經歷活動過程 積累無形經驗
——《烙餅問題》教學實錄與思考

俞瑤璟 朱長生

一、情境引入，明確問題

師：（呈現主題圖）從圖中你發現哪些數學信息？

生：每次只能烙2張餅，兩面都要烙，每面需要3分鐘，要烙40張餅。

師：你找的信息很完整！每次只能烙2張餅是什么意思？

生：一只鍋同時只能烙2張餅。

師：也就是說烙一次最多烙熟幾個面？

生：2個面。因為烙2張餅，一張餅一個面，所以能烙熟2個面。

師：怎樣才能盡快吃上餅？

生：時間盡量短。

師：烙熟40張餅最少時間是多少？

【思考：對數學信息正確透徹的理解是本課的關鍵，通過提出關鍵性問題促使學生讀懂信息，感知烙餅的過程，為下一步研究問題奠定扎實的基礎?！?/p>

二、自主探究，轉化問題

1.揭題并板題：烙餅問題。

師：40張餅數字有點大，怎么研究？

生：先從小一點的數據來研究。

師：你想到了好辦法，可以先研究1張餅、2張餅、3張餅。這是從小數據開始研究。

（板書：小數據）

2.同桌合作，操作匯報。

（1）學生利用手中的學具（3張圓片）擺一擺，完成表格后和同桌交流。

餅數最少次數最少時間1 2 3

（2）全班同學交流匯報。

師：烙1張餅要烙幾次？需要幾分鐘？

生：烙2次，需要6分鐘。正面3分鐘，反面也要3分鐘。

師：烙2張餅最少需要幾次？最少時間是?

生：2次，最少需要6分鐘。

生：第一次是1正2正，第二次1反2反。

師：像這樣的烙法我們給它取個名字叫“2張同時烙”。

師：烙1張餅和2張餅為什么時間都是6分鐘？

生：2張餅是同時烙，而1張餅空間有浪費。

師：從烙的過程看，烙2張餅有沒有更加省時的方法？為什么？

生：沒有。每次鍋里都是2張餅，空間沒有浪費。

師：看來每次鍋里有2張餅時間是最少的。

師：3張餅最少烙幾次？最少時間是多少？

生：最少4次，最少時間是12分鐘。

（學生上臺邊擺邊說：第一次1正2正，第二次1反2反，第三次3正，第四次3反）

生：最少3次，最少時間是9分鐘。第一次1正2正，第二次1反3正，第三次2反3反。

師：像這樣有交替過程的烙法我們叫“3張交替烙”。

師：后一位同學對前一位同學的方法進行了優化，想到了最佳方法。

師：兩張餅我們用了2張同時烙的方法，3張餅用了3張交替烙的方法。

（3）思考烙4、5張餅。

師：剛才我們學習了2張同時烙和3張交替烙。請你思考烙4張餅怎么烙？最少次數是多少？最少時間呢？

生：最少4次，時間是12分鐘。第一次1正2正，第二次1反2反。

師：也就是說這兩張餅采用了什么方法？

生：2張同時烙的方法。

生：第三次3正4正，第四次3反4反，后面又是2張餅同時烙的方法。

師：剛才這位同學是怎么烙的？

生：轉化成了兩次2張同時烙的方法。

師：那可以記作：2，2。5 張餅怎么轉化呢？

生：先烙3張餅，采用3張交替烙的方法，另2張餅采用2張同時烙的方法。最少次數5次，時間15分鐘。

師：記作：2，3?；仡櫸覀兲剿骼?張餅和5張餅的過程，你們用了什么重要的數學方法？

生：用到了轉化，轉化成剛才學過的兩種最簡單的烙法：2張同時烙和3張交替烙。

（4）運用轉化方法。

師：6張餅怎么轉化呢？

生：轉化成3次2張同時烙，也就是 2，2，2。

生：我有不同想法，轉化為2次3張交替烙。也就是3，3。最少次數6次，最少時間18分。

師：7張餅怎么轉化？

生：轉化為2次2張同時烙，最后3張交替烙。記作2，2，3。最少次數7次，最少時間3×7=21（分）。

師：餅數不斷增加，咱們全班同學都要吃到餅，40張怎么轉化呢？

生：20 個 2。

生：12個3加上2個2。

生：13個3加上1個。

生：我認為他的想法不對。因為最后一個單獨烙的話，那最后兩次鍋里沒有兩張餅的，最后兩次只有1張餅，空間有浪費，不是最短時間。

師：你們這么多方法，什么是一樣的？

生：最少次數40次，最少時間120分鐘。

師：那如果是998張餅呢？

【思考：當學生面對數據比較大的時候，習得了一種分析問題的方法：從小數據著手。在研究烙1、2、3張餅時，每位同學都有充分的時間和空間，借助小圓片這一學具將烙的過程外顯化。正是學生經歷的這一探索過程才讓學生掌握2張同時烙和3張交替烙兩種最優化的方法，操作過程讓學生的思維變得形象直觀。對3張餅怎么烙時間最短我們還看到了優化思想的滲透。當然數學思維不該僅僅停留在形象思維上，還必須上升到抽象思維。研究烙4、5張餅不采用操作，這激發了學生的思維，想到了轉化這一重要的數學思想。整個環節，學生動手操作，動腦思考，充分展示在操作中思考，在過程中學習。】

三、探索規律，建立模型

1.發現規律。

師：998張餅要去轉化就太麻煩了，而且轉化的方法也多種多樣。你是否能從表格中發現奧妙呢？

生：餅數是多少，最少次數就是多少。

生：除了1以外，其余的餅數=最少次數。

師：為什么呢？

生：2張餅，2×2=4個面，需要2×2÷2=2次。

生：3張餅，2×3=6個面，需要2×3÷2=3次。

生：4張餅，2×4=8個面，需要2×4÷2=4次。

師：n張餅呢？

生：n×2 個面，n×2÷2=n次。最少時間是n×3分鐘。

師：n可以等于1嗎？為什么？

生：1張餅要烙2個面，最少時間是6分鐘，而按照這樣算是3分鐘，所以n＞1。

2.運用規律。

師：俞老師班里有45位學生，每位學生一張餅，最少時間是多少？

生：45×3=135（分鐘）。

師：二年級210人，每人一張餅，最少時間是多少？

生：210×3=630（分鐘）。

師：還有其它方法可以驗證“餅數=次數”這個規律嗎？老師帶來了一種方法，現在我把這個鍋對折起來，烙1次烙熟了幾張餅？

生：對折以后相當于一張餅的正反面同時烙熟了，n次就把n張餅烙熟了。

師：烙餅問題剛開始看確實是有一定挑戰性的任務，但只要找對策略，就能事半功倍?；仡櫼幌?，我們是怎么探索的？

（板書：小數據→轉化→規律）

生：先研究 1、2、3 張餅的烙法，在探索4、5、6張餅時用到了轉化，最后找到規律，可以求任意張餅數。

【思考：前面學習的兩種最優烙法和轉化的重要思想為后面發現規律奠定了基礎。學生借助觀察、歸納、概括獲得了計算最少時間的方法，即時間=餅數×一面需要的時間，這個算法其實是一個模型。學生在學習過程中，真正經歷了自己探索，自己總結結論，自己概括模型，充分展示了“過程教育”。】