明道 優術 踐行—關于在坐標系中求解三角形面積基本方法的探究

廣東省東莞市寮步鎮香市中學(523400) 柯偉賢

明道 優術 踐行—關于在坐標系中求解三角形面積基本方法的探究

廣東省東莞市寮步鎮香市中學(523400) 柯偉賢

在平面直角坐標系中求解三角形的面積是學習函數過程中常遇見的問題,也是歷年中考常見的題型,這類問題的難度往往較大,學生常常因為沒有掌握解決這類問題的基本方法,從而導致無法快速地解題或者直接無從下手.那么該如何有效地解決在函數問題中求解三角形的面積問題呢?本文就是針對這個問題對在坐標系中求解三角形面積進行了探究,給出了解決這一類問題的基本方法.

1 提煉解題題型,明思維之道

“明”即明白、懂得,“道”即規律、原則.“明道”即明白原則,掌握規律.“明道”要求教師要創設出“心憤口悱”的思維情景,讓學生得到“舉一反三”的解決問題的方法,因此問題題型的設計至關重要.

在問題解決的過程中,常常遇到一些對于解決問題有技術支撐的有效的基本思路,基本方法或基本結論,并且這些思路、方法、結論對這一類問題有幫助,則可以稱之為“基本題型”,關于在坐標系中探究求解三角形面積的基本方法,這里選擇了以下這四道題型.

例1.1 如圖1,點A的坐標為(1,1),點B的坐標為(3,0)求S△OAB=?

例1.2 如圖2,點A的坐標為(1,2),點B的坐標為(1,?1),點C的坐標為(0,1),求S△ABC=?

例1.3 如圖3,點A的坐標為(2,1),點B的坐標為(?1,?2),線段AB交x軸,y軸于點D(1,0),C(0,?1),求S△OAB=?

分析:△OAB的三邊都沒有落在坐標軸上,也沒有像例2一樣有平行于坐標軸的邊,那該怎么辦呢?

圖1

圖2

圖3

圖4

當然也可以選擇頂點O過y軸把△OAB分成兩個小三角形△OBC和△OAC,而這兩個小三角形的公共邊OC恰好落在x軸上,所以.

例1.4 如圖4,直線y=x+1與x軸交于點A(0,1),點C(2,3)是直線y=x+1上的一個點,點B的坐標為(1,0),求S△ABC=?

分析:△ABC三邊都沒有落在坐標軸上,仿照例3選擇合適的頂點把三角形進行分割,但是新的問題又來了,這個圖不可以象例3那樣可以通過x軸或者y軸把三角形分成兩個小三角形,那又該怎么辦呢?

圖5

這四道基本題型的設計由簡單到復雜,包括了在坐標系中求解三角形面積的多種情況,學生可以由淺入深地進行學習,理解解決這一類問題的基本套路.讓原本比較復雜的一類問題化歸為同一種方法,從而使這一類問題變得有法可依.

2 形成解題技巧,優問題之術

“優術”即提升方法、技藝的水平,積累實用的策略,總結經驗并從中發現規律.“優術”是“明道”后轉化而來的具體操作方法,這需要歸納總結探究過程中的經驗,優化解決問題的思路,形成解題技巧.

通過以上例題的學習,我們發現在坐標系中求解三角形面積的關鍵在于選擇恰當的邊作為三角形的底,因此可以得出在坐標系中求解三角形面積的基本方法是:當三角形有一邊在落坐標軸上(或者有一邊平行于坐標軸),則以這條邊為底邊,當三角形沒有邊落在坐標軸上(或者沒有邊平行坐標軸)時,則應該選擇合適的頂點過坐標軸(或者是過頂點作平行坐標軸的直線)把三角形分割成兩個有公共邊的小三角形,利用兩個小三角形的面積之和求解原三角形的面積.

優術,還在于教師要引領學生反思思維過程,優化解題方法.以上的四道基本題型中我們發現當三角形沒有邊落在坐標軸上(或者沒有邊平行坐標軸)時,當選擇合適的頂點過坐標軸(或者是過頂點作平行于坐標軸的直線)把三角形分割成有公共邊的兩個小三角形,那么這個三角形的面積與這兩個小三角形的公共邊有什么關系呢?接下來進一步探討以下這個基本圖型.

圖6

圖7

如圖6,△ABC沒有邊落在坐標軸上,選擇過B點作平行于y軸的直線交AC于點D,直線BD把△ABC分成兩個△ABD和△CBD,公共邊BD,,由此得到

當然,如圖7,我們也可以選擇過C點作平行x軸的直線交AB于點E,由此得到

由此我們可以進一步優化在坐標系中求解三角形面積基本方法,如果三角形沒有邊落在坐標軸上(或者沒有邊平行于坐標軸)時,則應該選擇合適的一頂點過坐標軸(或者是過頂點作平行于坐標軸的直線)把三角形分割成兩個有公共邊的小三角形,當直線在x軸上或平行于x軸,則三角形的面積=×公共邊×另外兩個點的垂直距離(即大縱坐標?小縱坐標).若這條直線在y軸上或平行于y軸,則三角形的面積=×公共邊×另外兩個點的水平距離(即大橫坐標?小橫坐標).

3 追求解題效率,踐方法之行

“踐行”就是積極實踐各種理論和方法,學以致用.形成解題技巧后,就要在行動中考查方法的適用性和實用性,以提高解題的效率.經歷以上的兩個環節的學習,學生已經掌握了在函數中求解三角形面積的基本方法,接下來將精選歷年的幾道中考題,通過讓踐方法之行這個環節,學生學會知行合一,學以致用,提高解決這一類問題解題速度和解題質量.

例3.1(2013·浙江嘉興)如圖,一次函數y=kx+1(k0)與反比例函數的圖象有公共點A(1,2).直線l⊥x軸于點N(3,0),與一次函數和反比例函數的圖象分別交于點B,C.

(1)求一次函數與反比例函數的解析式;

(2)求△ABC的面積?

分析:(2)求△ABC的面積,觀察發現△ABC的一邊BC平行y軸,因此選擇BC為底.

例3.2 (2015四川省巴中市)如圖9,在平面直角坐標,一次函數y1=ax+b(a,b為常數,且a0)與反比例函數(m為常數,且m0)的圖象交于點A(?2,1)、 B(1,n).

(1)求反比例函數和一次函數的解析式;

(2)連接OA、OB,求△AOB的面積;

圖8

圖9

圖10

圖11

例3.4 (2012·黔東南州)如圖10,已知拋物線經過點A(?1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點M是線段BC上的點(不與B,C重合),過M作MN//y軸交拋物線于N,若點M的橫坐標為m,請用m的代數式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下,連接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說明理由.

分析:(3)如圖11,求△BNC的面積,直線MN//y軸交BC于點M,把△BNC分成△CMN和△BMN,線段BC為公共邊,所以S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN·(xB?xC)

解:(1)拋物線的解析式y=?x2+2x+3

已知點M 的橫坐標為m,則M(m,?m+3)、N(m,?m2+2m+3);故MN=?m2+2m+3?(?m+3)=?m2+3m(0＜m＜3)

(1)求點A、B的坐標;

(2)設D為已知拋物線的對稱軸上任意一點,當△ACD的面積等于△ACB的面積時,求點D的坐標;

圖13

“不憤不悱,不啟不發”,通過以上“明道、優術、踐行”這三個環節的學習,學生很好地掌握了在坐標系中求解三角形面積的基本方法,對這一類問題的解決獲得了實踐的經驗,提高了解決這一類問題的速度,增強了學習數學的信心,而這一類問題的學習過程和方法對其他問題的學習也有很好地促進作用.

[1]章建躍.數學教學中的取勢明道優術.中學數學(高中版)[J].2013(4):編后漫談

[2]卜以樓.取勢明道優術—初中函數圖象的教學分析和思考.中學數學教學參考[J].2015(10):13-15