例談高考中對絕對值問題的考查

☉浙江省新昌縣澄潭中學 王新兵

例談高考中對絕對值問題的考查

☉浙江省新昌縣澄潭中學 王新兵

絕對值是中學數學中的一個基本概念，“絕對值問題”歷來也是高考數學試題中經常涉及的問題．題目類型豐富，涵蓋面廣，綜合性強，并且經常出現一些富有創意的新題，可謂常考常新．絕對值常常與函數、不等式、向量等綜合，題型上具有新穎性，解題方法上具有靈活性，思維方式上具有抽象性.筆者結合近幾年的試題談談高考對絕對值的考查，不當之處，敬請指正.

考查一、絕對值與參變量的綜合

例1若函數f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，則實數a=_______.

解法1（分類討論）：當a=-1時，f（x）=3|x+1|≥0，與條件不符.

易得函數f（x）在（-∞，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，故此時f（x）min=f（a）=-a-1=5，a=-6.

同理可知f（x）min=f（a）=-a+1=5，a=4.

因此a=-6或a=4.

解法2（幾何意義）：函數f（x）可化為f（x）=|x+1|+|xa|+|x-a|，其幾何意義為數軸上的x到-1的距離與到a的距離的2倍之和，結合數軸易得x=a時，f（x）min=f（a）=|a+1|=5，解得a=-6或a=4.

解法3（絕對值不等式）：函數f（x）可化為f（x）=|x+1|+ |x-a|+|x-a|，則2f（x）=（|x+1|+|x-a|）+（|x-a|+|x-a|）+（|x-a|+ |x+1|）.由絕對值不等式有|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=|a+ 1|，|x+1|+|x+1|≥|（x+1）-（x+1）|=0，|x-a）+|x+1|≥|（x+1）-（x-a）|=|a+1|，則2f（x）≥|a+1|+0+|a+1|=2|a+1|.

故f（x）min=|a+1|=5，解得a=-6或a=4.

由此可見，求含有雙絕對值的函數f（x）=|ax+b|±|cx+ d|的最值時，通常利用零點分段法進行．如果a=c常常考慮利用三角形絕對值不等式求最值．注意不等式|x-a|+ |x-b|≥|a-b|的應用．

考查二、絕對值與向量的綜合

例2已知e1，e2是空間單位向量，若空間向量b滿足，且對于任意x，y∈R，|b-（xe1+ ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），則x0=_______，y0= _________，|b|=_________．

解法1（空間坐標系）：建立空間直角坐標系，由題意可設e1=（1，0，0）并設b=（m，n，p），

則b·e1=2

由|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），得

因為對任意的x，y∈R，都有

|b-（xe1+ye2）|2=|b|2-2b（xe1+ye2）+（xe1+ye2）2

=|b|2-4x-5y+x2+y2+xy≥1，

即x2+（y-4）x+|b|2-5y+y2-1≥0對任意實數x均成立．

所以Δ=（y-4）2-4（|b|2-5y+y2-1）≤0，

即3y2-12y+4|b|2-20≥0對任意實數y均成立，

又對于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x，y∈R），

解法3（幾何意義）：由|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|= 1（x，y∈R）的幾何意義可知，向量b到向量e1，e2所確定的平面的距離為1，且在此平面內投影的向量x0e1+y0e2，利用向量的數量積b·e1=2，b·

向量問題坐標化是解決此類問題的捷徑；向量問題代數化是解決此類問題的一種重要方法，往往需要扎實的運算能力和轉化能力；向量問題幾何化是解決此類問題的一種簡單方法，往往需要敏銳的幾何直覺和轉化能力．

考查三、絕對值與二次函數的綜合

例3已知函數f（x）=x2+ax+b（x，y∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區間［-1，1］上的最大值．

（1）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（2）當a，b滿足M（a，b）≤2，求|a|+|b|的最大值.

本題考查函數在給定區間上的最值問題，考查函數的單調性與最值、分段函數、不等式的性質等基礎知識．同時考查推理論證能力，分析問題和解決問題的能力．

所以M（a，b）=max｛|f（1）|，|f（-1）|｝.

當a≥2時，由f（1）-f（-1）=2a≥4，得max｛f（1），-f（-1）｝≥2，即M（a，b）≥2；

當a≤-2時，由f（-1）-f（1）=-2a≥4，得max｛f（-1），-f（1）｝≥2，即M（a，b）≥2.

綜上，當|a|≥2時，M（a，b）≥2，

（2）由M（a，b）≥2，得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+b|= |f（-1）|≤2，故|a+b|≤3，|a-b|≤3，

當a=2，b=-1時，|a|+|b|=3，且|x2-2x-1|在［-1，1］上的最大值為2，

即M（2，-1）=2，所以|a|+|b|的最大值為3．

二次函數的最值問題要抓住對稱軸的位置討論，二次函數的最值是在區間的端點和對稱軸處取到.要高效備考，必須重視本省中的各種試題并進行認真地分析研究．

考查四、解含有雙絕值的不等式

例4x，y∈R若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2，則x+y的取值范圍為________.

解（絕對值的幾何意義）：由絕對值的幾何意義可知，|x|+|x-1|≥1，當且僅當0≤x≤1時，等號成立.

同理|y|+|y-1|≥1，當且僅當0≤y≤1時等號成立.

兩式相加得|x|+|x-1|+|y|+|y-1|≥2.

又由題意知，|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2，

故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2.

所以原題的答案為［0，2］.

總之，解不等式是要找充要條件，而不是找充分不必要條件.