淺談高中平面幾何中的對稱問題

郁鎧暢

在高考即將來臨之際，作為一名高中學生，對于高中一些知識有許多心得和體會.在高考備考準備階段，本人對平面幾何中的對稱問題進行探討.本文主要就定點對稱問題（中心對稱）、定直線對稱問題（軸對稱問題），通過對例題的分析和總結對相關問題進行說明和介紹.希望大家能夠舉一反三，靈活應用，以期對大家備戰高考有所幫助.

一、定點對稱問題

（一）點關于定點對稱

例1已知點A（5，8），試求所有在點A的右上方且與點A的距離都等于2的點在以點A為對稱點下所圍成的圖形.

解如果按照一般的思路，應進行設點然后建立方程并求解，根據解來分析點滿足的曲線.但是，通過觀察我們發現與點A的距離等于2的右上方的點是一個扇形，所以該圖形實際是四分之一的扇形關于圓心（5，8）的對稱圖形.

例2已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一質點從與AB夾角為θ的方向射到BC的中點P1后，依次反射到CD，DA和AB上的點P2，P3和P4（入射角等于反射角）.若P4的坐標為（x4，0）.若1

A.13，1

B.13，23

C.25，12

D.25，23

解從一點出發的光線被一直線反射，其反射角相當于這點關于這直線對稱的點發出的光線.從P0點發出的光線被BC反射相當于從P0′發出的光線，如圖.

P0′（3，0），點P0′關于直線DC：y=1的對稱點P1′（3，2）.點P1′關于直線AD：x=0對稱的P2′（-3，2），直線P2′P4就是最后一條反射光線所在直線.

∠AP4P2′=∠BP0P1=∠θ.∵P4（x4，0），∴tanθ=2x4-（-3）=2x4+3，而x4∈（1，2），∴2x4+3∈25，24，即tanθ∈25，12.所以答案選C.

點關于點的對稱問題是最基本的對稱問題，是解答其他對稱問題的基礎，其中點M（a，b）關于原點O的對稱點是M′（-a，-b）.

特別提醒：面對該類型的對稱問題時，在解題時首先要分清對稱點和定點的位置，在做題時切不可將二者混淆.

（二）直線關于定點對稱

例3設曲線C的方程為y=x3-x，將C沿x軸、y軸分別平移t，s單位后得到曲線L.

（1）寫出L的方程；

（2）證明C與L關于點A（，）對稱.

解（1）可知L的方程為y=（x-t）3-（x-t）+s.

證明（2）在C上取一點B（a，b），它關于A的對稱點為C（c，d），由a=t-c，b=s-d，代入C可得s-d=（t-c）3-（t-c）.所以C（c，d）滿足L的方程.即C在L上，反之易證L上關于點A的對稱點在C上.

例4直線y=2x-3關于點（1，2）的對稱直線的方程為（）.

A.2x-y+3=0

B.x-2y-3=0

C.3x+y+3=0

D.2x+y+3=0

解設所求直線上任意一點為（x，y），它關于（1，2）的對稱點是（x′，y′），2=x+x′，4=y+y′，x′=2-x，y′=4-y，將（x′、y′）的坐標代入原方程得出所求的方程2x-y+3=0.答案選A.

二、關于定直線對稱問題

（一）點關于定直線對稱

例5已知拋物線y2=4px（p>0），直線l：y=kx+pk（k≠0），求證：無論k取何值該拋物線的焦點以l為對稱軸所對應的點都在該拋物線的準線上.

分析只需證明點F在對稱直線l下的對應點橫坐標為x=-p即可.

解可得焦點F坐標為（p，0），過點F且與直線l垂直的直線方程為y=-1k（x-p），將該方程與方程y=kx+pk（x≠0）.事實上在解題過程中只需要求得交點的橫坐標與縱坐標即可，求得該點坐標為0，pk.設F（p，0）在對稱下的坐標為（x，y），并且有0=p+x，接的x=-p.因此，拋物線的焦點關于直線l對稱點所在的直線為該拋物線的準線.

（二）曲線和直線關于定直線對稱

例6試求直線l：x-y-2=0關于直線：3x-y+3=0所對稱的直線方程.

解一觀察發現直線l與對稱軸直線是不平行的，因此有相交點.聯立兩方程可求得交點坐標為-52，-92，同時該點也位于另一條直線上.假設所求直線的方程為y+92=kx+52，化簡得2kx-2y+5k-9=0.又由對稱直線關于對稱軸所成的角相等這一性質可得3-11+3=k-31+3k，解得k=-7，所以，所求直線的方程為7x+y+22=0.

解二在直線l上任取一點P（x1，y1）并且該點不在對稱直線上.同時設該點關于對稱直線的對稱點為Q（x′，y′）.那么有x1=-4x′+3y′-95，y1=3x′+4y′+35.又已知點P（x1，y1）滿足x1-y1-2=0，將上式帶入可得Q（x′，y′）滿足7x′+y′+22=0.由于Q（x′，y′）具有普遍性因此所求直線的方程為7x+y+22=0.

特別提醒：我們知道每個點可以根據對稱軸找到唯一的對稱點.而一條直線是可以由兩個不重合的點所確定.所以我們可以找l中兩個互異的點關于對稱軸的對稱點，然后求得過該兩點的直線即為所求直線方程；關于直線對稱的兩條直線它們與對稱軸所成的夾角是相等的，這也是在求解對稱直線時的主要思路.

三、綜合運用

例7已知直線l：2x-3y+1=0，點A（-1，-2）.求：

（1）點A關于直線l的對稱點A1的坐標；

（2）直線m：3x-2y-6=0關于直線l的對稱直線m1的方程；

（3）直線l關于點A（-1，-2）對稱的直線l1的方程.

分析（1）設出A1的坐標，由AA1垂直于l和AA1的中點在l上，建立方程求解即可.

（2）在m上任取一點M，求M關于l的對稱點M1，直線l與m的交點為N，由兩點式求得直線m1.

（3）在直線上任取兩點M，N，求關于A的對稱點M1，N1，由兩點式得方程.

解（1）設A（x，y），由已知得y+2x+1×23=-1，2×x-12-3×y-22+1=0，解得x=-3313，y=413，所以所求點A1（x，y）為-3313，413.

（2）在直線m上任取一點，如M（2，0），則M（2，0）關于直線l的對稱點M1必在直線m1上.設對稱點M1（a，b），則2×a+22-3×b+02+1=0，b+0a-2×23=-1.解得：M1613，3013.

設直線l與m的交點為N，則由2x-3y+1=0，3x-2y-6=0，解得N（4，3）.又因為m1經過點N（4，3），所以由兩點式得直線m1的方程為9x-46y+102=0.

（3）在l：2x-3y+1=0上任取兩點，如M（1，1），N（4，3），則M，N關于點A（-1，-2）的對稱點M1，N1均在l1上.可得M1（-3，-5），N（-6，-7）.在由兩點式可得l1的方程為2x-3y-9=0.

四、心得體會

1.在解對稱性的數學題目時，我們首先要判斷該題目是關于線對稱還是點對稱的問題.然后根據所學的相關對稱知識和性質進行計算.并且在計算坐標過程中需特別注意不能將定點坐標和固定點坐標弄混.

2.點關于某一點對稱的對稱中心就是已知點與對稱點所連接的線段的中點；同時在做題時面對點關于直線對稱的情況時要注意以下兩點：（1）與對稱軸垂直的是已知點和它所對稱點的連線；（2）對稱軸不僅在兩對應點連線的中點上，而且還是該線段的垂直平分線.