導數方法證明不等式f（x）＞g（x）在區間D上恒成立的基本方法是構造函數h（x）=f（x）-g（x），然后根據函數的單調性或者函數的最值證明函數h（x）＞0，其中一個重要技巧就是找到函數h（x）在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口．利用函數的導數研究不等式恒成立問題是一類重要題型，體現了導數的工具性作用，將函數、不等式緊密結合起來，考查了學生綜合解決問題的能力．

二、考題之源

筆者發現這一模考題與其他省份的一些高考真題頗為相像，如2014年山東高考數學第20題：

（1）當k≤0時，求函數f（x）的單調區間；

（2）若函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求k的取值范圍．

參考答案：（1）函數f（x）的單調遞減區間為（0，2），單調遞增區間為（2，+∞）．

又如2013年陜西高考數學第21題：

已知函數f（x）=ex，x∈R．

（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖像相切，求實數k的值；

（2）設x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數．

圖1

我們不難發現，當x＜0時，函數單調遞增，比較容易研究，所以上述的三道考題中均研究的是當x＞0時函數的性質．2016年江蘇省蘇錫常鎮數學一模第19題第（2）問實質上是經過變形可以轉化為當k取何值時函數與函數y=k在（0，4）內有兩個交點，如若對圖形分析到位，則不難發現結論．在2014年山東高考第20題第（2）問和2013年陜西高考第21題第（2）問均可“一望而解”．

三、題源之思

筆者認為這樣的梳理不僅有利于學生對函數的分析和作圖能力，更能夠以這些函數模型作為題源衍生很多的函數好題，能夠讓學生從命題者的角度分析問題，讓學生見到類似問題時不陌生，更快速地找到解題思路，有利于緩解考試遇難的焦慮情緒．

不妨來看一下2016年新課標數學全國Ⅱ卷理科第20題：

解：（1）f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（-2，+∞），

所以f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）上單調遞增．

當x＞0時，f（x）＞f（0）=-1，所以（x-2）ex＞-（x+2），即（x-2）ex+x+2＞0．

由（1）可得f（x）+a單調遞增，對任意的a∈［0，1），f（0）+a=a-1＜0，f（2）+a=a≥0，所以存在唯一的x0∈（0，2］，使得f（x0）+a=0，即g′（x）=0．

當0＜x＜x0時，f（x）+a＜0，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；

當x＞x0時，f（x）+a＞0，g′（x）＞0，g（x）單調遞增．

因此g（x）在x=x0處取得最小值，最小值為

因為x0∈（0，2］，所以h（0）＜h（a）≤h（2），即h（a）∈

綜上，當a∈［0，1）時，函數g（x）有最小值．h（a），函數h（a）的值域為

點評：本題的考點是函數的單調性和極值等問題，尤其是第（2）題，先用導數法求函數g（x）的最值，再構造函數，又用導數法求解．這樣的計算量對學生來說想要做全對不是很容易，如果在構造函數h（a）=時，能夠通過已經掌握的知識得出這個函數的性質和大致圖像，對求解是有很大的幫助的，華羅庚先生也提出“以形助數”的思想，實際上就是數形結合來看函數問題，類比表3，不難發現這一函數與極為相似，我們可以大膽猜測函數h（a）的一條漸近線為x=-2，從而作出草圖如圖2，則也不難發現當x0∈（0，2］時，h（a）這道高考題即是由基本的函數模型作為題源展開得來的，像這樣的題目還有很多．

圖2

高考命題每年都有變化，但經過仔細分析比較研究以后還是能夠發現其中的規律，高考考題也不是憑空捏造，題目本身都有一定的母題和題源，掌握這些題源，無論高考考題千變萬化，也能從容應對．