高等數學不等式證明教學體會

文/劉啟才，江西工程學院

1 用拉格朗日定理

例1、證明 當 x＞ 0 時,ln（1+ x ）＜x

證明

設f（x ）= ln （ 1+ x）,f（x ）在［0,x］上 連 續,x＞0在（ 0 ，x）可 導 ，由拉格朗日定理 得

且f ′（x）=1＜1,即f ′（α）=1＜1

1+x 1+α

故當x ＞0時

例2，證明

當a＞b＞0, n ＞1時,

證明 （）1,＞=nxxfn設

則 f （ x在 ）［a,b ］上滿足拉格朗日條件

∴當 a ＞α＞b＞0,n＞1時，有

2 利用單調性證明

例3、證明 當 x＞ 0 時,ln（1+ x ）＜x

證明

設f（x）= x -ln（ 1 + x）,則 f（x）在［0,+ ∞）連 續,在（0， + ∞）可導，且有

例4、證明 當 x ＞ 1 時,ex＜ex

證明

設f（x）= ex-ex,則f （x）在［1,+ ∞）連 續,在（1，+ ∞）可導，且有

f′（x）=ex-e＞0,x＞1所以，函數f（x）在［1.+ ∞）上單調增加，故x＞1時，f（x）＞ f（1）= 0 ,即ex＜ex.

3 利用凹凸定義和判定

凹凸定義

設f （x）在區間I連續，對I內任意x1,x2恒有

則稱f（x）在 I 上 是凹的（或 凸 的）.

證明 設 f（x）= ex,則 f （x）在 R 連續,可導

且f′（x）= f ′（x）= ex＞o則f（ x）在R上是凹的。

例6、證明 0,0,＞＞≠yxyx當

證明 設 f（x）= x ln x ,x＞0

即當x ＞0,y＞0,x≠y時有

4 利用定積分證明

例7、 設 f （ x ）在［a,b ］連 續 ，f（x ）＞0

證明：由題設和積分中值定理知

[1]國家級規劃教材《高等數學》同濟大學數學系編（第七版）.

[2]高職高專學校教材上海高校《高等數學》編寫組編《高等數學》（第六版）.