一類實(shí)際問題的解題策略的探討

☉湖北省華中師大一附中 劉子靈 周龍虎

一類實(shí)際問題的解題策略的探討

☉湖北省華中師大一附中 劉子靈 周龍虎

新課標(biāo)的基本理念要求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，并提出數(shù)學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識的能力，并逐步形成學(xué)生的創(chuàng)新意識．全國高考堅(jiān)定不移地踐行這一基本理念，堅(jiān)持“貼近課本、貼近生活、貼近實(shí)際”的原則，要求考生一方面要牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法；另一方面要善于把文字語言轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)語言，實(shí)現(xiàn)由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化．因而也加大了對數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的考查，如2016年全國卷I中的資源配置利潤最大化問題（重點(diǎn)考查線性規(guī)劃等知識）、公司購置設(shè)備與配套零件最優(yōu)化問題（重點(diǎn)考查概率統(tǒng)計(jì)知識）等，這要求我們積極主動(dòng)地探索應(yīng)用題的解題策略．筆者在第一輪復(fù)習(xí)中對一類實(shí)際問題加以歸納，整理出來，以期對我們同學(xué)的學(xué)習(xí)有一定的幫助．

例1如圖1，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米．現(xiàn)要在AB上某一點(diǎn)D處向C修一條公路，已知鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)與公路每千米的運(yùn)費(fèi)之比為3∶5．為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最少，D點(diǎn)應(yīng)選在何處？（選自普通高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版《必修1》教師用書）

對于經(jīng)過整個(gè)高中學(xué)段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的高三學(xué)生來說，此題還是具有很大的難度．我們給出三種解題思路：

圖1

解法一：設(shè)|DA|=x（千米），鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)為3a，公路每千米的運(yùn)費(fèi)為5a，從B到C的總費(fèi)用為y，令，則f′（x）=．令f（′x）=0，得x=15．當(dāng)0＜x＜15時(shí)，f（′x）＜0；當(dāng)15＜x＜100時(shí)，f′（x）＞0．故f（x）在x=15處取得極小值，也是最小值，即當(dāng)D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米處時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省．

平方、整理，得16x2-6tx+10 000-t2=0．①

由①有解知，Δ=36t2-64（10 000-t2）≥0，即|t|≥80．

其中t＞0，故t≥80．此時(shí)x=15，代回①中，求得方程的解在x∈（0，100）的范圍之內(nèi)，即當(dāng)D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米處時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省．

解法三：設(shè)∠ADC=α，鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)為3a，公路每千米的運(yùn)費(fèi)為5a，從B到C的總費(fèi)用為y，由依題意知，的幾何意義為第一象限內(nèi)單位圓上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)）連線的斜率的相反數(shù)，由圖像觀察知該式最小值時(shí)，即當(dāng)D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米處時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省．

學(xué)生得到（*）式后，要么直接研究函數(shù)的最值，如解法一，直接研究要受函數(shù)解析式的繁難程度的影響，且對運(yùn)算熟練程度有較高的要求（還有文科生沒有學(xué)習(xí)過對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法）；要么無可奈何，沒有轉(zhuǎn)化的意識，轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程有解問題．對于解法二，值得一提的是，一個(gè)成功的換元能使問題再次優(yōu)化不少，引入的新參量a不影響總費(fèi)用y的求值，因而令“是一個(gè)不錯(cuò)的選擇．其次，還很容易犯“對而不全”的錯(cuò)誤．就是方程①有解是在x∈（0，100）范圍內(nèi)，Δ≥0只是它成立的必要條件，因而得到t≥80時(shí)還需檢驗(yàn)解是否在x∈（0，100）范圍內(nèi)．

解法三在數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化上做足了文章，選擇不同的變量自然會(huì)得到不同的數(shù)學(xué)模型，雖然直接求函數(shù)最值時(shí)，解法三要比解法二簡便，但是解法三對三角的要求較高．權(quán)衡來說，解法二將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為含參一元二次方程有解問題，不失為一種更好的解決辦法．

例2某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼．設(shè)淡水魚的市場價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克．根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚的市場日供應(yīng)量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足關(guān)系：

P=1000（x+t-8）（x≥8，t≥0），

當(dāng)P=Q時(shí)，市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格．

（1）將市場平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；

（2）為使市場平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？

當(dāng)判別式Δ=800-16t2≥0時(shí)，可得

（2）政府補(bǔ)貼至少為每千克1元，過程略．

這是一道經(jīng)濟(jì)改革與百姓生活緊密相連的應(yīng)用題，有鮮明的時(shí)代感．正因?yàn)橛辛说冢?）問的鋪墊（用x表示成t的函數(shù)），第（2）問才好研究，否則討論“關(guān)于x的方程5x2+（8t-80）x+（4t2-64t+280）=0（t≥0）在x∈［8，10］上有解，求滿足題意的t的最小值”就只能利用二次方程根的分布進(jìn)行討論了！因而，直接求根，更替主元和參量，也是一種解決思路．

例3如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

圖2

（1）求炮的最大射程；

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3．2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請說明理由．

解：（1）炮彈的最大射程為10千米，過程略．

（2）因?yàn)閍＞0，所以炮彈可擊中目標(biāo)

?關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．

由方程有根得Δ=（-20a）2-4a2（a2+64）≥0?a≤6．

故當(dāng)a不超過6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)．

筆者給出一個(gè)變式題，感興趣的讀者不妨一試，以體會(huì)解決這類實(shí)際問題中兩種策略所帶來的便利．

變式如圖3，小明同學(xué)制作了一個(gè)簡易的球發(fā)射器，可用于幫忙練習(xí)定點(diǎn)接發(fā)球，球場前半?yún)^(qū)、后半?yún)^(qū)總長為23．77米，球的中間部分高度為0．914米，發(fā)射器固定安裝在后半?yún)^(qū)離球底部8米處中軸線上，發(fā)射方向與球底部所在直線垂直．

圖3

圖4

為計(jì)算方便，球場長度和球中間高度分別按24米和1米計(jì)算，發(fā)射器和球大小均忽略不計(jì)．如圖4所示，以發(fā)射器所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上的球場中軸線上，y軸垂直于地平面，單位長度為1米，已知若不考慮球的影響，球發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．發(fā)射器的射程是指球落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

（1）求發(fā)射器的最大射程；

（2）請計(jì)算k在什么范圍內(nèi)，發(fā)射器能將球發(fā)過（即球飛行到球正上空時(shí)，球離地距離大于1米）？若發(fā)射器將球發(fā)過球后，在球著地前，小明要想在前半?yún)^(qū)中軸線的正上空選擇一個(gè)離地面2．55米處的擊球點(diǎn)正好擊中球，試問擊球點(diǎn)的橫坐標(biāo)a最大為多少？并請說明理由．