例談截距法求解空間法向量

☉湖北省武漢市第二中學 張搏翰

例談截距法求解空間法向量

☉湖北省武漢市第二中學 張搏翰

空間幾何問題是高考必考題型之一，利用向量法可以很方便地解決一類幾何問題.解答此類問題一般分為以下幾步：先觀察圖形建立合理的坐標系（一般是空間直角坐標系），再利用各邊在坐標系上的投影寫出需要的點的坐標，從而利用向量法求解問題.本文主要介紹截距法在求解二面角問題中的運用.

從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱.二面角的面是指這兩個半平面.在棱上任取一點，分別在兩半平面內引兩條射線與棱垂直，兩條垂線所成的角叫做二面角的平面角.

求二面角的平面角，一般有以下幾種方法：

1.三垂線法，已知二面角的其中一個面上的點到另一個面的垂線，利用三垂線定理或其逆定理求出二面角的平面角.

2.向量法，通過建立空間坐標系求兩個平面法向量的夾角（可能是所求角的補角）.

3.垂面法，利用二面角的平面角所在的平面與棱垂直，在已知二面角內一點到兩個半平面的垂線時，過兩垂線作平面，該平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角.

4.射影法，不需要畫出平面角，直接利用面積射影公式求解.

一、截距法介紹

如圖1，OA=OB=OC=a，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，A，B，C點的坐標分別為（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0），則（1，1，1）為平面ABC的一個法向量.

圖1

對于想到截距法的過程，此處不再贅述.本文主要通過例題來講解截距法在高中空間幾何問題尤其是二面角問題中的簡便之處.

二、例題解讀

例1如圖2所示的一個幾何體，已知AB=BC=CD=DA=a，SA=SB= SC=SD=a.

（1）求平面SBC與平面SAB所成角的余弦值；

（2）求平面SBC與平面ABCD所成角的余弦值.

方法一（向量法）：連接線段AC，BD，交于點O，因為SB=SD=a，SA=SC=a，所以SO⊥BD，SO⊥AC，所以SO⊥平面ABCD.又SA=SB，所以OA=OB，所以ABCD為正方形.分別以OB，OC，OS為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz.

（1）因為AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a，所以△SBC與△SAB均為等邊三角形.

取SB的中點N，AN垂直于SB，CN垂直于SB，

所以∠ANC即為所求的平面角.

圖2

圖3

同理

下面求二面角的余弦值，如圖3，

利用余弦定理可得

2a2

（2）SO垂直于底面ABCD，垂足為O，取BC的中點M，SM垂直于BC，OM垂直于BC，所以，∠OMS即為所求的平面角.

在Rt△SOM中，如圖4，

圖4

方法二（截距法）：如上所述，建立空間直角坐標系O-xyz，則點的坐標分別為A所以（1，1，1）為平面SBC的一個法向量，（1，-1，1）為平面SAB的一個法向量，平面ABCD法向量為z軸方向，即（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，

所以，由于平面SBC與平面SAB所成角為鈍角，故其余弦值為，平面SBC與平面ABCD所成角的余弦值為

例2已知SABC是邊長為1的正四面體.

（1）求SB與平面SAC所成角的余弦值；

（2）求平面SAB與平面SBC所成角的余弦值.

圖5

解：如圖5所示，過點B作BD垂直于AC，垂足為D；過點S作BD的垂線，垂足為O，點O即為正三角形ABC的重心.以點O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖5所示.

可證明平面SBD與平面SAC垂直，公共棱為SD，過B作BE⊥SD于E，則△BDE≌△SOD，所以，∠BDE為所求夾角，如圖6.

圖6

圖7

所以，∠ANC即為所求角.

在△ANC中，由余弦定理知，

點評：計算的過程中，傳統法需要分析二面角的平面角以及證明該角是平面角的過程；但截距法通過坐標軸上點的坐標計算平面的法向量，很巧妙地避免了找二面角的平面角的過程，使得計算過程更加簡單，有效地節省了計算的時間，提高了解題速度.

當然，例題只是本文為了使用截距法而引入的，在更多地求所成角的問題或其他法向量方面，截距法的計算優勢會更為突出.

求解空間幾何的二面角的方法很多，向量法是求解空間幾何的簡便又很傳統的方法，對于很多幾何問題都能使用.本文截距法的引入，簡便了很多繁雜的計算，避免了可能的計算錯誤，對于提高解題效率有很大的幫助.