淺談數列求和的若干方法

吳勝斌

【摘 要】數列求和是從它們的本質特點出發，去尋找最一般的方法，從而得出的結論比較具有針對性。如掌握直接求和法（公式法），錯位相減求和法，分組轉化求和法，裂項相消求和法等一些簡單的特殊數列求和的方法，理解數列求和中蘊含的數學思想，并能利用數列求和解決一些數列問題。

【關鍵詞】直接求和法（公式法）；分組求和法；錯位相減求和法；裂項相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所給數列是等差數列或等比數列， 那么它們的求和問題，可以直接利用等差或等比數列求和公式解決。

（1）等差數列的前n 項和公式：；

（2）等比數列的前n 項和公式：①當q=1 時，；②當q≠1 時，。

例1： 求1，2，3，…，100 這樣一個等差數列的和。

解：

二、分組求和法

若數列的通項是若干項的代數和，可將其分成幾部分來求。一般為{等差+等比}的形式出現時用到分組求和法。

例2 求數列，…的前項和。

分析：此數列的通項公式是，而數列是一個等差數列，數列是一個等比數列，故采用分組求和法求解。

解：.

例3：在數列中，，， n∈N*

（1）證明：數列{}是等比數列；（2）求數列的前n 項和。

（1）證明： 由題設 得

，n∈N* 又，

所以數列{}是首項為1，且公比為4 的等比數列。

（2）解：由（1）可知于是數列的通項公式為，

所以數列的前n 項和

=

=

==

小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那么我們就用此方法求和。

三、裂項相消法

裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：

1。乘積形式

如：

（1）

（2）

（3）

（4）

2。根式形式

如：

例4：求數列，，，…，，…的前項和

解：∵=

小結：如果一個數列的每一項都能化為兩項之差，而前一項的減數恰與后一項的被減數相同，一減一加，中間項全部相消為零，那么原數列的前n項之和等于第一項的被減數與最末項的減數之差。多用于分母為等差數列的相鄰k項之積，且分子為常數的分式型數列的求和。

四、錯項相消法

如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應之積形成，那么此數列可采用錯項相減消法。

例6 求和

解：由原式乘以公比得：

原式與上式相減，得

∴

錯位相減法是是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列的前n項和，其中、中一個是等差數列，一個是等比數列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和。

總而言之，數列求和，如果是等差、等比數列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到靈活運用。非等差等比數列的一般數列的求和，可以利用錯位相減求和法，分組轉化求和法，裂項相消求和法等一些簡單的特殊數列求和的方法。數列求和問題，一般說來方法靈活多樣，解法往往不止一種，很難說盡求全。本文中所介紹的種種求和方法，主要是給出一些解題的思路和方法，在解題中希望會有所幫助。