正交變換的性質及其應用

☉河北省衡水一中 莊釗棟 陳鐵亂

正交變換的性質及其應用

☉河北省衡水一中 莊釗棟 陳鐵亂

解析幾何與高等代數是數學專業的兩門基礎課，它們分屬幾何與代數兩大學科，各有獨立的教學體系，彼此之間又有著密切的聯系，而變換又是幾何學與代數學中的分支，在經過多年的發展之后，變換已經積累了大量的理論和結果，其應用領域也在不斷擴大.最初，變換主要用來討論圖形之間轉變的問題，后來由于變換的應用越來越多，又將變換具體化，由此產生了線性變換，而正交變換是其中的一種變換.當時正交變換已經用來研究代數和幾何中的很多問題，又由于應用的不同，將正交變換又具體分為平移變換、旋轉變換、反射變換、滑移反射變換等.如今，正交變換本身及其在數學、物理學、計算機科學系、光學等領域中的應用越來越受到人們的重視.本文在前人研究的基礎之上，試圖研究正交變換的一些性質及其應用，使正交變換的一些性質能夠反映到幾何與代數上，通過代數與幾何中共同的知識解決數學中的一些其他問題.

一、預備知識

定義1.1正交變換在代數中的定義：歐氏空間V的一個線性變換σ稱為正交變換，如果它保持向量的內積不變，即對任意的α，β∈V，都有（σ（α），σ（β））=（α，β）.

設η1，η2，…，ηn是歐氏空間V的一組標準正交基，在正交變換σ下，σ（η1），σ（η2），…，σ（ηn）也是V的一組標準正交基，設

A=（aij）為正交矩陣，則有限維向量空間V的正交變換σ可表示為σ：α→Aα，即σ（α）=Aα，其中A為正交矩陣.

定義1.2正交變換在幾何中的定義：如果歐氏空間的點變換，把任意線段的兩個端點變成等長線段的兩個端點，則稱其為正交變換（亦稱全等變換，又稱等距變換），平移、旋轉、反射、滑移反射等是正交變換的幾種特殊形式.

在標準正交基下，把點P（x1，x2，…，xn）變成點P′（x1′，x2′，…，xn′）的正交變換τ的公式表示是

其中A=（aij）為正交矩陣.

定義1.3取定平面π上向量υ.把平面π上的每一點P沿向量υ的方向平移到P′，使，這樣得到的變換叫做平面π的一個平移變換，簡稱平移，記為tυ.

定義1.4把平面π上的每一點P繞一定點O旋轉一定角θ變到另一點P′，這樣得到的變換叫做π的旋轉變換，簡稱旋轉記為r（O，θ）.定點O叫做旋轉心，定角θ叫做旋轉角.

定義1.5取定平面π上的一條直線l.把任意一點P映到它關于直線l的對稱點P′，這樣得到的π的變換稱為平面π對于直線l的軸反射變換，簡稱反射，記為sl，稱l為反射軸.

定義1.6設υ是一個平行于直線l的向量，把每個點P變到它關于l的對稱點Q以后再沿向量υ平移到P′，使，這樣將P映到P′的變換稱為沿直線l的滑移反射，滑移向量為υ.這也就是一個平行直線l的向量υ確定的平移tυ和對于直線l的反射sl的乘積tυsl.

二、正交變換在代數中的性質及其證明

性質2.1設σ是n維歐氏空間V的一個線性變換，于是下面四個命題是等價的：

（1）σ是正交變換；

（2）σ保持向量的長度不變，即對于α∈V，|σ（α）|=|α|；

（3）如果ε1，ε2，…，εn是標準正交基，那么σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）也是標準正交基；

（4）σ在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.

證明：首先證明（1）與（2）等價.如果σ是正交變換，那么（σ（α），σ（α））=（α，α），兩邊開方即得|σ（α）|=|α|.

反過來，如果σ保持向量的長度不變，那么（σ（α），σ（α））=（α，α），（σ（β），σ（β））=（β，β），（σ（α+β），σ（α+β））=（α+β，α+β），

把最后的等式展開即得（σ（α），σ（α））+2（σ（α），σ（β））+（σ（β），σ（β））=（α，α）+2（α，β）+（β，β），

再利用前面的兩個等式，就有（σ（α），σ（β））=（α，β），也就是說σ是正交變換.

再來證（1）與（3）等價.

設ε1，ε2，…，εn是一組標準正交基，即（εi，εj）=（i，j=1，2，…，n）.如果σ是正交變換，那么（σ（εi），σ（εj））= .這就是說σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是標準正交基.

反過來，如果σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是標準正交基，那么由α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn，β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn，

與σ（α）=x1σ（ε1）+x2σ（ε2）+…+xnσ（εn），

σ（β）=y1σ（ε1）+y2σ（ε2）+…+ynσ（εn），

即得（α，β）=x1y1+x2y2+…+xnyn=（σ（α），σ（β）），

因此σ是正交變換.

最后來證（3）與（4）等價.

設σ在標準正交基ε1，ε2，…，εn下的矩陣為A，即（σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn））=（ε1，ε2，…，εn）A，如果σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是標準正交基，那么A可以看做由標準正交基ε1，ε2，…，εn到σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）的過渡矩陣，因而是正交矩陣.

反過來，如果A是正交矩陣，那么σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）就是標準正交基.

這樣，我們就證明了（1）（2），（3），（4）的等價性.

性質2.2設σ為歐氏空間V的可逆變換，則σ為V的正交變換的充要條件是：對任意的ξ，η∈V，有（σ（ξ），η）=（ξ，σ-1（η））.

證明：必要性：因為可逆變換σ為V的正交變換，所以對任意的ξ，η∈V，有（σ（ξ），η）=（σ（ξ），Eη）=（σ（ξ），σ（σ-1（η）））=（ξ，σ-1（η））.

充分性：由條件知，對任意的ξ，η∈V，

有（σ（ξ），σ（η））=（ξ，σ-1（σ（η）））=（ξ，Eη）=（ξ，η）.

所以由性質2.1可知，σ為V的正交變換.

對任意的ξ，η∈V，a∈R，

所以σ是V到V的線性變換.

對任意的ξ∈V，

這說明|σ（ξ）|=|ξ|，根據性質2.1可知，σ是V的正交變換.

性質2.4設α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm是n維歐幾里得空間的兩個向量組，試證明存在一個正交變換σ，使得σ（αi）=βi，i=1，2，…，m的充要條件是（αi，αj）=（βi，βj），i，j= 1，2，…，m.

證明：必要性：設σ是正交變換，滿足σ（αi）=βi，i= 1，2，…，m，由正交變換的定義，有（βi，βj）=（σ（αi），σ（αj））=（αi，αj），i，j=1，2，…，m.

充分性：已知（αi，αj）=（βi，βj），i，j=1，2，…，m.

若α1，α2，…，αm線性無關，將其單位正交化，得到ε1，ε2，…，εm，它們兩兩正交，且都是單位向量.

設ε1=a11α1，

ε2=a12α1+a22α2，

…

εm=a1mα1+a2mα2+…+ammαm，

寫成矩陣形式（ε1，ε2，…，εm）=（α1，α2，…，αm）A，

構造向量組η1=a11β1，

η2=a12β1+a22β2，

…

ηm=a1mβ1+a2mβ2+…+ammβm，

其矩陣形式為（η1，η2，…，ηm）=（β1，β2，…，βm）A，

下面證明η1，η2，…，ηm線性無關.

對k1η1+k2η2+…+kmηm=0，兩邊用ηi（i=1，2，…，m）作內積，得齊次線性方程組

k1（η1，ηi）+k2（η2，ηi）+…+km（ηm，ηi）=0，i=1，2，…，m.

方程組的系數矩陣的行列式

由于ε1，ε2，…，εm線性無關，所以ε1，ε2，…，εm的格拉姆行列式不等于0，所以η1，η2，…，ηm線性無關.

分別將ε1，ε2，…，εm與η1，η2，…，ηm擴充成標準正交基：ε1，ε2，…，εn和η1，η2，…，ηn，則存在線性變換σ，使σ（εi）=ηi，i=1，2，…，n.

由于ε1，ε2，…，εn與η1，η2，…，ηn都是標準正交基，所以σ是正交變換.

又（β1，β2，…，βm）A=（η1，η2，…，ηm）

=（σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εm））

=σ（ε1，ε2，…，εm）

=σ（α1，α2，…，αm）A.

由于A是可逆矩陣，于是有σ（αi）=βi，i=1，2，…，m.

當α1，α2，…，αm線性無關時，不妨設α1，α2，…，αr是一個極大線性無關組.由上面證明知道，β1，β2，…，βr線性無關，對于?j，

所以β1，β2，…，βr是β1，β2，…，βm的一個極大線性無關組.

對α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr用前述方法可得到正交變換σ，使得σ（αi）=βi，i=1，2，…，r.而r+1≤s≤m，

三、正交變換在幾何中的性質及其證明

性質3.1設σ為歐氏空間V中的等距變換，x，y為V中的任意兩點，則有

（1）x·y=［σx）-σ（0）］·［σ（y）-σ（0）］，

（2）σ（x+y）=σ（x）+σ（y）-σ（0），

（3）σ（kx）-σ（0）=k［σ（x）-σ（0）］（k∈R）.

證明：（1）因為σ為等距變換，所以d（0，x）=d（σ（0），σ（x）），d（0，y）=d（σ（0），σ（y）），d（x，y）=d（σ（x），σ（y））.

又因為d2（x，y）=|y-x|2=d2（0，x）+d2（0，y）-2x·y，

d2（σ（x），σ（y））=|σ（y）-σ（x）|2

=d2（σ（0），σ（x））+d2（σ（0），σ（y））-2［σ（x）-σ（0）］·［σ（y）-σ（0）］.

比較以上兩式，立即得出（1）的結論是成立的.

展開后利用（1）的結論得

=（x+y）2+x2+y2-2（x+y）·x-2（x+y）·y+2x·y=0.

所以，σ（x+y）-σ（x）-σ（y）+σ（0）=0，因此（2）的結論是正確的.

（3）的證明與（2）的證明類似，在此省略.

性質3.2n維歐氏空間V中一個變換σ為等距變換的充分必要條件是σ（x）=xA+x0，（1）其中x為V中任意一點，x0為V中一定點，A為正交矩陣.

證明：必要性：取V中n+1個點，原點O，V1（1，0，0，…，0），V2（0，1，0，…，0），…，Vn（0，0，…，0，1），Vi的向徑記為ei.設x=（x1，…，xn）為V中任意一點，那么

應用性質3.1得

充分性：將（1）改寫成σ（x）=xA+x0，顯然x0=σ（0），設x，y為V中任意兩點，有

d2（σ（x），σ（y））=|σ（y）-σ（x）|2=|（y-x）A|2

=（y-x）AA′（y-x）′|y-x|2=d2（x，y），

即d（x，y）=d（σ（x），σ（y））.充分性得證.

性質3.3一個平移和一個反射的乘積是一個滑行反射.

證明：設l是π上一條直線，υ是π上一個向量.考慮對于l的反射sl和υ確定的平移tυ.取l為x軸建立直角坐標系，設υ（x0，y0）.令u（x0，0），方程為的直線記為l′.考慮沿直線l′且滑移向量為u的滑移反射f=tusl′.設f將點P（x，y）映到點P′（x′，y′），則但sl將P（x，y）映到Q（x，-y），tυ將Q（x，-y）映到P′（x+x0，-y+y0）.于是tυsl也是將P映到P′.因此，tυsl=tusl′，即證明了一個平移和一個反射的乘積是一個滑移反射.

四、代數中的正交變換與幾何中的正交變換的區別與聯系

定義1.1和定義1.2雖則都稱為正交變換，但是僅僅從定義上看，它們是有明顯區別的：

定義1.1中的σ是歐氏空間V的線性變換，而定義1.2中的τ是歐氏空間中的一個變換，但并沒有強調它必須是線性變換.

事實上，從變換公式中我們可以很容易地看到，對于σ有，對?α，β∈V，k，m∈F（F是數域）有σ（kα+mβ）= A（kα+mβ）=k（Aα）+m（Aβ）=kσ（α）+mσ（β）.

另一方面，只有當（a1，…，an）T=0時，τ才是線性變換，一般情況下τ不是線性變換.因此，一般而言，這兩個概念是有差異的.

除上述差異外，這兩個概念之間其實還存在許多相同之處：

（1）變換σ，τ的公式表示中，矩陣都是正交矩陣；

（2）σ保持向量的長度不變，τ保持兩點間線段的長度不變，二者都具有保距性；

（3）σ把V中的標準正交基變成標準正交基（這也是之所以稱其為正交變換的原因），而易于證明，τ也是把歐氏空間的標準正交基變成標準正交基.

由此看來，定義1.1和定義1.2在本質上又是一樣的.

平面上的平移變換（又稱點變換）是一個等距變換，而在此變換下，標準正交基仍變成標準正交基.同時，該平移誘導了一個正交向量變換，其表達形式為τ（α）=Aα，這和定義1．1中的表達形式是一致的，即平移變換是等距變換，本質上也是正交變換．因此，我們可以說正交變換、等距變換是一個概念，這也是將正交變換又稱為等距變換的原因．

但一般而言，平面的正交變換和仿射變換不是線性變換．

因此，既充分考慮到代數中和幾何中正交變換兩個概念在本質上的一致（保距，保正交，都可以寫成正交向量變換的形式），又考慮到兩個概念在形式上的區別，可將代數中的正交變換稱為正交向量變換，將幾何中的正交變換稱為正交點變換，二者都是等距變換．

五、正交變換的應用

1．正交變換在重積分中的應用

證明：設（a，b，c）為三維空間的一個向量，單位向量化得

再將其擴充為三維空間的一個標準正交基，設為（a1，

作正交變換

則A為正交矩陣，即AAT=E，所以

兩邊轉置得（x，y，z）=（u，v，w）A．于是

又因為AAT=E，而，由（1）式知，ax+by+cz=ku．

解：令f（x，y，z）=5x2+6y2+4z2-4xy-4xz，

容易判斷它是一個正定矩陣，設其特征值為λ1，λ2，λ3，則λ1＞0，λ2＞0，λ3＞0，|λ1λ2λ3|=|A|=80＞0，

使f（x，y，z）=λ1u2+λ2v2+λ3w2．

由正交變換的性質可得

2．正交變換在曲面方程中的應用

二次曲面的方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+ 2a34z+a44=0，（4）

X=（xyz1）T，A=（aij）3×3，（4）式可寫成XTA~X=0，A~和A都是實對稱矩陣.設T=（tij）3×3為三維空間正交變換的矩陣，將x，y，z的二次式（4）化成x′，y′，z′的二次式，但x′，y′，z′的二次式所對應的對稱矩陣為B~和B，有|A~|=|B~|，| A|=|B|，秩（A~）=秩（B~），秩（A）=秩（B）.

適當地選取正交矩陣T=（tij）（i，j=1，2，3），|T|=1，可有

T′AT=diag（λ1，λ2，λ3），（xyz）T=T（x′y′z′）T，

則方程（4）可化成

λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+2b14x′+2b24y′+2b34z′+b44=0，

對此再進行坐標系的平移與旋轉可得其標準型.

例3用正交變換法化二次型f=2x1x2-2x3x4為標準型.

λ3=λ4=1，解特征方程得到ξ3=

則P是正交矩陣，且有PTAP=

例4求證曲面∑1：x3-y+z-1=0和∑2：x3-6x2+12x-y+ z-5=0關于點M（1，1，0）對稱.

證明：設點P（x1，y1，z1）是∑1上任意一點，則z1-1=0.

若σ（P）=P′（x1′，y1′，z1′），則可以得知

代入得（2-x1′）3-（2-y1′）+（-z1′）-1=0，

整理得x1′3-6x1′2+12x1′-y1′+z1′-5=0，

即（x1′，y1′，z1′）在∑2上.

反之，可以證明對∑2上任意一點Q（x1，y1，z1），σ（Q）=Q′也都在∑1上，即∑1，∑2關于點M（1，1，0）對稱.

例5求與橢球面∑10，1）對稱的橢球面∑2的方程.

解：將∑1的方程中的下x，y，z分別用-2-x，-y，2-z代替，得即∑2的方程為

3.正交變換在條件極值中的應用

例6求F（x，y）=x2+y2在條件3x2+4xy+3y2=1下F的最大值和最小值.

解：3x2+4xy+3y2=1和F（x，y）=x2+y2表示為的特征根為1和5，取T=

因此求在條件X2+5Y2=1下，F=X2+Y2的最大值和最小值就可以了.

4.旋轉變換在多元函數積分中的應用

例7設曲面∑為球面：x2+y2+z2=a2.試計算第一型曲面積分

解：直接計算將非常困難，但如果將被積函數化為一元函數，則有可能積出，加之被積函數中的x-2y-2z是x，y，z的線性函數，因此可考慮坐標系的旋轉，例如，作旋轉變換

注意（5）式中的變換矩陣是一個行列式為1的正交矩陣，因此它可以表示一個將空間右手直角坐標系Oxyz變成右手直角坐標系Ox′y′z′的旋轉變換，在此變換下（空間的點未動，只是點的坐標變了），∑的方程變為∑′：x′2+y′2+z′2=a2，所求積分化成為

利用球面的參數方程

r=（x′，y′，z′）=（asinφcosθ，asinφsinθ，acosφ），0≤φ≤π，0≤θ≤2π，

六、結束語

本文重點討論了正交變換在重積分中的應用，化二次型為標準型中正交變換的應用，正交變換在曲面方程中的應用，正交變換在條件極值中的應用以及正交變換的一些性質及其證明.當然，本文僅討論了正交變換在有限的數學范圍內的應用，還有許多正交變換在其他數學領域內的應用并未討論.

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