基于經(jīng)驗，拓展經(jīng)驗

錢建兵

【教學(xué)片段1】

出示題目：每次只能烙兩張餅，每面都要烙，每面3分鐘。

師：每次只能烙兩張餅是什么意思？你覺得放兩張合適，還是一張合適？為什么？照這樣的方法，兩張餅可能需要多長時間？（6分鐘，12分鐘）

師：6分鐘真能烙熟？

師：那我們用手代表餅，你能試一試嗎？

學(xué)生以手代餅，每烙一次，配合有“嗞啦”聲，代表“3分鐘”。

師：兩張同時烙，用的時間最短。他給我們帶來了最重要的東西——經(jīng)驗，在經(jīng)歷和活動中產(chǎn)生的體驗。掌聲送給帶給我們經(jīng)驗的人。

師：你們知道有了經(jīng)驗下次碰到問題該怎么辦？敢挑戰(zhàn)嗎？挑戰(zhàn)來了。照這樣，烙4張餅，最少需要多少時間？（12分鐘）

師：耳聽為虛，眼見為實。

學(xué)生演示。

師：你從哪兒想到是12分鐘的？怎么這么快？

生：因為2張餅是6分鐘，4張餅就是12分鐘。

生：4是兩個2。

師：我聽出來了，你們是根據(jù)上面的經(jīng)驗，4里有兩個2，當(dāng)然時間就是兩個6分鐘。

師：比較，你們發(fā)現(xiàn)這個經(jīng)驗跟上面的經(jīng)驗有關(guān)，又產(chǎn)生了一個經(jīng)驗。告訴你們一個小秘密，經(jīng)驗加經(jīng)驗，會產(chǎn)生新經(jīng)驗。

師：你敢做加法嗎？試一試！烙6張餅至少要多少分鐘？是怎么烙的？

【賞析】積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，要通過必要的引導(dǎo)、反思，從而獲得對原有經(jīng)驗的超越與提升。在學(xué)生經(jīng)歷了探索烙2張餅的活動后，徐老師沒有讓學(xué)生按順序烙3張餅，而是讓學(xué)生烙4張、6張餅，烙2張餅的經(jīng)驗立即得以運(yùn)用、驗證，進(jìn)一步強(qiáng)化了2張同時烙的經(jīng)驗，使學(xué)生對經(jīng)驗的作用有了較深刻的體驗，促使學(xué)生積極主動地調(diào)用經(jīng)驗。同時，“經(jīng)驗加經(jīng)驗”的模式得以納入原來的經(jīng)驗框架里。

【教學(xué)片段2】

師：照這樣下去，你能說出烙更多張餅最少需要的時間了嗎？經(jīng)驗豐富嗎？雖然你們經(jīng)驗豐富，我覺得還不夠，因為你們的經(jīng)驗還不全面。說一說，你們的經(jīng)驗都是關(guān)于怎樣的經(jīng)驗？（餅數(shù)是雙數(shù)的）

師：根據(jù)前后的經(jīng)驗，告訴我3張餅至少需要多少時間？（9分鐘或12分鐘）

師：烙3張餅比2張的時間多，比4張少，怎么不對？（12分鐘）

教師請認(rèn)為是12分鐘的學(xué)生演示，先同時烙2張，再烙1張，一共用了12分鐘。

此時，有一位學(xué)生表示用6分鐘。

學(xué)生演示正確的方法，并在此過程中，發(fā)現(xiàn)是9分鐘。

師：雖然不是6分鐘，但是我們通過實踐，發(fā)現(xiàn)真是9分鐘。

師：他的實踐，使我們懂得了一種方法，這樣輪流著烙，交替烙，每次鍋里都放幾張？（2張）

師：原來我們以為要12分鐘，現(xiàn)在只要9分鐘，還有3分鐘去哪兒了？我們來看看，第一次烙時有沒有充分利用資源。

教師分別演示用時12分鐘和9分鐘的方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用時12分鐘的方法烙第3張時鍋里只放了一張，而用時9分鐘的方法每次鍋里都放2張。

師：恰恰因為充分利用了資源。這3張餅?zāi)懿荒芊殖?張和1張？

師：是的，應(yīng)該看成一個整體。整體考慮，就不叫同時烙，叫？（交替烙）

師：換一個角度，是不是把經(jīng)驗豐富了？還能加嗎？把哪兩個相加，就能得出烙5張餅至少需要多少時間呢？怎么烙呢？

師：6張餅除了同時的方法，還可以用什么方法？

師：孩子們，發(fā)現(xiàn)了嗎？在數(shù)學(xué)中，當(dāng)你的方法多了以后，你就可以用方法彼此驗證自己的結(jié)論。

師：老師發(fā)現(xiàn)一個問題，5張餅是同時加交替，6張餅也是同時和交替，這中間應(yīng)該用哪個字？（或）

師：是什么意思？

生：可以選擇其中一種方法。

【賞析】通過引導(dǎo)觀察，學(xué)生意識到新的問題用“經(jīng)驗加經(jīng)驗”的模式無法解決。學(xué)生認(rèn)識到已有經(jīng)驗的局限性，打破了暫時的平衡，產(chǎn)生了解決烙奇數(shù)張餅的需求。學(xué)生進(jìn)入“失穩(wěn)階段”。

顯然，“交替烙”這種方法，是對學(xué)生原有經(jīng)驗觀念的更新。要重組這一新經(jīng)驗，需要學(xué)生親身經(jīng)歷，在此基礎(chǔ)上形成一種新的認(rèn)識與體悟，才能形成新的經(jīng)驗。“交替烙”與“同時烙”的對比是新經(jīng)驗的建立所必需的，這是因為和先有的經(jīng)驗產(chǎn)生沖突對于超越、拓展這些經(jīng)驗所帶來的局限是必需的。學(xué)生在活動反思中進(jìn)一步優(yōu)化自己的經(jīng)驗框架，從而使新經(jīng)驗納入自己的經(jīng)驗框架，實現(xiàn)經(jīng)驗的豐富。這里的“交替烙”經(jīng)驗的建立不一定要通過摧毀先有概念“同時烙”，徐老師將不同的經(jīng)驗方法并存、互補(bǔ)，從而實現(xiàn)了新的平衡。從不平衡過渡到另一種平衡，整個經(jīng)驗系統(tǒng)都在發(fā)生變化。

理解“交替烙”后面所隱藏的統(tǒng)籌方法是本課重點。積累經(jīng)驗的目的是在活動過程中體會統(tǒng)籌優(yōu)化思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。對兩種方法的剖析，使學(xué)生對統(tǒng)籌優(yōu)化方法中的充分利用資源有了體驗與感悟。

【教學(xué)片段3】

師：7張要多少分鐘？8張呢？怎么這么快就說出答案了？

生：找到規(guī)律了！

師：當(dāng)經(jīng)驗足夠豐富了以后，就可以歸類，找出規(guī)律。有了規(guī)律，離答案還遙遠(yuǎn)嗎？

教師在板書下面補(bǔ)上省略號。

師：誰知道表示什么意思？

生：知道就不用寫了。

師：隱藏的規(guī)律與前面是一樣的。以此類推，就是以此歸類，再推出規(guī)律。

師：那你推的規(guī)律是什么？

生：每增加一張餅，時間就加3分鐘。

師：倒過來說呢？

師：規(guī)律難嗎？考考你們！4張？3張？2張？1張呢？

生1：3分鐘。

生2：不對，6分鐘！

師：為什么1張餅不符合我們今天找到的規(guī)律？

生3：因為1張餅兩個面，每面都要3分鐘。

生4：因為1張餅每次只烙1張，其他的每次都烙兩張。

師：暴風(fēng)驟雨般的掌聲送給他！

師：是啊，因為這里有個信息——2（將表示鍋的長方形平均分成兩份），它是我們這口鍋的資源數(shù)。我們剛才研究規(guī)律時，都是在充分使用資源的條件下尋找的規(guī)律，所以它適用于充分使用資源的餅數(shù)，即大于等于2的情況下。而1小于資源數(shù)，能這樣算嗎？說明一切規(guī)律都是有條件的規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解決問題要關(guān)注規(guī)律適用的條件。

師：回頭看，你覺得這些經(jīng)驗中哪些經(jīng)驗最重要？

生：烙的方法，同時烙和交替烙。

師：你們找得很對。這兩個經(jīng)驗與其他的經(jīng)驗不同，這叫基本經(jīng)驗，有了他們，其他的都可以拋掉。

師：一張餅真的不能用3分鐘嗎？

教師出示電餅鐺圖片。

師：改變環(huán)境條件，同樣是一種優(yōu)化。

師：我們今天研究的是方法上的優(yōu)化，而它改變了環(huán)境與條件，是本質(zhì)的優(yōu)化，創(chuàng)造性的優(yōu)化。把不可能變?yōu)榭赡埽侨祟愑肋h(yuǎn)追求的創(chuàng)造。

【賞析】經(jīng)驗形成后，并不是被簡單地儲存起來，它必須隨時可以被調(diào)用，并經(jīng)常處于調(diào)用狀態(tài)。對省略號意義的反思，一是引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用經(jīng)驗，思考經(jīng)驗背后的規(guī)律，也是將學(xué)生的注意力引導(dǎo)至基本經(jīng)驗中來。以“此”類推，“此”即是基本經(jīng)驗，這也是數(shù)學(xué)方法的滲透。復(fù)雜的問題可以轉(zhuǎn)化為簡單的問題。經(jīng)驗的積累起源于解決簡單的問題。隨著經(jīng)驗的豐富，學(xué)生對烙餅活動后面所隱藏的規(guī)律也水落石出，對背后的統(tǒng)籌方法也有所悟。

徐老師利用學(xué)生經(jīng)驗的豐富與熟練應(yīng)用而導(dǎo)致的思維自動化，讓他們不假思索說出了“烙1張餅要花3分鐘”。學(xué)生頓悟后的理性思考就更具教育意義，對規(guī)律的適用范圍有了理解。值得一提的是，結(jié)束時提出的“如何3分鐘烙一張餅”的挑戰(zhàn)，是對已建立起的“在一定條件下充分利用資源的經(jīng)驗系統(tǒng)”的挑戰(zhàn)，又一次打破平衡。“改變環(huán)境與條件”這一創(chuàng)造性的優(yōu)化與統(tǒng)籌安排方法優(yōu)化并存，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）