數學推理，從經驗理解到智慧實施

李菁

[摘 要] 初中數學教學中，把對數學推理的理解從狹隘的解題運用經驗層面，拓寬到數學與生活相聯系的智慧層面，是讓學生真正形成數學推理能力的關鍵. 數學教師需要對推理經驗理解進行梳理，并上升到理論層面，這需要從兩種基本形式把握數學推理的實質，并通過數學活動與問題解決來培養學生的推理能力.

[關鍵詞] 數學推理；經驗理解；智慧實施；培養途徑

“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式. ”這是《義務教育數學課程標準（2011版）》對數學推理所作出的界定. 對這個界定有兩層理解：

（1）推理是思維方式；

（2）推理在學習與生活中經常使用.

因為數學推理形成于數學課堂而延伸于學生生活，因此數學推理是數學學科核心素養的重要組成部分，這是一個基本的認識.

實際教學中，由于數學推理的普遍存在——利用數學知識解題，常常有著豐富的推理過程，因此教師對數學推理的理解與實施常常是經驗性的，而這個經驗通常又只是在純粹的數學知識學習與解題運用中形成，因此經驗的理解必然帶有狹隘性，真正能從數學走向生活的推理其實并不多見.

據此，筆者以為，數學推理要從經驗的角度走向智慧的實施. 本文試以初中數學教學為例，略談筆者的淺顯觀點與做法.

數學推理的經驗認識與智慧理解

經驗視角下，數學推理是基于數學邏輯從一個命題獲得另一個命題的過程，比如最簡單的“兩直線平行，同位角相等”這一命題，就是一個帶有邏輯推理的命題，因為兩直線平行，所以同位角相等，“因為……所以……”就是一種邏輯關系. 同時，這個命題又是相關問題解決的推理依據，即因為兩直線平行，同位角相等，所以……在初中數學教學中，像這樣的推理比比皆是. 我們不妨從學生的學習感受角度來看學生對數學推理的態度. 可以發現，相當一部分學生因為感覺數學抽象、難學，因而感覺數學學習并無太多的樂趣，在這種情況下可以斷定，學生對數學推理沒有多大興趣. 而事實上，數學推理是數學最基本的特征之一，是數學學科異于其他學科的重要表現之一. 數學推理之所以沒有獲得學生的興趣，很大程度上是因為數學教師沒有用更好的形式來實施數學推理教育，而其本質原因是因為教師對數學推理的理解過于經驗化.

與經驗理解相對的是智慧理解. 這里倒不是說經驗與智慧是對立的，事實上，經驗常常是智慧的源泉，但是囿于經驗則與智慧的距離會越來越遠. 而筆者所理解的智慧理解，實際上也不外乎理論與實踐的結合. 筆者總認為，作為數學教師，需要對一些基本概念進行理論上的把握，像數學推理這樣重要的數學概念，需要理解其內涵與外延，需要從具體的實例、概念角度建構對其的理解.

理論研究表明，數學推理其實與判斷、命題等基本概念相關. 所謂判斷，是指對客觀事件作出肯定或否定的思維形式；所謂命題，就是表示判斷的語句. 這樣的理論其實并不復雜，因為無論是面對數學命題還是生活中的事物，人們總會有肯定或否定的想法，也總會通過語言（語句）表達出來，于是判斷與命題就是學習或生活中的常見情形. 于是數學推理也就有了學科和生活意義. 在學習或生活中，基于一個或幾個命題，推出新的命題的過程就是數學推理的過程，這樣的理解異于經驗性的理解，因為其更具概括性，而這恰恰是理論的價值. 進一步的理念研究表明，數學推理本身就是一種數學思想，也是一種數學方法，其在數學學科中的價值體現為服務于數學證明，在生活中的價值體現為服務于學生對生活事物的觀察與判斷.

這里不妨來看看當前初中生在生活中運用推理的能力. 仔細觀察可以發現一個悖論：一個數學極為優秀的學生可以在數學證明題中給出嚴絲合縫的證明過程，但在生活中卻有可能對一件簡單的事物做出完全不合邏輯的判斷，譬如在聊天終端中對明明有邏輯漏洞的信息的轉發等. 這說明學生從數學學習中形成的推理能力其實并沒有有效遷移到生活中. 在筆者看來，這樣的數學推理教學即使不能說是無效的，至少也是不完整的.

初中階段的數學推理教學，需要追求從數學到生活的完美演繹.

從推理的基本形式認識數學推理

初中數學中的推理有合情推理與演繹推理兩種基本形式，合情推理在生活中其實非常常見，可以說人們在生活中所作出的大部分判斷其實都是合情推理的結果，因為合情推理最基本的特征就是其判斷過程邏輯性未必很強，其判斷結果也未必準確. 盡管如此，合情推理在生活以及數學學習中的作用卻非常大，因為合情推理其實是人們利用歸納或者類比的辦法，借助生活或學習經驗做出的直覺性判斷，其價值正在于為“必然性”提供“或然性”基礎. 而演繹推理則不同，其有著嚴格的推理程序，其結果具有必然性. 合情推理與演繹推理之間有著相輔相成的關系，數學教學讓這種關系體現得越明顯，那教學過程就越有效，學生也就越有可能獲得數學智慧.

如教學“利用‘合并同類項和‘移項解一元一次方程”時，人教版教材提供了中亞細亞數學家阿爾—花拉子米的一本《對消與還原》的書籍，并以“對消”與“還原”為關鍵詞引出了本課題. 從學習過程角度來看，學生的思維會在這兩個關鍵詞的引導之下逐步發展，而在具體事例提出之后，學生的數學推理過程常常是兩種思維方式并存. 如教材給出的例題是：某校三年共買計算機140臺，去年購買計算機的數量是前年的2倍，今年購買的數量又是去年的2倍，前年這個學校購買了多少臺計算機？根據筆者的教學經驗，學生剛剛接觸到這個例題的時候，第一反應往往是根據其中的倍數關系及自己的數學學習經驗去“計算”，這個計算過程又不是嚴格地用算式去計算，而帶有試錯的意味. 不少學生會用一個數字去嘗試，然后根據嘗試結果進行修正. 這樣的思維過程其實很具跳躍性，正是合情推理的產物. 而待到教師引導學生從方程的角度去思考，利用未知數去建立等式的時候，則又是方程思想演繹的產物. 在這樣的學習過程中，筆者以為需要給足學生時間，先讓學生多做一些試錯的合情推理，然后給出方程解決問題的思路，這樣可以讓學生對兩種推理方式都有充分體驗.

讓學生同時體驗合情推理與演繹推理，無疑可以促進學生的思維發展，因而可以認為是智慧的教學. 事實上，如果從數學史中發現合情推理與演繹推理的價值，可以發現在人們提出“三段論”（演繹推理的基本形式）之前，人們所用的推理方式多是合情推理，而在“三段論”被提出之后，數學及其研究就進入了理性時期，進入了邏輯時期，因此“三段論”常常被認為是數學發展的一個具有劃時代意義的理論. 而學生的思維發展其實與歷史發展經常具有某種相似性，初中數學是學生從合情推理進入演繹推理的重要時期，是默會的合情推理進入顯性的演繹推理的重要階段. 筆者以為，初中階段的數學推理教學，一定要堅持從生活中來，到生活中去的思路，既要充分利用好學生在生活中形成的合情推理能力，并在此基礎上引導學生能在合情推理與演繹推理之間有效轉換，還要最終將這種推理能力反映到生活當中，這樣，學生的推理能力就能在數學課堂上開花，在數學課堂之外結果，這才是真正有效的數學推理教學.

學生數學推理能力形成的基本途徑

在初中階段要幫學生形成良好的數學推理能力，筆者以為有如下兩個基本途徑：

一是精心設計數學活動. 當下的數學教學已經不是知識的傳遞，尤其是對于初中數學教學而言，數學活動已經成為學生獲得數學知識的重要方式. 但需注意的是，本文所說的數學活動并不強調“活動”的形式，而是強調“活動”背后的思維含量，即強調合情推理與演繹推理有充分的用武之地，這也是數學活動保持數學味的關鍵. 方程教學中可基于等量關系到生活中尋找學生熟悉的事例，函數教學中基于數形結合過程的設計讓學生體會數學是如何通過數與形去描述函數特征的，這才是數學活動的本質所在.

二是豐富數學問題解決的過程. 問題解決是數學學習中最核心的內容之一，問題解決的過程就是學生運用推理解決問題的過程，在這個過程中，學生對數學知識的回憶、挑選與運用是演繹推理運用的關鍵環節；而在此過程中，學生的合情推理往往又會發揮先導性作用. 這種具有跳躍特征的推理形式，往往是學生尋找解題方向的關鍵. 根據筆者對所教初一至初三十幾位優秀學生的跟蹤發現，這些學生在遇到復雜問題的時候，往往都是靠合情推理去尋找解題思路，而演繹推理更多的是幫他們判斷合情推理是否正確的后續環節.

最后需要強調的是，推理能力的培養需要貫穿整個初中階段，如果仔細分析可以發現，幾乎每一個數學知識的教學其實都有數學推理的機會，就看教學中如何根據學生的實際情況去判斷與把握了.