“疊加”后的判斷

程昌生　李映華

【內容摘要】“疊加”判斷是對“3 的倍數特征”教學的新探求，既可廣泛用于課堂，亦可為不改變教材體系及內容前提下的拓展和延伸。

【關鍵詞】疊加 3的倍數 特征 判斷

一、問題的提出

我們知道，判別一個數是否是3的倍數（或能否被3整除），一般按現行教材上所說（包括人教版等其它各版本在內）即：如果一個數（筆者注：本文中所涉及的“數”均指非零自然數）各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。表面上看這是將問題化簡，再以簡單的判斷去推斷原數是否是3的倍數的結論。實際上，嚴格地說這是個循環定義。試想：學生在此之前，并未學過“判斷3的倍數”的概念，憑借什么去判斷“和是3的倍數”，進而去實行新的推斷呢？好在學生已學過數的整除的意義，學生最后還是歸結為將“各位上數的和”除以3再去判斷。可見，這與將原數直接除以3沒有什么本質的區別。只不過一個復雜，一個簡單，以簡馭繁而已。

但我們注意到，現行教材中相關課題，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作為事物獨特地方所具有的征象、標志，一般乃事物的外部表現。教材在這之前講到的2、5倍數數的特征，因其直觀表現，比較準確。因為能被2、5整除的數，可以從該數外表上“看”出來。例如：個位上是0、2、4、6、8的整數，都是2的倍數；個位上是0或5的整數，都是5的倍數。那么3的倍數的特征在哪呢？所以這里所學的大部分情況的“特征”，實質是它的“特點”而已。筆者也注意到有的專家行文中提到“特點”，這或許就是當前有人提倡改變說法的原因所在吧。

表述的細微變化，恰恰讓我們感觸思考：本課例是否另外有一種教學的途徑呢？有沒有可以改進的方法呢？或者更直接提出現在的問題：我們能否找到3的倍數，它所具有的內部更直接的“具像”特征，哪怕是一種弱式的表現？甚至更為大膽的設想，今后的教材可否作相應的改進呢。

二、“疊加”的教學探求

我們說答案是肯定的。如何引導學生來探討，我們作了一番思考，那就是進行“疊加”計算，再根據“疊加”出的結果進行直接的判斷。為了更好的達到教學效果，可這樣設計進行：

第一層次，探求關聯。出示4張卡片，分別寫上數字如：2、7、5、1，排出一個四位數后，例如是2751，再讓學生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍數；接著任意調換位置，再讓學生除以3，仍能被3整除，是3的倍數……為了更全面地說明問題，將其中的一個數加上1或減去1，如將上述的2751，其中的2改為3，排列得3751，將此數除以3，發現不能被3整除，不是3的倍數；再任意調換幾個數的位置得到的數除以3，發現總不能被3整除，亦即總不是3的倍數。引導學生得出：一個數是否是3的倍數，與它各位上的數的大小有關但與其位置無關！

這樣安排連續遞進的數學活動，與原有教材探求方向保持一致。

第二層次，定向分類。師可出示先計算再作分類的題目，如先將下列各數分別除以3，然后分成兩組：

15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，

第一組：能被3整除的數有（ ）。

第二組：不能被3整除的數有（ ）。

“整除”的概念學生早已學過，而判斷有待學習，所以必須先讓學生具體計算進行。有意設置此項活動，讓學生經歷探求過程。

第三層次，指導“疊加”。對于剛才分類的兩種數，讓學生分別把各位上的數相加求和；若和仍是多位數，再去相加，一直加到和是一位數（數學術語叫“數字根”）為止。我們把這個過程叫做“疊加”。如724352，第一次將各位上的數相加得7+2+4+3+5+2=23；23是個兩位數，再進行類似加法得2+3=5；5是一位數，結束。

第四層次，引導發現。“疊加”過程結束后，師及時讓學生說說將某個數進行“疊加”所得的結果。引導同位同學進行對比去發現：能被3整除的數，“疊加”的結果是3、6或9；而不能被3整除的數，“疊加”的結果是1、2、4、5、7或8。這時針對小學生的特點，我們和一般現行教科書一樣，采用不完全歸納法，讓學生自己發現并初步總結規律，即：一個整數，如果“疊加”的最后結果是3、6或9，則這個數一定是3的倍數；如果“疊加”的最后結果不是3、6或9，則這個數一定不是3的倍數。

第五層次，驗證結論（多項活動方式進行，略）。

三、“疊加”判斷的教學價值

以上所述，“疊加”判斷不失為是一種創新的方法，關鍵是符合“特征”且易于口算進行，既有知識性又有趣味性，學生有興趣也能很好掌握。此外，多年實踐的教材客觀上也提供了這種教法的可能性，“疊加”實際上就是教材上所謂3的倍數的特征（即：一個數各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數）的反復運用，這如算法語言程序控制上的過程自我調用，亦即“遞歸”。只不過在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罷了。

探求過程中，既培養學生的的應用意識和創新意識，又能讓學生體驗成功的快樂，習得科學的研究方法與態度。同時，對于解決問題而言，也更具有策略性。

我們通過探索提出的“疊加法”，或將為教材的編寫提供參考：既可作為通行的方法，替換原有的課例，列入相應的教學內容，也可以一種補充方式作為擴展內容。

【參考文獻】

[1] 數學課程標準[S]. 北京師范大學出版社，2011.

[2] [美]G·玻利亞. 怎樣解題？數學思維的新方法[M]. 科學出版社，1982.

（作者單位：安徽省合肥市廬江縣教育局教研室；安徽省合肥市廬江縣城關小學）