計算教學中算理和算法的有效結合

羅梅莉

【摘要】在小學數學教學中，計算教學直接關系到學生對基礎性目標的掌握。為了能有效提高學生的計算能力，本文結合課堂教學實踐提出：改進教師的教學，主要有結合情境，感悟算理，探索算法；重比感悟，理解算理，優化算法；靈活運用，明晰算理，內化算法。學生在學習計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地展開進行計算。

【關鍵詞】計算教學 算理 算法 有效結合

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）01A-0070-03

培養學生的計算能力是小學數學教學的一項重要任務。教師在數的運算教學中，不能僅僅關注于學生運算技能的掌握，更要注重學生理解算理、掌握算法的學習過程，也就是在教學中要注重將算理與算法有機地結合起來，從而發展學生的運算能力。

處理好算理與算法的關系對于計算教學很重要。在小學階段，學生對于算理和算法的學習，主要體現在整數、小數和分數的口算和筆算以及新增的估算內容中。計算課教學要改變傳統教學中通過熟記法則來學習計算的方式，而應讓學生經歷計算的全過程，發現算理、掌握算法，能探究出相應的計算方法，形成新的技能與教學應用，避免學與應用脫節。新課標理念下的計算教學倡導在教學過程中通過讓學生動手操作、合作探究等形式，讓學生結合情境理解算理，自主掌握計算方法，形成技能，并能綜合應用。下面筆者就結合平時的計算教學，談談在計算教學中如何處理算理與算法的關系的幾點策略。

一、結合情境，感悟算理，探索算法

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對不同學段的學生計算的要求是不同的。作為教師，我們要根據各學段學生在學習過程中的認知水平和思維特點，以及課標和教材的特點來因材施教。對比新舊版本的人教版教材，我們不難發現：舊教材在計算教學中多半是直接出示算式并給出相應的計算法則和規律；新教材則是出示一組相關的情境，讓學生在情境中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，在解決問題的過程中感受學習計算的必要性，經歷自主探索，感悟算理，并能在此基礎上掌握計算方法。

例如，在一年級結合情境可用數數、擺學具等直觀操作的方法幫助學生“感悟”算理；在二、三年級可結合情境借助由直觀操作過渡到直觀演示（畫圖）等方式，讓學生理解算理，但“直觀”的成分已慢慢減弱，同時引導學生逐步擺脫對具體形象的依賴。在經歷數學化的過程中，不斷提高思維的水平，學會抽象地思考問題。隨著學生的年齡增長及心理成長，教師應結合情境順應學生的思維發展，憑借“遷移—類推—轉化”思想，引導學生在已有生活經驗和知識的基礎上，學會多角度地思考問題，不斷發展推理能力和思維能力。

案例一：結合情境，借助直觀，感悟算理，探索算法

筆者在使用舊版教材教學“9加幾”時，教材中有擺小棒，還有算式，筆者按教材呈現的內容告之學生計算“9+幾”就是要把第二個加數拆1個1，加上9就湊成10了，接著算10加幾就行了，有的學生在學習“8加幾”等知識時會用此法來計算，但更多學生遇到了困惑：“8加幾”要把第2個加數拆1個1，還是拆多少呢？教后筆者反思：學生沒真正弄懂“9+幾”的算理是要通過湊十法將“9+幾”轉化成已學過的“10+幾”來計算，同時因為上計算課時教師直接告訴學生此題就是這樣算，學生上課興趣也不高，計算的正確率也不高，并且課后采用多練的方法提高計算正確率，效果甚微。

新課改以來，筆者結合課標、教材和學生的年齡特點，創造性地使用教材，把教學“9加幾”定位在利用生活的情境開展“看、聽、想、做、說、算”等活動，學生在經歷了理解算理的基礎上掌握計算方法，真正達到“知其然，知其所以然”的效果。

第一層次，創設情境，引發思考。

（觀看運動會中學生們分組運動及分飲料的場景）要求一共有多少瓶飲料，應怎樣計算呢？結合學生熟悉的生活情境展開教學，進一步激發學生挑戰解決自己提出問題的動力，這比過去單純的計算教學更能激發學生的學習興趣。

第二層次，自主探索，合作交流。

有了強烈的求知欲，學生在交流過程中，更愿意提出不同的方法計算，這樣的交流體現算法多樣化，使每個學生都能收獲成功的體驗。在這過程中，由于給了學生足夠的探索空間，對于“9+4=？”怎樣算，學生的方法是多種多樣的：數數、擺小棒、珠心算、畫圖等，教師將學生的多種方法進行有序地整理，和學生們一起數數。在數數的過程中，學生們看到情境中一箱飲料空缺1瓶，馬上就會想到補上一瓶湊成10瓶，數數時也不再是1、2、3……一個一個地往下數，而是看到盒子有9瓶后，接著往下數10、11……這樣數形結合很巧妙，便于學生的理解。有了數數的經驗，再用小棒幫助理解就更加輕而易舉了，在擺小棒的時候，學生從4根小棒中拿出1根湊成10根，10加3等于13，在操作時教師要引導學生理解“為什么都從4根中拿出1根，不拿2根給9根呢？”這樣在擺的過程中使學生的操作沒有停留在表面，而是深入思考，真正理解9只能和1湊成10，“10加幾”就是以前學過的知識。在此過程中培養學生根據數據的特點來進行相應的簡便運算，而不是一種麻木的亂分，為后面“8加幾”等知識的教學打下基礎。這種教學方式應是一種重理解、重能力培養的方式，目的是讓學生獲得繼續自主學習的方法，同時也使學生體會到學習數學就是那么簡單，為今后在數學學習中利用舊知遷移轉化為新知做好思維發展的鋪墊。

第三層次，屬性轉換，形成技能。

經歷數數、擺小棒等活動后，再把擺小棒的過程遷移到算式，學生很快就知道了計算“9+4=？”要把此題的9先加1，再變成學過的10加幾得十幾計算出結果。通過這樣的引導，讓學生真正理解“9加幾”的算理，從而掌握了計算“9+幾”的方法。

上述案例中，教師依據對新課標的理解，既加強了對學生個性化算法的尊重和重視，也加強了對學生親身經歷算法多樣化過程的組織和實施，幫助學生理解算理；同時又讓課堂上呈現的算法多樣化，讓多數學生理解它、掌握它，體驗多種算法，唯有如此才能讓更多的學生理解算理。

案例二：結合情境，借助“轉化”，感悟算理，探索算法

在教學三年級下冊《除數是一位數的除法》時（被除數是三位數），筆者根據教材設計了以環保為主題的情境——植樹節開展植樹活動。情境的創設一下子就將枯燥繁瑣的計算課注入了活力，激發了學生的興趣，增強了學生的環保意識。在教學過程中，學生在情境中發現并提出了問題，且能列式“238÷6=？”可是學生在獨立試做時遇到了以下三個難題：1.做除法時，應從哪一位除起？2.商應寫在什么位置？3.當除不盡時怎么辦？在學生遇到困難時筆者沒急于教學生應怎樣計算此題，而是圍繞學生提出的三個問題來調整教學流程，筆者出示“36÷6”與“36÷3”讓學生對比：這兩道題有什么相同與不同的地方？學生通過觀察發現：被除數相同，除數不同，商也會不同。當學生有了發現后，筆者乘勝追擊引導學生觀察：“你在算這兩題時是先從哪一位除起的？”學生很快有了答案，此時再讓學生思考“238÷6=？”應從哪一位除起呢？學生遇到的困難就在舊知的比較中迎刃而解了。這樣的教學比讓學生背誦除法豎式的計算法則更有效。有了成功的開始，在讓學生解答第二個問題時，學生很自然地想到了用學過的知識來幫助理解，有擺小棒的，有對比豎式的。例如有學生擺了兩個大捆，三個小捆，8根單根的小棒，在擺的過程中學生發現：整百一捆的小棒要想平均分六份，每份整百一捆是不可能的，那怎么辦呢？學生提出將整百一大捆拆開（注：這個“拆”學生是在學習最簡單的36÷6豎式書寫時發現的，雖然有除法口訣幫忙不需要擺小棒，但筆者還是讓學生擺了一擺，有了擺的經歷后學生也就有了發展、遷移、轉化的能力）成了10個小捆，這樣就變成了23個小捆（也就是23個十），就可以分了，此時問題就得到了解決，即豎式中遇到的2個百除以6，商不夠1個百，應與十位的數合起來變成23個十再除，因此商也就應寫在十位上。這本是三年級學生較難掌握的知識，但是本課讓學生經歷了憑借在已有生活經驗和知識的基礎上，運用“遷移”規律或“轉化”思想來學習新知，從而讓學生在直觀形象中理解算理、發展思維。

二、重比感悟，理解算理，優化算法

算法優化的過程是一個促進學生學會反思、自我完善的過程。但要在教學中把握好度，不能為算法多樣化而多樣化，而應讓學生在經歷算法多樣化的過程中，發現知識內涵的本質，從而促進學生思維的發展。教師要為學生提供足夠的時間和充分交流的機會，讓其深入討論，進而去發現最優的算法，使之知其然更知其所以然，從而“悟出”屬于自己的最佳方法。

以教學三年級上冊《多位數乘一位數》一課為例，筆者將教學環節預設為三層：利用表內乘法口訣解決問題—利用知識遷移掌握整十數乘一位數的方法—優化類推出整百、整千數乘一位數的方法。教學時，筆者先讓學生計算2×9，再計算2×10，由于有了表內乘法2×9=18，表示9個2是18，那么2×10=20，則表示10個2，也就是9個2加1個2就是18加2等于20。在經歷從表內乘法口訣幫助計算遷移掌握整十數乘一位數的方法，并理解了其算理后，筆者讓學生在用盡可能多的方法來獨立計算結果時，學生給出了很多種方法：10×2就把它看成10個2相加即2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20；10×2就把它看成2個10相加即10+10=20；因為1×2=2，所以1個十×2個十，只要在2的后面加一個0就可以了，即答案為20。學生在這樣的主動參與中思維得到了更好的發展，能力得到了更大的提高。此時，筆者引導學生將這些方法進行對比，讓學生選擇出自己最喜歡的計算方法并說明理由。由于每種方法都是學生自己想出來的，所以大家都認為自己的方法最好。這時，筆者沒有急于肯定或否定哪種計算方法，而是耐心等待。當第二次探索20×3的計算方法時，由于有了上一題的成功體驗，學生們都選擇自己認為最好的方法計算，然而計算的正確率卻不盡如人意。隨著學生對算理的深入理解以及學習的層層深入，筆者適時結合實例，讓學生再次展開對比討論：怎樣計算既對又快？你喜歡哪種方法，為什么？讓學生感悟出每種口算方法都有各自的特點，但他們在不同的計算中作用也不一樣，讓學生感受到計算方法多樣化的同時，又悟出了計算策略優化的必然性，進一步提升學生數學思維的含量。在多次這樣的計算教學后，筆者常常思考：學生的“算法多樣化”是老師“逼”出來的嗎？一定要出現多種算法才是一節成功的計算課嗎？其實不然，因為老師調整了自己的教學模式，放手讓學生主動探索算法的時候，往往會出現多種不同的算法，這是基于學生已有的經驗、認知水平和知識結構等個性因素的結果。所以教師既不要畏懼課堂上出現的算法多樣化，也不要過度提倡算法多樣化，而應引導學生對眾多算法進行深入地探索并逐漸優化。算法多樣化不是教學目的，關鍵是通過算法多樣化達到“追本溯源，存異求同”的目的。這一探索交流的過程，極大地豐富和發展了學生的各種思維表象，起到了積極地激發學生主動優化算法、感悟算理的目的。

三、靈活運用，明晰算理，內化算法

當學生解決教材中的問題后，教師應及時引導學生總結。算法是學生在理解算理的基礎上對適合自己的計算方法進行總結，然后過渡到應用環節。在教學實踐中算理與算法的有效結合，更應注重計算法則的靈活應用及內化，即當學生有了算理作基礎后，探究算法多樣化，還需要學生在眾多算法中選擇自己適用的方法或者常規的計算法則進行再熟悉，以達到內化的目的。

案例一：以三年級下冊《兩位數乘兩位數》一課教學為例，在本節課中，在學生學會了23×12的豎式計算后，對于第二步23×10=230，筆者并沒有讓學生直接寫成23，而是結合算理，讓學生想一想，23×10=230是23乘第2個乘數上的什么數，所以23×10可以理解成23×1個十=23個十，有了這樣的算理學習的幫助，學生可以進一步理解這個初始的豎式，經過一段時間的內化吸收后，再讓學生運用簡化的豎式計算。有了前面的多重分析、對比、總結，學生在后續的練習中對兩位數乘兩位數豎式書寫有了更深刻的了解，在明晰算理中，內化了算法。

案例二：以四年級上冊《四則運算》為例，因學生之前有了萬以內數的加減法計算的基礎，并在這節課中依托情境感受到了四則運算的運算順序的合理性，導致在練習中出現這樣一道題（364-36-164=？）時，讓學生在三種算法（見下面算式）中選擇一種算法時，學生都不約而同地選了最后一種算法，這正是學生對退位減法和進位加法的算理和算法及四則運算的運算順序融會貫通后，對所學知識內化后有了更合理、靈活的應用。這正是新課標提出的：在數的運算教學中，不能僅僅關注于學生運算技能的掌握，更要注重學生理解算理、掌握算法的學習過程，算理和算法的有效結合，促進了小學數學計算教學從會計算、能算得快轉變為不是為計算而計算學習，而是要將計算教學作為學生學習的介質，通過學習，將知識內化，最終達到：變“要我學”為“我要學”，由被動到主動；促教學方式的發展，由講授式變合作式，學生擁有自主的空間；促學習的目的發展，變單純的學習技能為學技能、促思維的發展。

364-36-64 364-36-64

=328-64 =364-64-36

=264 =300-36

=264

364-36-64

=364-（36+64）

=364-100

=264

“教無定法，貴在得法”。算理和算法是計算教學中一個有機整體，形式上可以分，實質上是不可以分的，但在實際的教學中難免會顧此失彼。教師在教學過程中應依托新課標，借助教材，在課堂教學中處理好算理和算法的關系，創設恰當的情境，激發學生的學習興趣，并引導學生感悟算理，活用算法，實現算理與算法的融會貫通，以促進學生各方面能力的發展。

（責編 林 劍）