幾何畫板在數學新知拓展環節應用的課例研究

陳明

[摘 要]

本研究以《角平分線》一課為研究載體，探索了幾何畫板在數學教學、特別是新知拓展環節中應用的具體操作性的策略，并揭示了幾何畫板在學生數學思維的培養、數學的嚴謹性、以及教學效率等方面的重要的作用。

[關鍵詞]

幾何畫板；新知拓展；課例研究

一、問題的提出

2011版義務教育數學課程標準指出：“數學課程的設計與實施要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，開發并向學生提供豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去。”[1]幾何畫板以它的功能強大，動態表現對象之間的關系等優點，已經廣泛地應用在數學教學中。從數學知識呈現的角度來看，幾何畫板可使抽象的概念具體化、形象化，充分揭示數學概念的形成與發展，數學思維的發展過程和數學實質，展示數學思維的形成過程，使數學教學收到事半功倍的效果。從學生的能力培養來看，幾何畫板的使用能夠開闊解決數學問題的思路，培養思維能力改善課堂教學方式、學生參與和認知方式等。

數學課堂教學通常由情境導入環節、新知講授環節、新知拓展環節、小結環節和布置作業構成。新知拓展環節是課堂教學效果的升華部分，在本環節中教師對本節知識進行變式訓練，意在促進學生對知識更加全面、深入地理解，是學生思維水平和數學能力提升的階段。可見，新知拓展環節在學生能力培養中的重要作用，但是，對于幾何畫板在數學教學中的應用，大多數的教師更愿意關注情境導入和新知講授環節中幾何畫板的應用，而對于新知拓展環節通常是做點練習練練就結束了。這種做法對于幾何畫板與數學教學的深度融合是不利的，對于學生的能力培養也是不利的。因此，該研究以“角平分線”為例，通過課例研究的方式，揭示了幾何畫板在新知拓展環節中的具體操作性策略，以及其在學生數學思維的培養、數學的嚴謹性和教學效率等方面的重要的作用。

二、課例的選擇

該研究選擇的是北京師范大學出版義務教育教科書八年級下冊第一章第四節第二課時——角平分線這一課的內容。本課內容是在學習角平分線性質及其逆定理后的第二課時，新知拓展環節所選習題，目的是讓學生明確“到角兩邊距離相等的點”和“到兩條相交直線距離相等的點”的區別，和三角形內角平分線與三角形外角平分線交點問題。授課教師是研究者本人授課。

三、課例研究的過程

（一）第一次教學過程及專家評價

1.常規教學過程描述

教師：請同學們完成如下習題。

習題內容：三條交叉的公路a，b，c。現要建一個加油站P，使點P到直線a，b，c的距離相等，那么，點P有幾個位置可供選擇？你是如何發現的？（圖見5-1）

（學生利用已經學過的知識思考、交流）

學生1：有一處可選，在直線a，b，c圍成的三角形中，做△ABC三條角平分線，交點即為點P所在。根據“三角形三條角平分線交于一點，且這點到三條邊距離相等”可知，點P到直線a，b，c距離相等，剛好符合題目要求。

學生2：有四處可選（同學們都非常吃驚）。除三角形的內角外，我在三角形外部還找到三點，分別是△ABC外角平分線的交點。點P、P1、P2、P3為所求。

教師：哪位同學可以說明到角兩邊距離相等的點集中在哪里？到兩條相交直線距離相等的點集中在哪里？

學生3：到角兩邊距離相等的點集中在這個角的平分線上；到兩條相交直線距離相等的點……

（學生心中認為兩個問題的答案是一樣的，但又感覺不對。）

學生4：兩條相交直線形成四個角，所以到兩條相交直線距離相等的點在四個角的平分線上。

（有些學生恍然大悟，有些學生仍然沒有理解。）

教師：那么如圖所示到三條相交的公路距離相等的點在什么位置呢？

學生5：應該在3個內角，6個外角和3個內角的對頂角的平分線上。

（少數學生經過思考，認同學生5的觀點，其余學生顯然沒有參與題目的思考。）

教師：哪位同學可以幫老師畫出來？

學生6：在黑板上利用尺規作圖，畫出學生5的猜想。

（學生6繪制結果見圖5-2）

（在作角平分線時，無論怎樣準確都或多或少存在誤差。因此總是不能得到學生2的結論，思維就更加混亂。學生開始懷疑自己的猜想，腦中原本形成的大致思路已經被打亂。最后，學生無措地注視著老師。）

教師：在黑板上畫圖

（即使稍有誤差，有教師的權威也可以將問題講述清楚。）

學生：只能就題論題，無法全面準確地認識問題的本質，在圖形都不準確的情況下，更無法自行探究并獨立證明。

（直到題目講解結束，學生沒有完全領會新知拓展環節的目的。）

【設計意圖】在新知拓展環節選擇此題意在將“到角兩邊距離相等的點”這一定理拓展到“到兩條相交直線距離相等的點”的層面上來，同時考察學生對新知講授環節中例題的理解和掌握程度。教師首先引導學生辨析“到角兩邊距離相等的點”這一定理拓展到“到兩條相交直線距離相等的點”的不同，再用習題將知識遷移到到三條相交之間距離相等的點上，要求學生動手繪制圖形，可以增強學生的課堂參與程度加深印象。

2.專家評價

在常規的新知拓展環節中，教師用言語啟發學生的想象能力，可以明確“到角兩邊距離相等的點”與“到兩條相交直線距離相等的點”的區別，但是當涉及到交點數量時，課堂上就會出現許多的質疑，究其原因有以下幾個：

其一，學生思維局限性。八年級的學生所接觸的幾何知識較為簡單具體，面對復雜的、需要在思維層面上高度想象的學習任務，學生的能力就略顯不足。這一點從回答教師提問的學生數學變少可以得到驗證。

其二，誤差問題。通過課堂觀察，可以看到學生要在短時間內完成6條角平分線的繪制，在作圖過程中不可避免地會存在一定的誤差，這樣交點數量就會發生變化。學生的注意力被繪圖吸引，耗時耗力，最后無法或無時間獨立完成對結論的證明。

其三，課堂進度。本環節為新知拓展環節，課堂時間應控制在10～15分鐘。學生在繪圖環節若花費較長時間，那么后續的猜想、證明及驗證過程就無法正常完成，學生對本題的結論存在質疑，本題的條件認識不清，那么新知拓展環節的教學任務就沒有完成。在規定的教學時間內，沒有取得最優的教學效果。

在專家的建議之下，上課教師將幾何畫板應用到新知拓展環節中，并進行了第二次教學。

（二）第二次教學過程及專家評價

在第二次教學中，教師在新知拓展環節利用幾何畫板，與學生一同深化“三角形三個內角的平分線交于一點”這一性質的理解。具體的教學過程如下文所描述。

1.幾何畫板整合的教學過程描述

教師：請同學們完成如下習題。

習題如內容：三條交叉的公路a，b，c。現要建一個加油站P，使點P到直線a，b，c的距離相等，那么，點P有幾個位置可供選擇？你是如何發現的？（見圖5-3）

（學生利用已學過的知識思考、交流。）

學生1：有一處可選，在直線a，b，c圍成的三角形中，做△ABC三條角平分線，交點即為點P所在。根據”三角形三條角平分線交于一點，且這點到三條邊距離相等“可知，點P到直線a，b，c距離相等，剛好符合題目要求。

學生2：有四處可選（同學們都非常吃驚）。除三角形的內角外，我在三角形外部還找到三點，分別是△ABC外角平分線的交點。如圖，點P、P1、P2、P3為所求。

教師：哪位同學可以說明到角兩邊距離相等的點集中在哪里？到兩條相交直線距離相等的點集中在哪里？

學生3：到角兩邊距離相等的點集中在這個角的平分線上；到兩條相交直線距離相等的點……（學生心中認為兩個問題的答案是一樣的，但又感覺不對。）

學生4：兩條相交直線形成四個角，所以到兩條相交直線距離相等的點在四個角的平分線上。

教師：那么如圖所示到三條相交的公路距離相等的點在什么位置呢？

學生5：應該在3個內角，6個外角和3個內角的對頂角的平分線上。

教師：哪位同學可以幫老師畫出來？

學生6：利用幾何畫板在屏幕上完成圖形的繪制（學生6繪制圖形見圖5-4），并明確地發現這些角平分線的交點只有4個。

（沒有機會利用幾何畫板的學生在完成自己的圖形繪制后，觀察屏幕上已有的圖形，可以對自己的圖形進行檢查和修改。）

學生6：老師我覺得屏幕上的圖形繪制是具有特殊性的，如果改變三角形ABC的形狀，那么交點的數量會發生改變的。

教師：利用幾何畫板改變三角形的形狀（變形后三角形見圖5-5），請學生觀察、討論。3個內角，6個外角和3個內角的對頂角的平分線所在的直線共有幾條？這些直線共有幾個交點？哪位同學可以證明你的結論？

學生7：利用平角知識證明三點共線，得出所有角平分線所在的直線共有6條；利用角平分線逆定理證明6條角平分線交點有4個。

【設計意圖】在新知拓展環節選擇此題意在將“到角兩邊距離相等的點”這一定理拓展到“到兩條相交直線距離相等的點”的層面上來，同時考察學生對新知講授環節中例題的理解和掌握程度。教師選擇利用幾何畫板引領學生繪制圖形，其目的在于提高課堂效率，有效降低不必要誤差率，把更多的課堂時間留給學生思考，驗證，證明。而選擇利用幾何畫板引領學生繪制圖形，并不是用幾何畫板替代學生繪制圖形，是由于幾何畫板可以提升學生的思維品質，卻不能也不應該用其來代替學生的思考。

2.專家評價

在幾何畫板優化新知拓展環節中，教師安排一名學生使用幾何畫板完成作圖，其余學生動手繪制。在大屏幕上正確范例的影響下，手繪的同學可以及時發現些問題的關鍵點：角平分線交點的數量。

在正確的圖形影響下，學生們先自己動手作圖驗證，即使所作圖形與大屏幕不同，學生們也不會將精力全部集中在作圖上，有些同學會改變方式，借鑒上例的經驗用幾何推理來證明交點的個數。這樣做即解決了學生思維局限性問題，又解決了誤差問題。還提高了課堂的效率。在課堂時間不變的情況下，留給學生更多的思考時間，也可以改變三條路的相對位置，交點數量是否發生改變，加深學生對知識理解的深度。在科學規定的課堂教學時間內，在學生思維水平不變的情況下，能夠取得最優的教學效果。

在新知拓展環節引入幾何畫板的目的是為了優化幾何課堂教學，而不是為了炫耀幾何畫板的功能。因此，在利用幾何畫板前，應客觀判斷其使用的必要性。針對本節課教師可以利用幾何畫板提高學生作圖效率和準確率，但是不能忽視交點數量的證明過程。

四、結束語

通過幾何畫板在數學新知拓展環節應用的課例研究，研究者探索了幾何畫板在數學教學、特別是新知拓展環節中應用的具體操作性的策略，并揭示了幾何畫板在學生數學思維的培養、數學的嚴謹性、以及教學效率等方面的重要的作用。

[參 考 文 獻]

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.中華人民共和國教育部[S].北京師范大學出版社，2012.

（責任編輯：張華偉）