“疊加”后的判斷

程昌生　李映華

【內(nèi)容摘要】“疊加”判斷是對“3 的倍數(shù)特征”教學(xué)的新探求，既可廣泛用于課堂，亦可為不改變教材體系及內(nèi)容前提下的拓展和延伸。

【關(guān)鍵詞】疊加 3的倍數(shù) 特征 判斷

一、問題的提出

我們知道，判別一個數(shù)是否是3的倍數(shù)（或能否被3整除），一般按現(xiàn)行教材上所說（包括人教版等其它各版本在內(nèi)）即：如果一個數(shù)（筆者注：本文中所涉及的“數(shù)”均指非零自然數(shù)）各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。表面上看這是將問題化簡，再以簡單的判斷去推斷原數(shù)是否是3的倍數(shù)的結(jié)論。實際上，嚴(yán)格地說這是個循環(huán)定義。試想：學(xué)生在此之前，并未學(xué)過“判斷3的倍數(shù)”的概念，憑借什么去判斷“和是3的倍數(shù)”，進(jìn)而去實行新的推斷呢？好在學(xué)生已學(xué)過數(shù)的整除的意義，學(xué)生最后還是歸結(jié)為將“各位上數(shù)的和”除以3再去判斷。可見，這與將原數(shù)直接除以3沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。只不過一個復(fù)雜，一個簡單，以簡馭繁而已。

但我們注意到，現(xiàn)行教材中相關(guān)課題，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作為事物獨特地方所具有的征象、標(biāo)志，一般乃事物的外部表現(xiàn)。教材在這之前講到的2、5倍數(shù)數(shù)的特征，因其直觀表現(xiàn)，比較準(zhǔn)確。因為能被2、5整除的數(shù)，可以從該數(shù)外表上“看”出來。例如：個位上是0、2、4、6、8的整數(shù)，都是2的倍數(shù)；個位上是0或5的整數(shù)，都是5的倍數(shù)。那么3的倍數(shù)的特征在哪呢？所以這里所學(xué)的大部分情況的“特征”，實質(zhì)是它的“特點”而已。筆者也注意到有的專家行文中提到“特點”，這或許就是當(dāng)前有人提倡改變說法的原因所在吧。

表述的細(xì)微變化，恰恰讓我們感觸思考：本課例是否另外有一種教學(xué)的途徑呢？有沒有可以改進(jìn)的方法呢？或者更直接提出現(xiàn)在的問題：我們能否找到3的倍數(shù)，它所具有的內(nèi)部更直接的“具像”特征，哪怕是一種弱式的表現(xiàn)？甚至更為大膽的設(shè)想，今后的教材可否作相應(yīng)的改進(jìn)呢。

二、“疊加”的教學(xué)探求

我們說答案是肯定的。如何引導(dǎo)學(xué)生來探討，我們作了一番思考，那就是進(jìn)行“疊加”計算，再根據(jù)“疊加”出的結(jié)果進(jìn)行直接的判斷。為了更好的達(dá)到教學(xué)效果，可這樣設(shè)計進(jìn)行：

第一層次，探求關(guān)聯(lián)。出示4張卡片，分別寫上數(shù)字如：2、7、5、1，排出一個四位數(shù)后，例如是2751，再讓學(xué)生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍數(shù)；接著任意調(diào)換位置，再讓學(xué)生除以3，仍能被3整除，是3的倍數(shù)……為了更全面地說明問題，將其中的一個數(shù)加上1或減去1，如將上述的2751，其中的2改為3，排列得3751，將此數(shù)除以3，發(fā)現(xiàn)不能被3整除，不是3的倍數(shù)；再任意調(diào)換幾個數(shù)的位置得到的數(shù)除以3，發(fā)現(xiàn)總不能被3整除，亦即總不是3的倍數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生得出：一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，與它各位上的數(shù)的大小有關(guān)但與其位置無關(guān)！

這樣安排連續(xù)遞進(jìn)的數(shù)學(xué)活動，與原有教材探求方向保持一致。

第二層次，定向分類。師可出示先計算再作分類的題目，如先將下列各數(shù)分別除以3，然后分成兩組：

15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，

第一組：能被3整除的數(shù)有（ ）。

第二組：不能被3整除的數(shù)有（ ）。

“整除”的概念學(xué)生早已學(xué)過，而判斷有待學(xué)習(xí)，所以必須先讓學(xué)生具體計算進(jìn)行。有意設(shè)置此項活動，讓學(xué)生經(jīng)歷探求過程。

第三層次，指導(dǎo)“疊加”。對于剛才分類的兩種數(shù)，讓學(xué)生分別把各位上的數(shù)相加求和；若和仍是多位數(shù)，再去相加，一直加到和是一位數(shù)（數(shù)學(xué)術(shù)語叫“數(shù)字根”）為止。我們把這個過程叫做“疊加”。如724352，第一次將各位上的數(shù)相加得7+2+4+3+5+2=23；23是個兩位數(shù)，再進(jìn)行類似加法得2+3=5；5是一位數(shù)，結(jié)束。

第四層次，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)。“疊加”過程結(jié)束后，師及時讓學(xué)生說說將某個數(shù)進(jìn)行“疊加”所得的結(jié)果。引導(dǎo)同位同學(xué)進(jìn)行對比去發(fā)現(xiàn)：能被3整除的數(shù)，“疊加”的結(jié)果是3、6或9；而不能被3整除的數(shù)，“疊加”的結(jié)果是1、2、4、5、7或8。這時針對小學(xué)生的特點，我們和一般現(xiàn)行教科書一樣，采用不完全歸納法，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并初步總結(jié)規(guī)律，即：一個整數(shù)，如果“疊加”的最后結(jié)果是3、6或9，則這個數(shù)一定是3的倍數(shù)；如果“疊加”的最后結(jié)果不是3、6或9，則這個數(shù)一定不是3的倍數(shù)。

第五層次，驗證結(jié)論（多項活動方式進(jìn)行，略）。

三、“疊加”判斷的教學(xué)價值

以上所述，“疊加”判斷不失為是一種創(chuàng)新的方法，關(guān)鍵是符合“特征”且易于口算進(jìn)行，既有知識性又有趣味性，學(xué)生有興趣也能很好掌握。此外，多年實踐的教材客觀上也提供了這種教法的可能性，“疊加”實際上就是教材上所謂3的倍數(shù)的特征（即：一個數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)）的反復(fù)運用，這如算法語言程序控制上的過程自我調(diào)用，亦即“遞歸”。只不過在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罷了。

探求過程中，既培養(yǎng)學(xué)生的的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，又能讓學(xué)生體驗成功的快樂，習(xí)得科學(xué)的研究方法與態(tài)度。同時，對于解決問題而言，也更具有策略性。

我們通過探索提出的“疊加法”，或?qū)榻滩牡木帉懱峁﹨⒖迹杭瓤勺鳛橥ㄐ械姆椒ǎ鎿Q原有的課例，列入相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，也可以一種補充方式作為擴展內(nèi)容。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]. 北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] [美]G·玻利亞. 怎樣解題？數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 科學(xué)出版社，1982.

（作者單位：安徽省合肥市廬江縣教育局教研室；安徽省合肥市廬江縣城關(guān)小學(xué)）