例談圖形的全等分割

王翠玲

[摘 要] 背景圖形不同，分割要求不同，對應的分割方案也不同. 如以正方形為背景，把確定分割線的問題轉化為以正方形的中心為中心找成中心對稱的點；如在“非對稱圖形的全等分割”中，把“非對稱圖形”轉化為學生熟知的“對稱圖形”——矩形，以降低探究難度，破解分割障礙.

[關鍵詞] 全等分割；折線型；曲線型；旋轉

全等圖形是初中幾何的重要內容之一，是學生從單一圖形過渡到復雜圖形的認知基礎，其中全等圖形的分割設計是一項有意義、富有挑戰的教學活動. 在活動中，教師應首先引導學生分析已知圖形——“父圖”的特征，抓住“全等圖形指的是兩個圖形能夠完全重合”的內涵，根據要求進行全等分割，獲得“子圖”. 下面結合一些圖例，與大家一起分享.

圖例賞析

（一）以對稱圖形為背景

1. 以圓為背景

例1 要在圓形的空地上種植4種不同顏色的花，每種顏色的花集中種植，且所占地面的形狀、大小都相同，請畫出設計方案（分割線用實線表示）.

“種植4種不同顏色的花，每種顏色的花集中種植，且所占地面的形狀、大小都相同”，也就是把圓分割成4個全等的圖案. 如圖2，根據圓的軸對稱性可知互相垂直的兩條直徑便把圓分割成4個全等的扇形，這是絕大部分學生都可以想到的最基本的設計方法.

這種方法所呈現的分割線是直線，我們稱之為“直線型”，該方法很容易被學生理解和接受，但此時學生的思維處于淺層次運作狀態.

教師可以再設置以下問題，引導學生探索不同的分割方法：

（1）分割后，每一部分的面積與原來圖形面積有何數量關系？

（2）“直線型”中的每一個扇形的圓心角是多少度？你能利用旋轉驗證“直線型”的合理性嗎？

（3）分割線一定是直線嗎？折線、曲線行嗎？

學生借助問題導航，根據分割要求（把圓分割成4個全等的圖案），通過獨立分析、嘗試畫分割線、小組合作交流等方式可以獲得不同的分割方法，筆者將其分割方法分為兩大類——“折線型”和“曲線型”.

折線型 如圖3、圖4，巧用旋轉畫折線.

如圖3，以折線0AB為基礎分割線，以點O為旋轉中心依次旋轉90°，每經過一次旋轉得到一處分割線（如折線ODC，OFE，OHG）. 從圖形直觀感知，我們可以看出此時分割的目的已經達成.

對于幾何圖形問題，我們重視幾何直觀的同時，也要重視合情說理. 如根據要求“把圓分割成4個全等的圖案”，教師可以引導學生從圖形構成著手，認識到每一個圖形的面積等于圓的面積的1/4，理解“折線型”實質上是在“直線型”的基礎上進行割補而已：如將原有（圖3）的扇形OCB中“割”去△AOB，又“補”了與之全等的△COD，利用等式性質——以算代證，可知SBAODC=S扇OCB，且整個圓可以看作是由4個具有旋轉關系的全等“子圖”構成的. （類似的，我們還可以設計圖4“法西斯”式的折線圖）

曲線型 如圖5、圖6、圖7，巧用旋轉畫曲線.

“折線型”和“曲線型”是在“直線型”基礎上的再創造，是“直線型”的一種“轉型”，每一種分割方法都滲透著轉化、全等變換等思想. 如以4個全等扇形為基礎，以等式的性質為算理，在每一個對應區域順次剪裁一個全等的圖形，使相鄰扇形的不同部分組合成新的圖形，從而獲得四等分全等分割. 殊途同歸，學生也可以以基本圖形為原型（如圖5中的基本圖形是），從圖形旋轉的角度（依次旋轉90°）進一步理解分割方案，這對于深化學生對全等圖形的認知、拓寬學生的思維，大有裨益.

2. 以正方形為背景

例2 已知正方形ABCD，要求將其分割成兩個全等圖形.

教師可以設置以下問題串，引導學生思考、探索不同的分割方法：

（1）分割后，每一部分的面積與原來圖形的面積有何數量關系？

（2）正方形是軸對稱圖形嗎？是中心對稱圖形嗎？對稱中心是什么？

（3）在例1中“把圓分割成4個全等圖形”，我們運用了90°的旋轉角，而例2要求把正方形分割成兩個全等圖形，我們能否也從旋轉的角度進行思考？旋轉角應該是多少度？你有什么分割猜想？

（4）分割線可以是直線嗎？折線、曲線行嗎？

“如果我們成功地回想一個以前求解過的與我們當前的題目有某些相關的題目，我們就很幸運. 我們應該努力爭取并獲得這樣的幸運. ”教師要善于啟發學生遷移、類比相關知識，引導學生積極捕捉“幸運”知識鏈條. 顯然，類比例1的背景圖形——圓，例2中的正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，其分割方法有可借鑒之處. 幸運的是，通過學生的積極思考、嘗試分割，也獲得了“直線型”“折線型”和“曲線型”等分割方案.

方法1 “直線型”，這是一種簡單易懂的分割方法，如圖8、圖9、圖10，過對稱中心的任意一條直線均是符合要求的分割線.

教師可以結合圖10，引導學生進行合情推理：如圖11，連接AC，因為點O是正方形ABCD的中心，所以AO=CO，根據“AAS”或“ASA”易證△AOE≌△COF，進而知四邊形AEFD≌四邊形CFEB.

方法2 “折線型”：如圖12～圖15，以正方形ABCD的對稱中心O為中心，在滿足條件BE=DH，OF=OG的情況下（圖14的點E與點B重合，點H與點D重合；圖15的點E與點A重合，點H與點C重合），即確定了對稱點：點E和點H，點F和點G，也確定了折線段E-F-O與折線段H-G-O關于點O成中心對稱，進而獲得折分割線E-F-O-G-H，根據中心對稱的性質（成中心對稱的兩個圖形全等）或利用等積轉化的方法（以其中一條對稱軸為分割參照線，輔助合情推理），驗證分割后的兩個圖形全等.

方法3 “曲線型”，如圖16和圖17，與“折線型”相似，以中心對稱為理論依據（旋轉角為180°），在滿足相同條件下有規則地畫關于中心O對稱的弧線. 如圖16，直線EF是正方形的對稱軸，分別以OE，OF為直徑在正方形的對稱軸兩側畫半圓，這兩個半圓關于中心O成中心對稱，所獲得的兩部分為全等圖形， 則為分割線. 學生根據已有的推理經驗，以正方形的對稱軸為輔助線，運用“割補”轉化的方法，易證分割后的“子圖形”對應全等.？搖

3. 變式：以網格線的對稱圖形為背景

例3 用不同方法沿網格線把正方形分成兩個全等的圖形.

其實，分割方法仍然類似，關鍵是確定對稱點、確定對稱線段，即抓住對稱中心發散線路（如圖18，點A，B關于中心O的對稱點分別是點D，C，則分割線為A-B-O-C-D）. 與前例不同的是，此題中的關鍵詞是“沿網格線”，則對分割方法加以限制：分割線只能是水平的或豎直的，不能是斜線或曲線（如圖18、圖19）.

例4 把圖20中的網格圖形用一條折線沿網格線分割成兩個全等圖形. 請畫出兩種不同的分割方案，然后與同伴交流你的發現.

菱形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形. 根據軸對稱性，學生容易獲得“直線型”分割方案（如圖21，AB是分割線）；根據中心對稱性，學生借助已有的活動經驗（以菱形的中心O為中心，確定對稱點線段，即抓住對稱中心發散線路）可以獲得不同的分割方法，如圖21、圖22、圖23和圖24.

對稱圖形是初中幾何學習的“重頭戲”，所以以對稱圖形為背景研究全等圖形應作為全等分割教學的重點，而在非對稱圖形中探究全等分割，可以培養學生的創新思維.

（二）以非對稱圖形為背景

例5 在圖25中沿網格線把圖形分割成兩個全等形.

設小正方形的邊長為1，與“4×4型（邊長為4）”正方形相比，相當于上面的“1×4型（寬為1，長為4）”矩形向右平移了1個單位長度. 根據正方形的軸對稱性，教師引導學生猜想：原對稱軸經過“1×4型”矩形的部分是不是也應向右平移一個單位長度？

學生通過動手畫圖，獲得圖26所示的分割線，并進行操作驗證（平移），感受這種通過對比、關聯圖形而聯想到的方法. 對于這種分割方法，教師引導學生換一個角度分析，數學體驗也有所不同.

從整體上看，背景圖形不具有對稱性，而從圖形組合的視角進行剖析，它可以看成是由幾個矩形組合而成的，而每一個矩形是對稱圖形！此時便將復雜的非對稱圖形轉化為簡單的對稱圖形，搭建起順利進行全等分割的“腳手架”.

思路1 背景圖形可以看成是由兩個矩形構成的：“1×4型”“3×4型”（圖27）. 根據兩個矩形的對稱性，我們分別獲得分割線AB，CD，再連接BC，即運用A-B-C-D將該圖進行了全等分割，獲得與圖26一樣的分割線. 顯然，同一種分割方法，思考角度不同，數學理解不同，學生會滋生不同的知識生長點.

從不同視角分析圖形，我們會獲得不同的結論，也可以獲得不同的方法. 對于該背景圖形，我們還可以進行如下分析與分割.

思路2 背景圖形可以看成是由3個矩形構成的：“1×4型”“2×4型”“1×4型”.

首先突破分割難點：把兩個“1×4型”矩形看作對應部分，沿網格線進行合理分割，再把“2×4型”矩形進行合理等分，并使得分割線完美對接，即把這個圖形分割成兩個全等圖形. 如圖28，其中的兩個“1×4型”矩形分別被AB，CD分割成1個正方形和3個正方形，“2×4型”被全等分割，則折線A-B-E-C-D即為分割線.

圖29中的兩個“1×4型”矩形不分割，而是利用折線A-B-C-D-E-F-G將“2×4型”進行分割，并與“1×4型”矩形對應組合，構成倒“F”型的全等圖形.

對于以上圖形的分割方案的合理性，學生可以運用翻折、平移等方法進行驗證和感悟.

教學思考

1. 充分理解圖形

美國著名數學家G·波利亞指出“理解題目”的重要性：“如果學生還沒有理解題目，就著手計算和畫圖，那就可能發生最糟的事了. ”所以，擬定全等分割方案的前提是充分理解圖形.

（1）立足圖形本身性質

全方位的觀察已知圖形，充分了解圖形本身的性質，這是正確設計全等分割的首要條件. 教師應引導學生從圖形蘊含的性質出發，根據分割要求不斷調整分割線、修正分割線，以獲得創意紛呈的分割線和全等圖形. 因此，在教學中，教師應重視對幾何圖形基本條件和性質的教學，為學生搭建好深入探究問題的腳手架.

（2）多角度的辯證分析圖形

以前文的“非對稱性圖形背景”為例，其組成方式不唯一，站在“由兩個矩形構成”的視角我們得到圖27的方案，站在“由3個矩形構成”的視角我們得到圖28、圖29的方案. 從不同角度審視圖形能獲得不同的靈感，綻放不同的思維火花，收獲不同的分割方案，這種“多角度分析圖形”是形成多元化策略的基礎.

背景圖形是一個整體，亦是分成的幾個全等圖形的合體：沿分割線“分”“合”交替，整體可以分為若干全等的個體，個體亦可以合成完整的整體——“多圖合一”，即恢復成原來的背景圖形. 教師可以利用幾何畫板操作、演示等手段，引導學生辯證地分析圖形，讓學生體會圖形的“分”與“合”的多種策略，感受圖形之間蘊含的辯證思想，理解整體與個體的關系，增強對各種設計方案的感性認識，充分感受幾何圖形設計之妙.

2. 挖掘關聯性知識點

有的學生圖感很好，能較快地獲得分割線，但對于為什么這樣分割，這樣分割有什么理論依據，如何驗證，由此帶來的數學知識還有哪些，卻不清楚，此時教師應正確引導和點撥，讓學生“知其然，亦知其所以然”，以培養學生嚴謹的數學品質，并獲得豐富的數學體驗.

如以上圖例中，教師引導學生借助軸對稱、中心對稱分析圖形，鏈接平移、旋轉、翻折等進行操作驗證，進一步感受常見的全等變換的應用. 在教學中，教師應“小題大做”，高角度審視原命題，理解題目蘊含的更深層次的知識點，契機設疑、追問，巧妙聯系、過渡，融入相關聯的知識點或對原命題進行拓展變式.

3. 關注數學思維

（1）多種策略，延展思維的寬度

優秀的教師總是“勤”字當先，從不拘泥于一個視角或一種解法，不以獲取答案作為解題終結目標，而是善于引領學生多角度分析問題，努力培養學生勤思考、勤探究的良好學習品質，并不斷提高學生的數學素養和解題能力.

在本文圖例中，學生在掌握背景圖形性質的前提下，從不同角度動手嘗試畫圖，形成不同全等分割方案；學生在探究多種解題策略的同時，積累了分析圖形的經驗，拓寬了數學思維，有效提高了解題能力和思維水平.

（2）推理驗證，培養思維的嚴謹性

每一種全等分割策略形成之后，教師都應引導學生合情推理，驗證方案的正確性和可行性，這有利于培養學生思維的嚴謹性，并使學生逐步形成理性的、縝密的思維習慣.

4. 滲透數學思想

數學思想是數學的精髓和靈魂. 前文圖形的全等分割策略中應滲透轉化的思想方法，如例2，我們把確定分割線的問題轉化為以正方形的中心為中心找成中心對稱的線段，進而轉化為找成中心對稱的點；如例5，我們引導學生把“非對稱圖形”轉化為學生熟知的“對稱圖形”——矩形，降低了探究難度，破解了分割障礙. 把復雜的問題轉化為簡單的問題，把未知問題轉化為已知問題，這種轉化的思想方法是探究學習的基本策略.

背景圖形不同，條件不同，分割要求不同，對應的分割方案不同，教師要引導學生尋求有用的思路：“從不同的方面來考慮問題，強調不同的部分，考察不同的細節，從不同的途徑反復考察同一細節，以不同的方式組合這些細節，從不同角度來處理它們”，并由此使學生生成不同的數學思考，積累豐富的活動經驗，不斷提高解題能力和思維水平.