基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“真、善、美”下的“空間幾何體的體積”教學(xué)

顏波

數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)有“真、善、美”三個維度：理解理性數(shù)學(xué)文明的文化價值，體會數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性；具備用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實際問題的基本能力；能夠欣賞數(shù)學(xué)之美，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué).筆者根據(jù)核心素養(yǎng)三個維度的理念設(shè)計和實踐了“空間幾何體的體積”的教學(xué).現(xiàn)整理出來與同行切磋和探討.

一、教學(xué)實錄

師：在相距為h的兩條平行直線l1、l2之間，一條長a為的線段在平面內(nèi)從l1上沿不同路徑運動到l2上，可以形成什么樣的圖形？生1：矩形.生2： 也可以是平行四邊形.生3： 還可以是不規(guī)則的圖形（上黑板畫出圖1（3））.師：說得好！圖形是豐富多彩的.考慮一下，它們的面積分別是多少？生1：ah.生2：ah.生3：……（回答不出來！）生4：還是ah.因為圖1（3）與圖1（1）都是由相同長度的線段平移而得到的.形象地說，相同長度、相同“根數(shù)”的細(xì)木條“擺成”了圖1（1）、圖1（3），面積當(dāng)然相等.師：很好！線動成面.你能準(zhǔn)確地描述這一結(jié)論嗎？生4：兩個等高的平面圖形，若在所有等高處的水平線段長度都相等，那么這兩個平面圖形的面積相等.師：類比這個結(jié)論，空間幾何體有類似結(jié)論嗎？生5：兩個等高的幾何體，若在所有等高處的水平截面的面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等.師：舉個實例看看.生5：（先將桌上的一摞書堆放成長方體，然后推成平行六面體，又隨意推成任意形狀）這些幾何體的體積相等，原因就是距離桌面等高處的每個水平截面（每一頁紙）面積都相等.

師：太棒了！同學(xué)們是否知道，他道出了在數(shù)學(xué)史上頗有影響的一個原理——祖暅原理.祖暅?zhǔn)俏覈R梁時代的數(shù)學(xué)家（祖沖之的兒子），他不僅首先提出了這一原理，還成功地將其應(yīng)用于球體積的推算.祖暅原理在西方文獻(xiàn)中稱為“卡瓦列利原理”，在1653年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出，對微積分的建立有重要影響.看來數(shù)學(xué)家并不神秘，只要我們善動腦筋，照樣可以發(fā)現(xiàn)，可以創(chuàng)造.（學(xué)生臉上露出得意的神色，尤其生5，昂首挺胸，喜形于色！）師：想想看，祖暅原理能幫我們做什么？生6：求幾何體的體積.師：對.我們已經(jīng)知道哪些幾何體的體積？生6：正方體的體積V=a3，長方體的體積V=abc，也就是V=Sh.師：以長方體體積為基礎(chǔ)，我們能得到什么幾何體的體積？生7：柱體.師：什么柱體？棱柱還是圓柱？還是任意柱體？生7：任意柱體.由于柱體是由一個平面圖形沿某一方向平移形成的空間幾何體，只要該柱體與長方體底面積相等、高也相等，就意味著每一“等高”處的截面面積相等.根據(jù)祖暅原理，它們的體積相等.（學(xué)生知道我好問為什么，索性把理由也說了）

師：很好！（板書：V柱體=Sh）這樣一來，我們就解決了所有柱體的體積問題.下面該研究什么幾何體的體積了？生8：錐體、臺體.師：關(guān)于錐體，你們是否已經(jīng)掌握了某一類錐體的體積公式了？生9：圓錐的體積V錐體=13Sh.師：怎么得來的？生9：倒沙實驗.用同底等高的圓柱和圓錐形容器，將圓錐形容器中的沙子倒入圓柱形容器中，三次恰好倒?jié)M，所以V柱體=13V錐體=13Sh.

師：實驗是直觀的，幫助我們發(fā)現(xiàn)了不少結(jié)論，這一方法很重要.但它的缺點也是顯而易見的，那就是有誤差，甚至?xí)贸鲆恍╁e誤結(jié)論.要使人心服口服，還需要嚴(yán)密推理.同學(xué)們，你們能把這一結(jié)論V錐體=13Sh證明出來，讓人心服口服嗎？

學(xué)生利用祖暅原理自主探索，也有學(xué)生互相討論和合作交流.（1）試圖找一個符合祖暅原理條件的幾何體，未果.（2）受V柱體=13V錐體啟發(fā)，將圓柱中挖去一個圓錐，剩余部分的幾何體的體積V剩應(yīng)是圓錐體積的2倍，因此剩余幾何體的任一平行于底面的截面面積如果都是圓錐等高處截面面積的2倍（此時，學(xué)生已經(jīng)將祖暅原理作了推廣），問題就能得到解決，但是由于h=0（即底面）時的截面面積沒有2倍關(guān)系，又告失敗.學(xué)生處于困惑中，急切地想知道到底該怎么辦？（此時是啟發(fā)教學(xué)的絕佳時機）師：圓錐困難，為什么不試試其他錐體？也許能找到突破口.生10：其他錐體，我們不知道它的體積啊！師：我們不是知道柱體體積嗎？試試看，柱體與錐體是否有聯(lián)系？

多數(shù)學(xué)生畫出三棱柱、四棱柱進(jìn)行分割（沒人畫圓柱）.師：為了使問題簡單，我們可選擇……生：（齊）最簡單柱體.師：什么柱體最簡單？生11：正四棱柱.因為其中的平行、垂直關(guān)系多，線面關(guān)系也明顯直觀.生12：正三棱柱.從分割出棱錐這個角度講，正三棱柱更好，圖形更簡單.師：你們的分析都很有見地，對正三棱柱的分析更有針對性，那我們就對正三棱柱進(jìn)行“解剖”吧！學(xué)生將正三棱柱分割如圖2.

師：棱錐 BA1B1C1和棱錐A1ABC顯然是兩個全等的幾何體， 體積當(dāng)然相等.現(xiàn)在只要能證明棱錐BA1B1C1和棱錐A1BCC1體積也相等，問題就解決了.生13：選擇棱錐BA1B1C1中的面BB1C1，棱錐A1BCC1中的面BCC1，它們都在三棱柱側(cè)面B1C內(nèi)，且面積相等，任作一個平行于面B1C的截面DED1E1（上黑板作如圖3），該面截棱錐A1-BB1C1的截面是△D1E1E，截棱錐A1-BCC1的截面是△D1DE，面積相等.顯然，等高處的截面（平行于底面）面積均相等.根據(jù)祖暅原理，棱錐BA1B1C1和棱錐A1BCC1的體積相等.

師：利用他的“科研報告”，你們現(xiàn)在能向我匯報什么“科研成果”？生14：三棱錐的體積V三棱錐=13Sh.師：所有三棱錐？生14：現(xiàn)在只能說形如圖3中三個三棱錐的體積是13Sh.

師：其他的三棱錐呢？推廣一下，任意的錐體呢？生15：錐體的體積V錐體=13Sh.師：請你證給同學(xué)們看看.生15：（走上講臺，在黑板上作如圖4）設(shè)三個錐體的底面積均為S，高均為h，與底面等高處（高均為x）的截面與相應(yīng)底面是相似圖形，且面積S′滿足：S′S=（h-xh）2，S′=（h-xh）2S，可見只要x相同，S′就相等，即等高處的截面面積是相等的，根據(jù)祖暅原理，V錐體=13Sh.

師：現(xiàn)在的階段性成果是V錐體=13Sh.下面再來研究臺體的體積.生16：這次咱就不麻煩祖暅他老人家了！根據(jù)臺體的定義，將臺體補成錐體，大錐體體積減去小錐體體積就行了.師：想法很好.同學(xué)們都試試看.（大部分學(xué)生均能順利完成）

師：又一成果出來了：V臺體=13h（S+Ss′+s′）.在研究空間幾何體表面積時發(fā)現(xiàn)正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積之間的關(guān)系，這種關(guān)系讓我們深刻地體會了數(shù)與形的完美結(jié)合.柱、錐、臺體的體積公式之間是否有類似的關(guān)系？生17：類比一下，發(fā)現(xiàn)它們有類似的關(guān)系.（在黑板上寫出：V柱體=sh

V臺體=13h（s+ss′+s′）

V體=13sh）.

師：利用上面的方法，我們還能推導(dǎo)出球體的體積公式.同學(xué)們可以下去自己試著推導(dǎo)一下.

二、教后反思

1.辯證看待教材，對教材進(jìn)行重組，注重數(shù)學(xué)“真”的一面.本節(jié)課的處理方式與教材有一定的差別.尤其體現(xiàn)在：錐體的體積公式.教材是將圓錐體積公式作為已知，用祖暅原理推出錐體的體積公式；筆者是從已知體積的柱體入手，分割出三棱錐并推出其體積，然后得出一般錐體的體積.

2.重視知識發(fā)生，重走探索發(fā)現(xiàn)之路，注重數(shù)學(xué)“美”的一面.本節(jié)課把重點放在公式推導(dǎo)方法的探索上.一是激發(fā)了學(xué)生探究數(shù)學(xué)的興趣.二是提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.在探索過程中，經(jīng)歷了直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)，歸納類比，空間想像，演繹證明，反思與建構(gòu)等思維過程.三是培養(yǎng)了學(xué)生不怕困難、團(tuán)結(jié)協(xié)作、勇于探索的創(chuàng)新意識.

3.激發(fā)學(xué)生的興趣，以學(xué)生為本，體現(xiàn)數(shù)學(xué)“善”的一面.在教學(xué)中，對學(xué)生循循善誘，讓學(xué)生展示自己的真實想法，讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué).

4.遺憾與不足.（1）祖暅原理之前的平面圖形面積問題可有可無，直接設(shè)置適當(dāng)?shù)那榫常部梢宰寣W(xué)生得出祖暅原理.（2）沒找到恰當(dāng)?shù)膸缀误w來推導(dǎo)圓錐的體積公式.（3）由探討圓錐的失敗到對棱錐的探討，過渡不自然.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)方法，因教學(xué)內(nèi)容而異，因教師而異，因?qū)W生而異，但是均應(yīng)以知識為載體，以思想方法為核心，以提高學(xué)生的能力和素養(yǎng)為目的.