聚焦思維求異的開放型試題

孫建敏

數學開放型試題是相對于傳統的條件完備、結論明確的封閉題型而言的，是指那些條件開放、結論開放、解題策略開放的問題.數學開放型試題能夠考查學生的創新意識與創造能力，從而備受命題者的青睞.下面歸類舉例說明.

一、結論開放

結論開放型試題，是讓解題者根據給出的問題條件探索相應結論的一類試題.一般來說，符合條件的結論往往較多.

二、條件開放

條件開放型試題，是已經給出問題的結論，而要求補加能推出結論的條件的一類題型，其主要特征是問題條件不完備，且所要補充的條件不是得出結論所必須的一個條件.

例1在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，點M是邊BA延長線上的一點，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E.（1）求證：四邊形ADCE為矩形.（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明.

解：（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC.又因，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°.又因∠ADC=∠CEA=90°，所以四邊形ADCE為矩形.（2）比如，當AD=12BC時，四邊形ADCE是正方形.證明：因為AB=AC，AD⊥BC于D，所以 DC=12BC.又因AD=12BC，所以DC=AD.由（1）知四邊形ADCE為矩形，所以矩形ADCE是正方形.

點評：運用逆向思維，執果索因，是解決某些條件開放型試題的好辦法.

三、策略開放

策略開放型試題，一般指解題方法與途徑不唯一的問題.這類問題，突破了單一的解題模式，要求解題者不墨守成規，善于標新立異，積極發散思維，優化解題方案和過程.

例2下課了，老師給大家布置了一道作業題：當x=1+3時，求代數式（x2-1）（x+1）x2-x÷（1+x2+12x）的值.雯雯一看，感慨道：“今天的作業要算得很久啊！”你能找到簡單的方法幫雯雯快速解決這個問題嗎？請寫出你的求解過程.

解：（x2-1）（x+1）x2-x÷（1+x2+12x）=（x-1）（x+1）2x（x-1）÷2x+x2+12x=（x+1）2x×2x（x+1）2=2.所以當x=1+3時，原代數式的值仍為2.

點評：分式化簡類試題，以考查基礎知識、基本技能和開放探索能力為主，并且題型不拘一格，新穎活潑，符合學生的年齡特征，貼近生活實際.

四、方案設計開放

該類試題常常是從數學角度對某些生活中的問題進行創新設計研究，引導學生將所學的數學知識應用于實際，有利于提高學生的實踐應用能力和動手操作能力.

例3梅林中學租用兩輛小汽車（設速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學生到縣城參加數學競賽，每輛限坐4人（不包括司機）.其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現故障，此時離截止進考場的時刻還有42min，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）.（1）若小汽車送4人到達考場，再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場.（2）假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性.

解：（1）1560×3×60=45（分鐘）.因為45>42，所以不能在限定時間內到達考場.（2）先將4人用車送到考場，另外4人同時步行前往考場，汽車到考場后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場.先將4人用車送到考場所需時間為1560=0.25（h）=15（min）.0.25h另外4人步行了1.25km，此時他們與考場的距離為15-1.25=13.75（km）.設汽車返回t（h）后與步行的4人相遇，則有5t+60t=13.75，解得t=2.7513（h）.汽車由相遇點再去考場所需時間也是2.7513h.所以用這一方案送這8人到考場共需15+2×2.7513×60≈40.4（min）.因為40.4<42，所以這8個人能在截止進考場的時刻前趕到.

點評：該題用時最少的方案如下：8人同時出發，4人步行，先將4人用車送到離出發點xkm的A處，然后這4個人步行前往考場，車回去接應后面的4人，使他們跟前面4人同時到達考場.