基于上凸序列的修正GM(1,1)模型

孔新海，馬 新，梁少林(.廣安職業技術學院，四川廣安68000；.西南科技大學理學院，四川綿陽600；.四川文理學院財經管理學院，四川達州65000)

基于上凸序列的修正GM(1,1)模型

孔新海1，馬 新2，梁少林3
(1.廣安職業技術學院，四川廣安638000；2.西南科技大學理學院，四川綿陽621010；3.四川文理學院財經管理學院，四川達州635000)

針對GM(1,1)模型對上凸序列建模時會出現誤差較大的情況進行了研究.證明了GM(1,1)模型的還原序列為下凸序列，分析了其對上凸序列建模時的殘差變化規律，并提出了通過對稱變換把上凸序列轉化為下凸序列再建GM(1,1)模型的一種新方法.實例也證實了新方法比原始GM(1,1)模型具有更高擬合精度.

上凸序列；GM(1,1)模型；對稱變換

灰色預測模型是灰色理論中重要的組成部分，是處理小樣本和貧信息的重要工具.GM(1,1)是灰色預測模型中最重要并且應用最廣泛的模型.近年來，GM(1,1)模型已被廣泛地應用于工業生產、社會科學等各個領域.[1-2]但是在實際的應用過程中，GM(1,1)模型也會出現誤差較大的情況，因此許多學者提出了一系列的改進方法.文獻通過對白化方程的分析，[3-5]得出了背景值的準確計算公式；文獻使用非齊次指數函數來擬合其累加生成序列，[6]重新推導了新的背景值計算公式，突破了發展系數的限制.文獻分別采用加權最小二乘和總體最小二乘法對GM(1,1)參數估計方法進行了改進.[7,8]文獻則分別通過優化白化方程的初值和邊值對GM(1,1)模型進行了改進.[9,10]然而，無論采用上述哪一種方法，用GM(1,1)模型對原始序列進行模擬預測時，其還原值序列總為下凸序列.如果對于上凸序列進行建模，則會導致預測序列與原始序列發展趨勢不一致.為了克服這種模型誤差，文中提出用對稱變換把上凸序列先轉化為下凸序列再建GM(1,1)模型的方法.

1 序列凸性的定義

定義1 對于某一序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，若滿足Δ(0)(k)Δ(0)(k-1) (2kn)時，則稱序列x(0)為上凸序列；若滿足Δ(0)(k)≥Δ(0)(k-1)(2kn)，則序列x(0)為下凸序列，其中Δ(0)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1).特別地，當Δ(0)(k)<Δ(0)(k-1)(或Δ(0)(k)>Δ(0)(k-1))時，稱序列x(0)為嚴格上凸(或下凸)序列.

定理1 若序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}是上凸(或下凸)序列，則滿足不等式：

2x(0)(k)≥x(0)(k+1)+x(0)(k-1)

(1)

或

2x(0)(k)x(0)(k+1)+x(0)(k-1))

(2)

證明：設x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}是上凸序列，則由定義1可知：

2x(0)(k)=(x(0)(k+1)-Δ(0)(k+1))+(x(0)(k-1)+Δ(0)(k)) =(x(0)(k+1)+x(0)(k-1))-(Δ(0)(k+1)-Δ(0)(k)) ≥x(0)(k+1)+x(0)(k-1)

(3)

特別地，當x(0)為嚴格上凸序列時，上式不含等號.同理，可證x(0)為下凸序列時，(3)式不等號反向.

2 灰色GM(1,1)模型及其特性

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(4)

為GM(1,1)模型的基本形式；連續微分方程

dx(1)/dt+ax(1)=b

(5)

稱為GM(1,1)模型的白化方程.(4)式的最小二乘估計參數滿足關系

[a,b]T=(BTB)-1BTY

式中

B=-z(1)(2) 1

-z(1)(3) 1

? ?

-z(1)(n) 1,Y=x(0)(2)

x(0)(3)

?

x(0)(n)

把參數a,b的估計值代入(5)式,求解白化方程然后離散化,可得相應的時間響應序列為

(0)(k+1)=(1-ea)(x(0)(1)-ba)e-ak

(6)

在利用GM(1,1)模型進行建模時，通常都是正數序列，而在這種情況下GM(1,1)模型的模擬和預測序列也通常都是正數(極少數數據異常的情況除外).因此本文僅對GM(1,1)模型的輸出序列為正數的情況進行討論.以下定理給出了GM(1,1)模型在上述情況下的凸性.

定理2 當GM(1, 1)模型的輸出序列均為正數時，則其輸出序列為下凸序列.

證明：由于GM(1, 1)模型的輸出序列均為正數，亦即(6)式的值在對一切k=1,2,…都是正數，此時有

(7)

為方便敘述，記C=(x(0)(1)-b/a)(1-ea).注意到e-ak>0，因此C>0.考察增量序列

和

將(8)式與(9)式相比，有

(i)當a>0時，有e-a<1，因此(10)式小于1，即

Δ(0)(k+1)Δ(0)(k)<1

(11)

Δ(0)(k+1)>Δ(0)(k)

(12)

(ii)當a<0時，有e-a>1，因此(10)式大于1，即

Δ(0)(k+1)>Δ(0)(k)

(14)

綜上，根據定義1知GM(1, 1)模型的還原式(6)在定理的條件下得出的序列為下凸序列.

注意到上述定理中未討論a=0的情況.雖然在實際的計算中可能會出現這種情況，但在這種情況下GM(1,1)無意義，因此定理2滿足大多數實際計算的情況.

定理2 證明了GM(1,1)模型的還原值實際上是一個下凸序列，因此用GM(1,1)模型對上凸序列直接建模會產生很大的誤差.如圖1所示，當原始序列是上凸序列時，用(6)擬合計算得到的序列與原始序列的幾何形狀不一致.

3 凸序列的對稱變換

由上面的分析可知，只要把上凸序列轉換成下凸序列就可以避免這種模型誤差.凸性轉換最有效的方法就是軸對稱變換.對于單調遞增的上凸序列，可以按y=x(0)(n)進行對稱變換；對于單調遞減的上凸序列，可以按y=x(0)(1)進行對稱變換；對于具有極值點的上凸序列，可以極值點為分界點，把原序列分成單調遞增上凸序列和單調遞減上凸序列.

證明：若X(0)為單調遞增上凸序列，則

對于X(0)為單調遞減上凸序列，同理可證.

4 基于上凸序列的修正GM(1,1)模型

對于上凸序列建立GM(1,1)模型，先要對原始序列進行對稱變換，然后對變換序列建立GM(1,1)模型，最后再逆變換還原.下面給出具體的算法流程.

5 實例分析

例1[11]2003～2008年我國人均能源消費量為X(0)={1427,1647,1810,1973,2128,2200}，單位：千克標準煤.這是個單調遞增的上凸序列，如果分別用原始GM(1,1)和數據經對稱變換之后的GM(1,1)建模，模擬結果如表1所示.

表1 單調遞增的上凸序列模擬結果

從表1可以看出，原始單調遞增的上凸序列經對稱變換之后建立的GM(1,1)模型，其擬合的平均相對誤差要明顯小于直接用GM(1,1)建模的平均相對誤差.

例2[12]某油田在遞減階段的年產量為：X(0)={14.38,14,13.06,12.09,10.98,9.88,8.27}，單位：107t/a.這是個單調遞減的上凸序列，如果分別用原始GM(1,1)和數據經對稱變換之后的GM(1,1)建模，模擬結果如表2所示.

表2 單調遞減的上凸序列模擬結果

表2結果同樣顯示：對于單調遞減上凸序列，經對稱變換之后建立GM(1,1)模型，其擬合效果要好于直接建立GM(1,1)模型.

6 結論

由前面的證明可以知道，GM(1,1)模型還原序列具有下凸性，對于下凸序列，如果直接用GM(1,1)建模，會導致預測序列的趨勢與原序列的發展趨勢不一致.經過進一步分析發現，采用GM(1,1)模型對上凸序列進行擬合時，單純從GM(1,1)模型本身入手進行改進，并不能明顯地提高GM(1,1)模型的精度，甚至還可能出現誤差變大的情況.通過引入對稱變換，把上凸序列轉化為下凸序列，從根本上解決了模型誤差.而對稱變換函數的選擇具有多樣性，將在另文中討論.

[1] Ma X, Luo D, Ding X F, et al.AnalgorithmbasedontheGM(1, 1)modelonincreasingoilproductionofmeasuresoperationforasinglewell[C]//2013 IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services, 2013: 158-160.

[2] 王宇熹, 汪 泓, 肖 峻. 基于灰色 GM(1,1)模型的上海城鎮養老保險人口分布預測[J]. 系統工程理論與實踐, 2010(12): 2244-2253.

[3] 譚冠軍.GM(1.1)模型的背景值構造方法和應用[J]. 系統工程理論與實踐, 2000(4): 98-103.

[4] 羅 黨,劉思峰,黨耀國.灰色模型GM(1, 1)優化[J]. 中國工程科學, 2003(8): 50-53.

[5] 劉 樂, 王洪國, 王寶偉.基于背景值構造方法的 GM(1,1)模型優化[J]. 統計與決策, 2009 (1): 153-155.

[6] 王正新, 黨耀國, 劉思峰. 基于離散指數函數優化的GM (1,1)模型[J]. 系統工程理論與實踐, 2008(2): 61-67.

[7] 何 霞. 灰色 GM(1,1) 模型參數估計的加權最小二乘方法[J]. 運籌與管理, 2012(6): 23-27.

[8] 袁 豹, 岳東杰, 李成仁. 基于總體最小二乘的改進 GM(1,1)模型及其在建筑物沉降預測中的應用[J]. 測繪工程, 2013(3): 52-55.

[9] Wang Y, Dang Y, Li Y, et al.AnapproachtoincreasepredictionprecisionofGM(1, 1)modelbasedonoptimizationoftheinitialcondition[J]. Expert Systems with Applications, 2010(8): 5640-5644.

[10]張 彬, 西桂權. 基于背景值和邊值修正的 GM (1, 1) 模型優化[J]. 系統工程理論與實踐, 2013(3): 682-688.

[11]中華人民共和國國家統計局編. 中國統計年鑒[M].北京：中國統計出版社, 2009：24-27.

[12]孔新海,劉志斌,魏 勇. 單調遞減序列的離散變換及其灰色建模[J]. 統計與決策, 2012(10): 19-21.

[責任編輯 范 藻]

On the Improved GM(1, 1) Model Based on Concave Sequence

KONG Xinhai1, MA Xin2, LIANG Shaolin3

(1.Guang'an Vocational and Technical College, Guang'an Sichuan 638000;2. Science School of Southwest University of Science and Technology, Mianyang Sichuan 621010;3.Finance-Economy Management of Sichuan University of Arts and Sciences, Dazhou Sichuan 635000, China)

The issues of big errors of GM(1, 1) model for concave sequence modeling have been studied in this paper. Firstly, the restored sequence of GM(1,1) model is proved to be concave, and the characters of residuals of GM(1, 1) model built on concave sequence have been analyzed. Secondly, two symmetry transformations are introduced to transform the original concave sequence, and then built the GM(1, 1) model based on the transformed sequence. The new method has been compared to the traditional modeling method, and the results show that the accuracy of the new method is very high, and it is applicable for all concave sequence modeling.

Concave sequence; GM(1, 1) model; Symmetry transformation

2016-11-10

四川省教育廳一般項目“難采儲量評價方法及其應用研究”(14ZB0388)

孔新海(1983—)，男，江西余干人.講師，博士，主要從事灰色系統理論方法研究.

N941.5

A

1674-5248(2017)02-0007-04