常考常新話“通徑”

山東 董敬紅

(作者單位：山東省泰安英雄山中學)

常考常新話“通徑”

圓錐曲線中涉及焦點的有關問題一直是高考數學考查的熱點問題之一，因此也成了我們關注的“焦點”，其中有許多問題涉及圓錐曲線中最特殊的焦點弦——“通徑”.

“通徑”是圓錐曲線中最基本的一條線段，是過焦點的弦(焦點弦)中最特殊的一條.雖然現行教材中沒有提及這一概念，而且在高考中是一個“小小”的考點，但也阻擋不了高考命題者對它的青睞，在歷年高考中“出鏡率”頗高，且常考常新.單就2016年高考來看，在九套試卷中，竟有三分之一(全國Ⅱ卷、Ⅲ卷和山東卷)對“通徑”作了考查，由此可見一斑.“不以‘點小’而不為”，在我們的復習備考中應特別重視研究和發掘通徑潛在的應用功能.

一、通徑的定義

過圓錐曲線的焦點，作垂直于圓錐曲線對稱軸的直線，則直線被圓錐曲線所截得的線段叫圓錐曲線的“通徑”.

二、通徑的性質

3.通徑是圓錐曲線的最短的焦點弦.

【證明】如圖，設直線l過橢圓的焦點F2交橢圓于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點.

(2)當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為

得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.

所以通徑是橢圓最短的焦點弦.

4.過圓錐曲線E的焦點F，作直線l交曲線E于P,Q兩點，則半通徑長的倒數是|PF|的倒數與|QF|的倒數的等差中項.

【證明】設圓錐曲線的焦點F到相應準線的距離為p，離心率為e,直線l的傾斜角為α，則過F的通徑長為2ep,設P,Q到準線的距離分別為d1,d2，則d1=p+|PF|cosα,d2=p-|QF|cosα.

三、通徑的應用

1.求曲線方程

【分析】過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長即為通徑長，于是建立關系利用待定系數法求解.

【點評】用待定系數法求圓錐曲線的標準方程時，從“定位”和“定量”兩個方面去考慮.首先要“定位”，即確定焦點所在的坐標軸，這一點尤為重要；其次是“定量”，即利用條件確定方程中a,b的值，常通過待定系數法去求.本題中的通徑長便是求解的關鍵.

2.求值

( )

【解】選C.

【點評】本題雖然沒有直接以通徑的形式給出，但可以通過對條件的分析，轉化為通徑求解的.

【變式2】已知拋物線y2=2px(p>0)的準線經過點(-1,1)，過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點. 若在x軸上存在點P，使得△PMN是等邊三角形，則點P的坐標為________.

【變式3】已知拋物線y2=2px(p>0)，直線l經過其焦點且與x軸垂直，并交拋物線于A，B兩點，若|AB|=10，P為拋物線的準線上一點，則△ABP的面積為

( )

A.20 B.25

C.30 D.50

3.確定關系

( )

A.7倍 B.6倍

C.4倍 D.2倍

【分析】由線段PF1的中點在y軸上，坐標原點O是F1F2的中點，根據橢圓的對稱性和三角形中位線定理可知PF2與x軸垂直，所以點P是通徑的一個端點，|PF2|是通徑長的一半.再結合橢圓定義便可確定出|PF1|與|PF2|的關系.

【點評】本題將“通徑”暗含在題目的條件中，分析并挖掘出“通徑”是解題的關鍵.

【變式4】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且垂直于x軸的弦為AB，O為拋物線頂點，則∠AOB

( )

A.小于90° B.等于90°

C.大于90° D.不能確定與90°的關系

4.求離心率

( )

【點評】離心率是圓錐曲線的重要幾何性質，是描述圓錐曲線形狀的重要參數.圓錐曲線的離心率的求法和應用是一類常見題型，也是歷年高考考查的熱點.求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍，其關鍵是建立恰當的等量或不等量關系，以過渡到含有離心率e的等式或不等式使問題獲解.

( )

變式練習答案

(作者單位：山東省泰安英雄山中學)