“向量在物理中的應(yīng)用舉例”應(yīng)突出向量的工具性

摘要：人教A版必修4“向量在物理中的應(yīng)用”中的例、習題的解答，可以不涉及直角三角形知識，直接用向量運算解決向量問題，使解答過程更為簡潔，使學生更深刻地體會向量的工具性.

關(guān)鍵詞：必修4；向量；物理

G633.7

向量在物理中的應(yīng)用，實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象【1】.圍繞此目標，人教A版必修4在“2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例”中給出了例3、例4及習題4（A組）三道題，三道題的解答都用到直角三角形的知識，筆者認為可以不用直角三角形運算，而是直接用向量的知識進行運算，使過程更為簡潔，讓學生更深刻地體會向量的工具性.

例1（人教A版必修4第111頁例3） 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

課本的解答：不妨設(shè) ，由向量的平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道

通過上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)：當 由 逐漸變大時， 由 逐漸變大， 的值由大逐漸變小，因些 由小逐漸變大，即 之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力.

修改的解答：不妨設(shè) ，由向量的平行四邊形法則，力的平衡的知識，有

即

將上面的式子兩邊平方得

以下同課本的解答.

例2 （人教A版必修4第112頁例4） 一條河的兩岸平行，河的寬d=500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸，已知船的速度 ，水流速度 ，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1min）？

課本的解答： ，

所以 .

答：行駛航程最短時，所用時間是3.1min.

修改的解答：由 得

所以

以下同課本的解答.

例3（人教A版必修4第113頁A組第4題） 平面上三個力 作用于一點，且處于平衡狀態(tài)， 與 的夾角為 ，求：（1） 的大小；（2） 與 夾角的大小.

教參的解答：設(shè) 的合力為F，F(xiàn)與 的夾角為 ，則

的夾角為 .

說明：由于沒有學習正弦定理、余弦定理，可有如圖所示的方法作高求解.

修改的解答：（1）由 得 ，

所以 ，

即 .

（2） 設(shè) 與 夾角為 ，由 得 ，

則 ，

所以， 與 夾角的大小為 .

例4（人教A版必修4第113頁B組第2題） 一條河的兩岸平 行，河的寬度

d=500m，一艘船從A出發(fā)到河對岸，已知船的靜水速度 水流速度

2km/h.要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的比值必須最小，此時我

們分三種情況討論：

（1） 當般逆流行駛，與水流成鈍角時；

（2） 當船順流行駛，與水流成銳角時；

（3） 當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.

請同學們計算上述三種情況，是否當船垂直于對岸行駛時，與水流成直角時，所用時間最短.

教參的解答：設(shè) 與 的夾角為 ，合速度為 ， 與 的夾角為 ，行駛距離為d，則 ， .

所以，當 時，即船垂直于對岸行駛時所用時間最短.

修改的解答：設(shè) 與 的夾角為 ，合速度為 ， 與 的夾角為 ，行駛距離為d，則 ， ， ， .

.

所以，當 時，即船垂直于對岸行駛時所用時間最短.

說明：修改的解答稍有計算量，但用向量運算代替了直角三角形運算，同時，不需要分三種情況討論，解題思路顯得更為干凈.

例5（人教A版必修4第119頁第14題） 如圖所示，支座A受 兩個力的

作用，已知 與水平線成 角； 沿水平方向；兩個力的合力

100N，求角 以及合力F與水平線的夾角 .

解：由 得

所以， ，

由 得

所以， .

參考文獻：

[1]人民教育出版社 課程教材研究所 普通高中課程標準實驗教科書 第101-107頁

[2]中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心 數(shù)學必修4 A 教師教學用書

作者簡歷：

申儉生，男，1965.3，漢族，湖南省祁陽縣人，本科，湖南永州市三中校長助理，中學高級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教學.